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高考数学总复习 4-7 解三角形应用举例课件 新人教B版_图文

第 七 节 解三角形应用举例 重点难点 重点: 培养学生的应用意识和实践能力. 难点: 将实际问题数学化 (2)一般步骤: ①分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图; ②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求 解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形 的数学模型; ③求解:利用正弦定理或余弦定理解出三角形,求 得数学模型的解; ④检验:检验上述所求的结果是否具有实际意义, 从而得出实际问题的解. 2.实际问题中的有关术语、名称 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线 上方的 角叫仰角,在水平线 下 方的角叫俯角 (如图① ). (2)方向角 ①正南方向、正北方向、正东方向和正西方向. ②东南方向: 指经过目标的射线是正东和正南的夹角 平分线 (如图②). ③北 α 东, 即北偏东 α:自正北方向按顺时针方向旋 转到经过目标的射线转过的角为 α (3)方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角, 如B 点的方位角为 α(如图⑤) π (0<α< ).(如图③ ). 2 3.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有: 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等. 误区警示 1.方位角与方向角要区分,方位角是由正北方向顺 时针旋转到目标方向线的最小正角. 方向角是东、西、南、北、东南、西北、北偏东 30° 、 南偏西 45° 等. 2.如何将实际问题中的角、长度归结到三角形中, 及解后考虑实际问题的实际意义. 一、解三角形应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集 中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到 两个 (或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解 够条件的三角形,然后逐步求出其它三角形中的解,有 时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得 出所要求的解. 二、根据实际问题构造三角形 [例 1] 在海岸 A 处, 发现北偏东 45° 方向, 距离 A( 3 - 1)n mile 的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75° 的方 向,距离 A 2n mile 的 C 处的辑私船奉命以 10 3n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10n mile/h 的速 度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜, 问辑私船沿什么方向能 最快追上走私船? 解析:如图所示,注意到最快追上走私船且两船所 用时间相等, 若在 D 处相遇, 则可先在△ABC 中求出 BC, 再在△BCD 中求∠BCD. 设辑私船用 th 在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t, BD=10t, 在△ABC 中, ∵AB= 3-1, AC= 2, ∠BAC=120° , ∴由余弦定理得 BC2=AB2+AC2- 2AB· AC· cos∠BAC =( 3-1)2+ 22-2· ( 3-1)· 2· cos120° =6 ∴BC= 6, BC2+ AB2- AC2 6+? 3- 1?2-4 2 ∵ cos∠ CBA= = = , 2BC· AB 2 2 6· ? 3- 1? ∴∠ CBA= 45° ,即 B 在 C 正东. ∵∠ CBD= 90° + 30° = 120° , 在△ BCD 中,由正弦定理得 BD· sin∠ CBD 10tsin120° 1 sin∠ BCD= = = , CD 2 10 3t ∴∠ BCD= 30° . 即辑私船沿北偏东 60° 方向能最快追上走私船. 点评: 本例关键是首先应明确方向角的含义,在解 应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正 确画出示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一 步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题 中也要注意体会正、余弦定理“联袂” 使用的优点. 测量距离的问题 [例 1] (2011· 东北三校二模 )港口 A 北偏东 30° 方向的 C 处有一检查站,港口正东方向的 B 处有一轮船,距离检 查站为 31 海里, 该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后 到达 D 处观测站,已知观测站与检查站距离 21 海里,问 此时轮船离港口 A 还有多远? 分析: 边读题,边画图形,如图,将条件中的角、 长度标上,求轮船离港口 A 还有多远,即求 AD 的长, 在△ ACD 中,已知一角(A)一边(CD),待求 AD,结合已 知条件△ BCD 三边长已知,由余弦定理可求三角,考虑 沟通已知和未知,可利用∠ ADC 与∠BDC 互补,求∠ BDC. 解析: 在△ BDC 中,由余弦定理知, BD2+ CD2-BC2 1 cos∠ CDB= =- , 2BD· CD 7 4 3 ∴sin∠ CDB= . 7 π ∴sin∠ ACD=sin(∠CDB- ) 3 π π 5 3 =sin∠ CDBcos - cos∠ CDBsin = . 3 3 14 AD CD 在△ ACD 中,由正弦定理知 = sin∠ ACD sinA 5 3 3 ?AD= × 21÷ = 15. 14 2 ∴此时轮船距港口还有 15 海里. (文) (2011· 济南一中模拟)如图所示,路边一树干被台风吹 断,树干顶部与地面成 45° 角,树干底部与地面成 75° 角, 树干底部与树尖着地处相距 20 米,则折断点与树干底部 的距离是( 20 6 A. 米 3 10 6 C. 米 3 ) B. 10 6米 D. 20 2米 解析: 如图所示,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折 断点为 A,则∠ABO= 45° ,∠AOB= 75° ,所以∠ OAB = 60° . AO 20 由正弦定理,得 = , sin45° sin60° 20 6 所以 AO= 米,故选 A. 3 答案:A (理)(2011·

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