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海南省文昌市华侨中学2016届中考数学模拟试题(含解析)

海南省文昌市华侨中学 2016 届中考数学模拟试题
一、选择题 1.在:0,﹣2,1, 这四个数中,最小的数是( )

A.0 B.﹣2 C.1 D. 2.下列各式运算正确的是( ) 2 2 4 2 2 2 4 6 3 2 2 3 5 A.2a +3a =5a B.(2ab ) =4a b C.2a ÷a =2a D.(a ) =a 3.今年 1 至 4 月份,我省旅游业一直保持良好的发展势头,旅游收入累计达 5 163 000 000 元,用科学记数法表示是( ) 6 8 9 10 A.5.163×10 元 B.5.163×10 元 C.5.163×10 元 D.5.163×10 元 4.一次函数 y=x+2 的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如图,已知直线 AB、CD 相交于点 O,∠1=80°,如果 DE∥AB,那么∠D 的度数是( )

A.80° B.90° C.100° D.110° 6.自然数 4,5,5,x,y 从小到大排列后,其中位数为 4,如果这组数据唯一的众数是 5, 那么,所有满足条件的 x,y 中,x+y 的最大值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6

7.不等式组

的解集是(



A.x>1 B.1<x<3 C.x>﹣1 D.x<3 2 8.方程 x +3x+1=0 的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 9.如图所示,Rt△ABC∽Rt△DEF,则 cosE 的值等于(



A. B. C. D. 10.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,连接 BC,若∠ABC=45°,则下列 结论正确的是( )

1

A.AC>AB B.AC=AB C.AC<AB D.AC= BC 11.小明同时向上掷两枚质地均匀、同样大小的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,掷得面朝上的点数之和是 3 的倍数的概率是( ) A. B. C. D.

12.分式方程 A.1 B.﹣1 C.3

=2 的解是( D.无解 ﹣1=(



13.若 a<1,化简



A.a﹣2 B.2﹣a C.a D.﹣a 14.如图,将平行四边形 ABCD 折叠,使顶点 D 恰落在 AB 边上的点 M 处,折痕为 AN,那么 对于结论 ①MN∥BC,②MN=AM,下列说法正确的是( )

A.①②都对 B.①②都错 C.①对②错 D.①错②对 二、填空 3 15.x ﹣4x 分解因式为 . 16.今年市场上荔枝的价格比去年便宜了 5%,去年的价格是每千克 m 元,则今年的价格是 每千克 元. 17.如图,在?ABCD 中,AB=6cm,∠BCD 的平分线交 AD 于点 E,则 DE= cm.

18. 如图, 在等腰梯形 ABCD 中, AC⊥BD, AC=6cm, 则等腰梯形 ABCD 的面积为

cm .

2

2

三、解答题(共 62 分) 19.(1)计算: ﹣2cos60°+(2﹣π )
0

(2)化简:



20.根据图 1,图 2 所提供的信息,解答下列问题: ( 1 ) 2007 年 海 南 省 城 镇 居 民 人 均 可 支 配 收 入 为 元 , 比 2006 年 增 长 %; (2)求 2008 年海南省城镇居民人均可支配收入(精确到 1 元),并补全条形统计图; (3)根据图 1 指出:2005﹣2008 年海南省城镇居民人均可支配收入逐年 (填 “增加”或“减少”).

21.某商场正在热销 2008 年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品,根据下 图提供的信息,求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元?

22.某过天桥的设计图是梯形 ABCD(如图所示),桥面 DC 与地面 AB 平行,DC=62 米,AB=88 米.左斜面 AD 与地面 AB 的夹角为 23°,右斜面 BC 与地面 AB 的夹角为 30°,立柱 DE⊥AB 于 E, 立柱 CF⊥AB 于 F, 求桥面 DC 与地面 AB 之间的距离 (精确到 0.1 米) sin23°=0.3907, cos23°=0.9205,tan23°=0.4245

23.如图 1,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD 是等边三角形,E 是 AB 的中点, 连接 CE 并延长交 AD 于 F. (1)求证:①△AEF≌△BEC;②四边形 BCFD 是平行四边形;

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(2)如图 2,将四边形 ACBD 折叠,使 D 与 C 重合,HK 为折痕,求 sin∠ACH 的值.

