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1.3.1 函数的单调性与最大(小)值教案


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1.3.1 函数的单调性与最大(小)值(2 课时)
一、教学目标 (1)使学生理解函数单调性的概念,并能掌握判断和证明某些函数的单调性的方法; (2)通过单调性概念教学,培养学生的抽象概括能力,通过例题讲解,培养学生的逻 辑思维能力; (3)理解函数的最大(小)值及其几何意义; (4)学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 二、教学重点与难点 重点:形成增(减)函数的形式化定义;函数的最大(小)值及其几何意义. 难点:形成增(减)函数概念的过程中,如何从图象升降的直观认识过渡到函数增 减的数学符号语言表述; 用定义证明函数的单调性;利用函数的单调性求函数的最大 (小)值. 三、教学过程 T:前面,我们学习了有关函数的基本概念,下面通过函数的图象来研究函数的一 些性质。 1.问题情境 T:由下图,你能说出下列函数图象有何特征?

启发学生由图象(主要是升降变化)获取函数性质的直观认识,从而引入新课。 2.建构教学
2 T:再来看两个特殊函数:一次函数 y ? x 和二次函数 y ? x (由学生作出图象) ,

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图1 图2 从左到右,这两个函数的图象是如何变化的? S:图1是上升的;图2的图象在 y 轴左侧是下降的,在 y 轴右侧是上升的。 T:从上面的观察分析可以看出,不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数 在不同区间上的变化趋势也不同。函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映, 这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性(引出课题) 。 T:所谓的从左到右观察图象,体现在函数身上是哪个量发生了怎样的变化? S:是 x 值由小变大。 T:图象的上升或下降又可以用函数的哪个量的变化来描述?(以函数 y ? x 2 为例) 3.教学设计 用计算机作出函数 y ? x 的图象,在上面任选一点 P,测出其坐标,引导学生观察
2

当点 P 在函数图象上“按横坐标(即自变量) x 增大”的方向移动时,点 P 的纵坐 标(即函数值) y 的变化规律。 S:图 2 中图象在 y 轴右侧“上升” ,也就是,在 x ? 0 时,随着 x 的增大,相应的 y 值随之增大;图象在 y 轴左侧“下降” ,也就是,在 x ? 0 时,随着 x 的增大,相应 的 y 值反而随之减小。 T:如何用数学符号语言描述这种变化趋势呢?(利用 Excel 得到数据) 教学设计: (1)让学生在区间 [0, ?? ) 上,从 0 开始,每隔一个单位取一个自变量的 值,然后用计算机算出其对应的函数值,得到表 1; (2)让学生在区间 [0, ?? ) 上, 从 9 开始,每隔 0.1 个单位取一个自变量的值,然后用计算机算出其对应的函数值, 得到表 2; (3)让学生在区间 [0, ?? ) 上,从 10 开始,每隔 10 个单位取一个自变量
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的值,然后用计算机算出其对应的函数值,得到表 3; (4)让学生在区间 [0, ?? ) 上, 任选一个自变量的值作起点,任选一个单位取其它自变量的值,然后用计算机算出 其对应的函数值,得到表 4。 根据以上表格,引导学生得出结论:四个表格都说明,任选两个自变量的值,自变 量大的函数值也大。即函数 y ? x 2 在 (0, ??) 上图象是上升的,用函数解析式来描 述就是:对于 (0, ??) 上任意的 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 x12 ? x2 2 。我们就说函 数 y ? x 2 在区间 (0, ??) 上是增函数。 T:你能仿照这样的描述,说明函数 y ? x 2 在区间 (??,0) 上具有的性质吗? 学生给出回答,并加以命名,称其在该区间上是减函数。 T:一次函数 y ? x 具有什么性质? T: 以上两个函数都是具体的, 那对于一般函数, 如何定义其为增函数 (或减函数) ? 引导学生讨论、 交流, 说出各自的想法, 并进行分析、 评价, 补充完善后给出增 (减) 函数、单调性、单调区间的定义。 T: 能否将 (0, ??) 改为 [0, ?? ) , 函数 y ? x 2 在该区间上仍是增函数? (??,0) 改为

