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高中数学选修2-2第1章1.7.2定积分在物理中的应用课件人教A版

1.7.2 定积分在物理中的应用 -1- 目标导航 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 1.通过具体实例了解定积分在物理中的应用. 2.会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题. -2- 目标导航 知识梳理 知识梳理 重难聚焦 典例透析 定积分在物理中的应用 变速 做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0) 直 b 线运 在时间区间[a,b]上的定积分,即 s= a ()d 动 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与力 F(x)相同 变力 的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力 F(x)所做的功为 W= 做功 b ()d a -3- 目标导航 知识梳理 知识梳理 重难聚焦 典例透析 -4- 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 1.在变速直线运动中,如何求路程、位移? 剖析:在用定积分解决变速直线运动的位移与路程的问题时,分 清运动过程中的变化情况是解题的关键,做变速直线运动的物体所 经过的路程是位移的绝对值之和,从时刻 t=a 到时刻 t=b 所经过的路 程 s 和位移 s1 分别为 (1)若 v(t)≥0(a≤t≤b),则 s= a v(t)dt, s1 = (2)若 v(t)≤0(a≤t≤b),则 s=? a (3)若在区间[a,c]上 v(t)≥0,在区间[c,b]上 v(t)<0,则 s= c a c a v(t)dt. a v(t)dt, s1 = a v(t)dt. v(t)dt ? v(t)dt, s1 = v(t)dt. 对于给出速度—时间曲线的问题,关键是由图象得到速度的解 析式及积分的上、下限,需要注意的是分段函数需分段求路程,然后 求和. -5- 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 -6- 目标导航 题型一 题型二 题型三 知识梳理 重难聚焦 典例透析 求变速直线运动的路程、位移 【例 1】 有一动点 P 沿 x 轴运动,在时间 t 时的速度为 v(t)=8t-2t2(速 度的正方向与 x 轴正方向一致).求: (1)点 P 从原点出发,当 t=6 时,求点 P 离开原点的路程和位移; (2)点 P 从原点出发,经过时间 t 后又返回原点时的 t 值. 分析:(1) 解不等式 v(t)≥0 或 v(t)≤0 → 确定积分区间 → 求 t=6 时的路程以及位移 (2) 求定积分 t 0 v(t)dt → 令 t 0 v(t)dt = 0, 求t -7- 目标导航 题型一 题型二 题型三 知识梳理 重难聚焦 典例透析 解:(1)由 v(t)=8t-2t2≥0,得 0≤t≤4, 即当 0≤t≤4 时,点 P 向 x 轴正方向运动, 当 t>4 时,点 P 向 x 轴负方向运动. 故当 t=6 时,点 P 离开原点的路程为 4 6 s1= 0 (8t ? 2t2)dt ? 4 (8t ? 2t2)dt 2 2 3 4 2 3 6 128 2 = 4t - t |0 ? 4t - t |4 = . 3 3 3 6 当 t=6 时,点 P 的位移为 0 t 0 2 3 6 (8t ? 2t2)dt = 4t - t |0 = 0. 3 2 (2)依题意 2 3 (8t ? 2t2)dt = 0, 即 4t2? t3 = 0, 解得t=0 或 t=6,t=0 对应于点 P 刚开始从原点 出发的情况. 故 t=6 是所求的值. -8- 目标导航 题型一 题型二 题型三 知识梳理 重难聚焦 典例透析 反思1.用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问 题转化为数学问题是关键. 2.在变速直线运动中,路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时, 要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度非负 或非正的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误.如本例第(1)小 题求解时,易出现路程和位移相同的错误. -9- 目标导航 题型一 题型二 题型三 知识梳理 重难聚焦 典例透析 【变式训练 1】 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情 况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ A.1+25ln 5 C.4+25ln 5 25 (t 1+t 的单位: s, v 的单位: m/s) ) 行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位: m)是( B.8+25ln 3 D.4+50ln 2 25 11 解析:由于 v(t)=7-3t+ 1+t , 且汽车停止时速度为0, 因此由 v(t)=0 可解得 t=4, 即汽车从刹车到停止共用 4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离 s= 4 0 7-3t + 1+t dt 25 3t2 = 7t+ 25ln(t + 1) 2 | 4 0 =(4+25ln 5)(m). 答案:C -10- 目标导航 题型一 题型二 题型三 知识梳理 重难聚焦 典例透析 求变力所做的功 【例2】 设有一长25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30 cm,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹 簧由25 cm伸长到40 cm所做的功. 分析:先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力 F(x)的表达式,然后用积分求变力所做的功. 解:设 x 表示弹簧伸长的量(单位:m),F(x)表示加在弹簧上的力 (单位:N).由题意,得 F(x)=kx, 且当 x=0.05 m 时,F(0.05)=100 N, 即 0.05k=100, 所以 k=2 000.所以 F(x)=2 000x. 故将弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时所做的功为 0.15 .15 W= 0 2 000xdx=1 000x2|0 = 22.5(J). 0 -11- 目标导航 题型一 题型二 题型三

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