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直线与方程练习Microsoft Word 文档


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直线与方程
一、复习回顾 1.若直线过点( 3 ,-3)且倾斜角为 30°,则该直线的方程为 2. 如果 A(3, 1)、B(-2, k)、C(8, 11), 在同一直线上,那么 k 的值是 3.过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ; ; ; ;

4.直线 x ? 2 y ? b ? 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么 b 的取值范围是

5.已知点 A(?1,2) , B(2,?2) , C (0,3) ,若点 M (a, b) (a ? 0) 是线段 AB 上的一点,则直线 CM 的斜率 的取值范围是: 二、典型例题 例 1.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为 4,求 直线 l 的方程.

变式练习 1、m 为任意实数时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 必过定点 2.三直线 ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10 相交于一点,则 a 的值是: 3.当 0 ? k ? 。

1 时,两条直线 kx ? y ? k ? 1 、 ky ? x ? 2k 的交点在 2
2 2

象限.

例 2. (1)要使直线 l1: (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 2m 与直线 l2:x-y=1 平行,求 m 的值. (2)直线 l1:ax+(1-a)y=3 与直线 l2:(a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直,求 a 的值.

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变式练习 1. 设三条直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0, 是 。

2x ? 3m 2 y ? 18 ? 0 和 2m x ? 3 y ? 12 ? 0 围成直角三角形,则 m 的值

2. 已知 ? 中, A(1, 3), AB、 AC 边上的中线所在直线方程分别为 x 求? ? 2 y ?? 1 0和 y? 1?0, A B C A B C 各边所在直线方程. 例 3、过点 P(0,1)作直线 l ,使它被两条已知直线 l1 : x ? 3 y ? 10 ? 0, l 2 : 2 x ? y ? 8 ? 0 所截得的线段 AB 被点 P 平分,求直线 l 的方程。

变式练习 1、直线 l 与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点 (1,

? 1) 对称,则直线 l 的方程是


2、如果直线 l 与直线 x+y-1=0 关于 y 轴对称,则直线 l 的方程是

例 4、已知直线 l 过两条直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0,2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的交点,且与 A(2,3) ,B(-4,5)两点的 距离相等,求直线 l 的方程。

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变式练习 1、过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是: 2. 若动点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 分别在直线 l1 :x ? y ? 7 ? 0 和 l 2 :x ? y ? 5 ? 0 上移动, 则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为: 3.已知直线 3 和6 互相平行,则它们之间的距离是: x ? 2 y ? 3 ? 0 x ? my ? 1 ? 0 例 5、已知点 A(3,5)和 B(2,15),分别在直线 l :x-y+3=0 上找一点 P,使 (1)|PA|+|PB|最小时点 P 的坐标,并求出最小值; (2)||PA|-|PB||最大时点 P 的坐标,并求出最大值。

变式练习 1.光线从点 A?2,3? 射出在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,反射光线经过点 B ?1,1? , 方程 2.点 A(1,3) ,B(5,-2) ,点 P 在 x 轴上使|AP|-|BP|最大,则 P 的坐标为:
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则反射光线所在直线的

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巩固训练 1.两条直线 3x ? 2 y ? m ? 0 和 (m 2 ? 1) x ? 3 y ? 2 ? 3m ? 0 的位置关系是 2. 经过点(-2,-3) , 在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 3.与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线有______条. 4.直线 l 过原点,且平分□ABCD 的面积,若 B(1, 4)、D(5, 0),则直线 l 的方程是 5.直线 y= . ; ;

1 x 关于直线 x=1 对称的直线方程是 2

;

6.已知 A(3,1)、B(-1,2),若∠ACB 的平分线在 y=x+1 上, 则 AC 所在直线方程是____________. 7.△ABC 中,A(3,-1) ,AB 边上的中线 CM 所在直线方程为:6x+10y-59=0, ∠B 的平分线方程 BT 为:x-4y+10=0,求直线 BC 的方程.

8、△ABC 的两顶点 A(3,7) ,B( ? 2 ,5) ,若 AC 的中点在 y 轴上,BC 的中点在 x 轴上。 (1)求点 C 的坐标; (2)求 AC 边上的中线 BD 的长及直线 BD 的斜率 。

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答案:
1. y= 相交 6.