24.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0),直线 y=x+m 与该二次函数的图象交 于 A、B 两点,其中 A 点的坐标为(3,4),B 点在 y 轴上. (1)求 m 的值及这个二次函数的关系式; (2)P 为线段 AB 上的一个动点(点 P 与 A、B 不重合),过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函 数的图象交于点 E,设线段 PE 的长为 h,点 P 的横坐标为 x,求 h 与 x 之间的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范围; (3)D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段 AB 上是否存在一点 P,使得四 边形 DCEP 是平行四边形?若存在,请求出此时 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.

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2016 年海南省文昌市华侨中学中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1.在:0,﹣2,1, 这四个数中,最小的数是( A.0 B.﹣2 C.1 D. 【考点】有理数大小比较. 【分析】根据有理数大小比较的法则解答. 【解答】解:∵在 0,﹣2,1, 这四个数中,只有﹣2 是负数, ∴最小的数是﹣2. 故选 B. 【点评】本题很简单,只要熟知正数都大于 0,负数都小于 0,正数大于一切负数即可. 2.下列各式运算正确的是( ) 2 2 4 2 2 2 4 6 3 2 2 3 5 A.2a +3a =5a B.(2ab ) =4a b C.2a ÷a =2a D.(a ) =a 【考点】整式的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据合并同类项的法则,积的乘方的性质,单项式除以单项式的法则,幂的乘方的 性质,对各选项分析判断后利用排除法求解. 2 2 2 【解答】解:A、2a +3a =5a ,故本选项错误; 2 2 2 4 B、(2ab ) =4a b ,故本选项正确; 6 3 3 C、2a ÷a =2a ,故本选项错误; 2 3 6 D、(a ) =a ,故本选项错误. 故选 B. 【点评】本题考查了合并同类项,积的乘方,单项式除以单项式,幂的乘方,熟练掌握运算 性质和法则是解题的关键. 3.今年 1 至 4 月份,我省旅游业一直保持良好的发展势头,旅游收入累计达 5 163 000 000 元,用科学记数法表示是( ) 6 8 9 10 A.5.163×10 元 B.5.163×10 元 C.5.163×10 元 D.5.163×10 元 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【专题】应用题. 【分析】在实际生活中,许多比较大的数,我们习惯上都用科学记数法表示,使书写、计算 简便. 9 【解答】解:5 163 000 000=5.163×10 .故选 C n 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 4.一次函数 y=x+2 的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】一次函数的性质. )

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【分析】根据 k,b 的符号确定一次函数 y=x+2 的图象经过的象限. 【解答】解:∵k=1>0,图象过一三象限,b=2>0,图象过第二象限, ∴直线 y=x+2 经过一、二、三象限,不经过第四象限. 故选 D. 【点评】本题考查一次函数的 k>0,b>0 的图象性质.需注意 x 的系数为 1. 5.如图,已知直线 AB、CD 相交于点 O,∠1=80°,如果 DE∥AB,那么∠D 的度数是( )

A.80° B.90° C.100° D.110° 【考点】平行线的性质. 【分析】两直线平行,同旁内角互补,由题可知,∠D 和∠1 的对顶角互补,根据数值即可 解答. 【解答】解:∵∠1=80°, ∴∠BOD=∠1=80° ∵DE∥AB, ∴∠D=180﹣∠BOD=100°. 故选 C. 【点评】本题应用的知识点为:两直线平行,同旁内角互补及对顶角相等. 6.自然数 4,5,5,x,y 从小到大排列后,其中位数为 4,如果这组数据唯一的众数是 5, 那么,所有满足条件的 x,y 中,x+y 的最大值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【考点】众数;中位数. 【专题】压轴题. 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均 数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个. 【解答】解:唯一的众数是 5,中位数为 4,故 x,y 不相等且 x<4,y<4. x、y 的取值为 0,1,2,3,则 x+y 的最大值为 2+3=5. 故选 C. 【点评】本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.