( ??, 0] ?
S:都可以,不影响单调性。 T:这说明什么问题? S1:两个相邻单调区间的公共端点,可任意放入哪个区间。 S2:也说明对于单独一点,由于其函数值是唯一确定的常数,故没有增减变化,不 存在单调性问题。 S3:还说明单调性是针对区间而言的。
2 T:一次函数 y ? x 在整个实数集上是增函数,我们能说二次函数 y ? x 在整个实

数集上是增函数(或减函数)吗? S:不能。该函数有两个单调区间。 T:这又说明了什么问题? S:函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,并不是所有的函数在其定义域上都 具备单调性。 T:1.2.2 小节例 3 中的函数 y ? 5 x, x ? {1, 2, 3,4,5} 是否具有单调性? S:不具备。因为该定义域不是区间。
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通过设置这三问,使学生加深对定义的理解。 4.新课教学 函数最大(小)值定义 1.最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) . 思考:仿照函数最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值(Minimum Value)的 定义. (学生活动) 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都 ○ 有 f(x)≤M(f(x)≥M) . 2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b); 5.数学应用 (一)例题 例 1 下图是定义在区间[-5,5]上的函数 y ? f ( x ) ,根据图象说出函数的单调区 间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

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解: (略) T: f ( x ) 在区间[-5,-2],[1,3]都是减函数,能否说 f ( x ) 在[-5,-2]∪[1,3] 上是减函数? S:不能,不符合定义。 这说明单调区间不能写成并集形式。 例2 物理学中的玻意耳定律 p ?

k ( k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体, V

当其体积 V 减小时,压强 p 将增大。试用函数的单调性证明之。 分析:按题意,只要证明函数 p ? 解: (略) 小结判断函数单调性的方法:

k 在区间 (0, ??) 上是减函数即可。 V

例 3(教材 P30 例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解: (略) 说明:对于具有实际背景的问题,首先要仔细审清题意,适当设出变量,建立
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适当的函数模型,然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值. 巩固练习:如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料, 25 如果矩形一边长为 x,面积为 y 试将 y 表示成 x 的函数,并画出 函数的大致图象,并判断怎样锯 才能使得截面面积最大? 例 4(新题讲解) 旅 馆 定 价 一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价 和住房率的数据如下: 房价(元) 160 140 120 100 住房率(%) 55 65 75 85

欲使每天的的营业额最高,应如何定价? 解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为 160 元,并假设在各价位之 间,房价与住房率之间存在线性关系. 设 y 为旅馆一天的客房总收入, x 为与房价 160 相比降低的房价,因此当 房价为 (160 ? x) 元时,住房率为 (55 ?

x ?10)% ,于是得 20

y =150· (160 ? x) · (55 ?
由于 (55 ?

x ?10)% . 20

x ?10)% ≤1,可知 0≤ x ≤90. 20 因此问题转化为:当 0≤ x ≤90 时,求 y 的最大值的问题. 将 y 的两边同除以一个常数 0.75,得 y 1=- x 2+50 x +17600. 由于二次函数 y 1 在 x =25 时取得最大值, 可知 y 也在 x =25 时取得最大值,
此时房价定位应是 160-25=135(元) ,相应的住房率为 67.5%,最大住房总收 入为 13668.75(元) . 所以该客房定价应为 135 元. (当然为了便于管理,定价 140 元也是比较合 理的) 例 5(教材 P31 例 4)求函数 y ?

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

解: (略) 注意:利用函数的单调性求函数的最大(小)值的方法与格式.

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巩固练习: (教材 P32 练习 5) (二)练习(P32—1、2,P39—2,P30 探究) 1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系。

四、回顾小结 教师提出下列问题让学生思考: (1)通过增(减)函数概念的形成过程,你学习到了什么? (2)增(减)函数的图象有什么特点?如何根据图象指出单调区间? (3)怎样用定义证明函数的单调性? (4)求函数的最值有什么方法?最常用的是什么方法? 五、课外作业 第 39 页习题 1.3 A 组第 1,2,3 题,B 组 1、2 题. 提高作业:快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出,如下图,各沿箭头方向航行, 快艇和轮船的速度分别是 45 km/h 和 15 km/h,已知 AC=150km,经过多少时间后, 快艇和轮船之间的距离最短? B C D A

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