3 x-4 2. -9 3

3. y ? 2 x, 或 x ? y ? 3 ? 0 4. ?? 2,0? ? ?0,2? 9. ( ?? , ?

5 2

? ? ?1,?? ?

3.

5.x+y+5=0 或 3x-2y=0 . x ? 2 y ? 5 ? 0 8.-1 7 12. y ? 10. 3 2

7 13 26
2

11.

2 x 3

13.二

15、 x ? 2 y ? 2 ? 0 18. (13,0)

16. x-2y-1=0 17. 4x ? 5y ? 1 ? 0

例 1:(1)法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0 恒 成立, 所以 x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程可化为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,
?k≥0, ? 要使直线 l 不经过第四象限,则? ? ?1+2k≥0,

解得 k 的取值范围是 k≥0. 1+2k (3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为- k ,在 y 轴上的截距为 1+2k, 1+2k 1+2k 1 1 1+2k ∴A(- k ,0),B(0,1+2k),又- k <0 且 1+2k>0,∴k>0,故 S= |OA||OB|= × k (1+ 2 2 2k) 1 1 = (4k+k+4)=4, 2 1 即 k= ,直线 l 的方程为 x-2y+4=0. 2 例 2.解 (1)∵ l2 的斜率 k2=1, l1‖l2 ∴ k1=1,且 l1 与 l2 不重合 ∴ ∴ y 轴上的截距不相等

2m 2 ? m ? 3 2 由? =1 且 m ? m ? 0 得 m=-1, 2 m ?m
∴ m 无解

但 m=-1 时,l1 与 l2 重合,故舍去, (2)当 a=1 时,l1:x=3,l2:y=
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2 5

∴ l1⊥l2
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3 6 4 3 时,l1: y ? x ? ,l2: x= ? 显然 l1 与 l2 不垂直。 5 5 5 2 a 3 1? a 2 3 x? x? 当 a≠1 且 a≠ ? 时,l1: y ? ,l2: y ? a ?1 a ?1 2a ? 3 2a ? 3 2 a 1? a ∴ k1= k1= a ?1 2a ? 3 a 1? a 由 k1k2=-1 得 =-1 解得 a ? ?3 a ? 1 2a ? 3
当 a= ? ∴ 当 a=1 或 a ? ?3 时,l1⊥l2

变式 2 (2) . 分析: B 点应满足的两个条件是: ①B 在直线 y ? 1 ? 0 上; ②BA 的中点 D 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0

1? ,进而由②确定 x B 值. 上。由①可设 B? xB,
x ? 1 ? ∵D 在中线 CD: x ? 2 y ? 1 ? 0 上∴ x B ? 1 1? 则 AB 的中点 D? 解:设 B? xB, ? 2? 2 ?1 ? 0, , 2? ? B 2 ? 2 ?

解得 x B ? 5 , 故 B(5, 1). 同样,因点 C 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,可以设 C 为 ?2 yC ? 1 ,yC ? ,求出 yC ? ?1,C?? 3, ? 1? . 根据两点式,得 ?ABC 中 AB: x ? 2 y ? 7 ? 0 , BC: x ? 4 y ? 1 ? 0 ,AC: x ? y ? 2 ? 0 .

练习 7.设 B( x0 , y0 ) 则 AB 的中点 M (

x0 ? 3 y 0 ? 1 x ?3 y ?1 , ) 在直线 CM 上,则 6 ? 0 ? 10 ? 0 ? 59 ? 0 , 2 2 2 2

即 3x0 ? 5 y0 ? 55 ? 0 …………………①, 又点 B 在直线 BT 上,则 x0 ? 4 y0 ? 10 ? 0 …………………②联立①②得 B(10,5) ,

? K AB ?

5 ? (?1) 6 ? , 10 ? 3 7

6 1 1 ? ? K BC 7 4 ,得 K ? ? 2 4 有 BT 直线平分 ?B ,则由到角公式得 ? BC 1 1 6 9 1 ? K BC 1 ? ? 4 4 7
? BC 的直线方程为: 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 .

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