7.不等式组

的解集是(



A.x>1 B.1<x<3 C.x>﹣1 D.x<3 【考点】解一元一次不等式组. 【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴确定不等式组的解集. 【解答】解:由 x﹣1>0 得 x>1 又∵x<3 ∴不等式组的解集为 3>x>1 故选 B.

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【点评】解不等式组时要注意解集的确定原则:同大取大,同小取小,大小小大取中间,大 大小小无解了. 8.方程 x +3x+1=0 的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 【考点】根的判别式. 2 【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b ﹣4ac 的值的符号就可以了. 【解答】解:∵a=1,b=3,c=1, 2 2 ∴△=b ﹣4ac=3 ﹣4×1×1=5>0 ∴方程有两个不相等的实数根. 故选 D 【点评】总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根. 9.如图所示,Rt△ABC∽Rt△DEF,则 cosE 的值等于( )
2

A. B. C. D. 【考点】锐角三角函数的定义;相似三角形的性质. 【分析】 先根据相似三角形的性质求出∠E=∠ABC=60°, 再根据特殊角的三角函数值解答即 可. 【解答】解:∵Rt△ABC∽Rt△DEF, ∴∠E=∠ABC=60°, ∴cosE=cos60°= . 故选 A. 【点评】本题考查相似三角形的性质和特殊角的三角函数值. 10.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,连接 BC,若∠ABC=45°,则下列 结论正确的是( )

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A.AC>AB B.AC=AB C.AC<AB D.AC= BC 【考点】切线的性质. 【分析】由 AC 是⊙O 的切线,A 为切点可以得到∠A=90°,而∠ABC=45°,由此得到△ABC 是等腰直角三角形,即可求出结论. 【解答】解:如图,∵AC 是⊙O 的切线,A 为切点, ∴∠A=90°, ∵∠ABC=45°, ∴△ABC 是等腰直角三角形, 即 AB=AC, 故选 B. 【点评】本题利用了切线的性质,等腰直角三角形的判定和性质求解. 11.小明同时向上掷两枚质地均匀、同样大小的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,掷得面朝上的点数之和是 3 的倍数的概率是( ) A. B. C. D. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】 列举出所有情况, 看掷得面朝上的点数之和是 3 的倍数的情况占总情况的多少即可. 【解答】解:

显然和为 3 的倍数的概率为 . 故选 A. 【点评】 此题可以采用列表法或者采用树状图法, 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能 的结果,适合于两步完成的事件.树状图法适用于两步或两步以上完成的事件.解题时还要 注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

12.分式方程

=2 的解是(



A.1 B.﹣1 C.3 D.无解 【考点】解分式方程. 【分析】观察可得最简公分母是(x﹣1)(x+1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方 程转化为整式方程求解. 【解答】解:方程的两边同乘(x﹣1)(x+1),得 (x+1)+2x(x﹣1)=2(x+1)(x﹣1),

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解得 x=3. 检验:把 x=3 代入(x﹣1)(x+1)=8≠0,即 x=3 是原分式方程的解. 则原方程的解为:x=3. 故选 C. 【点评】此题考查了分式方程的求解方法.此题比较简单,注意转化思想的应用,注意解分 式方程一定要验根.

13.若 a<1,化简

﹣1=(



A.a﹣2 B.2﹣a C.a D.﹣a 【考点】二次根式的性质与化简. 【专题】计算题. 【分析】根据公式 再去绝对值,化简. 【解答】解: ﹣1=|a﹣1|﹣1, =|a|可知: ﹣1=|a﹣1|﹣1,由于 a<1,所以 a﹣1<0,

∵a<1, ∴a﹣1<0, ∴原式=|a﹣1|﹣1=(1﹣a)﹣1=﹣a, 故选:D. 【点评】本题主要考查二次根式的化简,难度中等偏难. 14.如图,将平行四边形 ABCD 折叠,使顶点 D 恰落在 AB 边上的点 M 处,折痕为 AN,那么 对于结论 ①MN∥BC,②MN=AM,下列说法正确的是( )

A.①②都对 B.①②都错 C.①对②错 D.①错②对 【考点】翻折变换(折叠问题);平行四边形的性质. 【专题】压轴题. 【分析】根据题意,推出∠B=∠D=∠AMN,即可推出结论①,由 AM=DA 推出四边形 AMND 为菱 形,因此推出②. 【解答】解:∵平行四边形 ABCD, ∴∠B=∠D=∠AMN, ∴MN∥BC, ∵AM=DA, ∴四边形 AMND 为菱形, ∴MN=AM. 故选 A. 【点评】本题主要考查翻折变换的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质,平行线的 判定,解题的关键在于熟练掌握有关的性质定理,推出四边形 AMND 为菱形.

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二、填空 3 15.x ﹣4x 分解因式为 x(x+2)(x﹣2) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】先提取公因式 x,再利用平方差公式分解因式即可. 3 【解答】解:x ﹣4x, 2 =x(x ﹣4), =x(x+2)(x﹣2). 故答案为:x(x+2)(x﹣2). 【点评】 本题考查了提公因式法与公式法分解因式, 要求灵活使用各种方法对多项式进行因 式分解,一般来说,如果可以先提取公因式的要先提取公因式,再考虑运用公式法分解. 16.今年市场上荔枝的价格比去年便宜了 5%,去年的价格是每千克 m 元,则今年的价格是 每千克 0.95m 元. 【考点】列代数式. 【专题】应用题. 【分析】在去年的基础上便宜了,即今年的价格是(1﹣5%)m=0.95m. 【解答】解:根据题意可知:(1﹣5%)m=0.95m. 【点评】列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词,找到其中的数量关系.注意增长 率或降低率的基数. 17.如图,在?ABCD 中,AB=6cm,∠BCD 的平分线交 AD 于点 E,则 DE= 6 cm.

【考点】平行四边形的性质;等腰三角形的判定与性质. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】由平行四边形的性质及叫平分线可得∠DCE=∠DEC,即 DE=DC,即可求解. 【解答】解:在平行四边形 ABCD 中,则 AD∥BC,DC=AB, ∴∠DEC=∠BCE, 又 CE 平分∠BCD, ∴∠BCE=∠DCE, ∴∠DCE=∠DEC,即 DE=DC=AB=6cm, 故此题应填 6. 【点评】 本题主要考查平行四边形的性质及叫平分线的性质, 能够判定一个三角形是等腰三 角形. 18.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AC⊥BD,AC=6cm,则等腰梯形 ABCD 的面积为 18 cm .
2

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【考点】等腰梯形的性质. 【分析】通过作辅助线,把等腰梯形 ABCD 的面积转化成直角三角形的面积来完成. 【解答】解:方法一: 过点 B 作 BE∥AC,交 DC 的延长线于点 E,又 AB∥CE, ∴四边形 ACEB 是平行四边形,又等腰梯形 ABCD ∴BE=AC=DB=6cm,AB=CE, ∵AC⊥BD, ∴BE⊥BD, ∴△DBE 是等腰直角三角形,

∴S 等腰梯形 ABCD=

=

=

=S△DBE= =6×6÷2 2 =18(cm ). 方法二: ∵BD 是△ADB 和△CDB 的公共底边,又 AC⊥BD, ∴AC=△ADB 的高﹢△CDB 的高, ∴梯形 ABCD 的面积=△ADB 面积+△CDB 面积= BD×AC=6× =18(cm ). 故答案为:18.
2

【点评】本题考查了梯形面积的计算,以及它的性质,还运用了转化的思想. 三、解答题(共 62 分) 19.(1)计算: ﹣2cos60°+(2﹣π )
0

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(2)化简:



【考点】实数的运算;分式的加减法;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 【专题】实数;分式. 【分析】(1)原式第一项利用算术平方根定义计算,第二项利用负整数指数幂法则计算, 第三项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果; (2)原式利用同分母分式的减法法则计算,约分即可得到结果. 【解答】解:(1)原式=2+2﹣1+1=4;

(2)原式=

=

=x﹣y.

【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 20.根据图 1,图 2 所提供的信息,解答下列问题: (1)2007 年海南省城镇居民人均可支配收入为 10997 元,比 2006 年增长 17.1 %; (2)求 2008 年海南省城镇居民人均可支配收入(精确到 1 元),并补全条形统计图; (3)根据图 1 指出:2005﹣2008 年海南省城镇居民人均可支配收入逐年 增加 (填“增 加”或“减少”).

【考点】条形统计图;折线统计图. 【专题】图表型. 【分析】(1)2007 年海南省城镇居民人均可支配收入从条形统计图中即可读出;比 2006 年增长从折线统计图中即可读出. (2)2008 年海南省城镇居民人均可支配收入结合 2008 年的增长率在 2007 年的基础上即可 计算.然后画图即可. (3)因为增长率都是正数,所以总在增长. 【解答】解:(1)10997,17.1; (2)10997×(1+14.6%)≈12603(元) 所补全的条形图如图所示; (3)增加.

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【点评】题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键. 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据, 如南省城 镇居民人均可支配收入;折线统计图表示的是事物的变化情况,如增长率. 21.某商场正在热销 2008 年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品,根据下 图提供的信息,求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元?

【考点】二元一次方程组的应用. 【分析】由图片的信息可知:一盒玩具的价钱+两枚徽章的价钱=145 元,两盒玩具的价钱+ 三枚徽章的价钱=280 元.据此可列出方程组求解. 【解答】解:设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为 x 元和 y 元.

依题意得

解这个方程组得 答:一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为 125 元和 10 元. 【点评】 解题关键是弄清题意, 合适的等量关系: 一盒玩具的价钱+两枚徽章的价钱=145 元, 两盒玩具的价钱+三枚徽章的价钱=280 元.列出方程组. 22.某过天桥的设计图是梯形 ABCD(如图所示),桥面 DC 与地面 AB 平行,DC=62 米,AB=88 米.左斜面 AD 与地面 AB 的夹角为 23°,右斜面 BC 与地面 AB 的夹角为 30°,立柱 DE⊥AB 于 E, 立柱 CF⊥AB 于 F, 求桥面 DC 与地面 AB 之间的距离 (精确到 0.1 米) sin23°=0.3907, cos23°=0.9205,tan23°=0.4245

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【分析】首先设桥面 DC 与地面 AB 之间的距离为 x 米,分别用 x 表示出 AE 和 BF,AE+BF=AB

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﹣DC,则得到关于 x 的一元一次方程,从而求出 x. 【解答】解:设桥面 DC 与地面 AB 之间的距离为 x 米,即 DE=CF=xm, 则 AE= ,BF= AE+BF=AB﹣DC, ,

则 + =88﹣62, 解得:x≈6.4. 答:桥面 DC 与地面 AB 之间的距离约为 6.4 米. 【点评】 此题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题. 关键是由两个直角三角形得出 关于桥面 DC 与地面 AB 之间的距离的方程求解. 23.如图 1,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD 是等边三角形,E 是 AB 的中点, 连接 CE 并延长交 AD 于 F. (1)求证:①△AEF≌△BEC;②四边形 BCFD 是平行四边形; (2)如图 2,将四边形 ACBD 折叠,使 D 与 C 重合,HK 为折痕,求 sin∠ACH 的值.

【考点】 等边三角形的性质; 全等三角形的判定; 平行四边形的判定; 翻折变换 (折叠问题) ; 解直角三角形. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】(1)①在△ABC 中,由已知可得∠ABC=60°,从而推得∠BAD=∠ABC=60°.由 E 为 AB 的中点,得到 AE=BE.又因为∠AEF=∠BEC,所以△AEF≌△BEC. ②在 Rt△ABC 中, E 为 AB 的中点,则 CE= AB , BE= AB ,得到∠BCE=∠EBC=60°.由 △AEF≌△BEC,得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE=∠D=60 度.所以 FC∥BD,又 因为∠BAD=∠ABC=60°,所以 AD∥BC,即 FD∥BC,则四边形 BCFD 是平行四边形. (2) 在 Rt△ABC 中, 设 BC=a, 则 AB=2BC=2a, AD=AB=2a. 设 AH=x, 则 HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x. 在 2 2 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AC =3a . 在 Rt△ACH 中,由勾股定理得 AH +AC =HC ,即 x +3a =(2a﹣x) .解得 x= a,即 AH= a.求 得 HC 的值后,利用 sin∠ACH=AH:HC 求值. 【解答】(1)证明:①在△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°, ∴∠ABC=60°. 在等边△ABD 中,∠BAD=60°, ∴∠BAD=∠ABC=60°. ∵E 为 AB 的中点, ∴AE=BE.
2 2 2 2 2 2

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又∵∠AEF=∠BEC, ∴△AEF≌△BEC. ②在△ABC 中,∠ACB=90°,E 为 AB 的中点, ∴CE= AB,BE= AB. ∴CE=AE, ∴∠EAC=∠ECA=30°, ∴∠BCE=∠EBC=60°. 又∵△AEF≌△BEC, ∴∠AFE=∠BCE=60°. 又∵∠D=60°, ∴∠AFE=∠D=60°. ∴FC∥BD. 又∵∠BAD=∠ABC=60°, ∴AD∥BC,即 FD∥BC. ∴四边形 BCFD 是平行四边形. (2)解:∵∠BAD=60°,∠CAB=30°, ∴∠CAH=90°. 在 Rt△ABC 中,∠CAB=30°,设 BC=a, ∴AB=2BC=2a. ∴AD=AB=2a. 设 AH=x,则 HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x, 2 2 2 2 在 Rt△ABC 中,AC =(2a) ﹣a =3a , 2 2 2 2 2 2 在 Rt△ACH 中,AH +AC =HC ,即 x +3a =(2a﹣x) , 解得 x= a,即 AH= a. ∴HC=2a﹣x=2a﹣ a= a.

∴sin∠ACH=

= .

【点评】本题考查了: (1)折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图

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形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等; (2)全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,平行线的判定和性质, 平行四边形的判定和性质,正弦的概念求解. 24.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0),直线 y=x+m 与该二次函数的图象交 于 A、B 两点,其中 A 点的坐标为(3,4),B 点在 y 轴上. (1)求 m 的值及这个二次函数的关系式; (2)P 为线段 AB 上的一个动点(点 P 与 A、B 不重合),过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函 数的图象交于点 E,设线段 PE 的长为 h,点 P 的横坐标为 x,求 h 与 x 之间的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范围; (3)D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段 AB 上是否存在一点 P,使得四 边形 DCEP 是平行四边形?若存在,请求出此时 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】二次函数综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)因为直线 y=x+m 过点 A,将 A 点坐标直接代入解析式即可求得 m 的值;设出 二次函数的顶点式,将(3,4)代入即可; (2)由于 P 和 E 的横坐标相同,将 P 点横坐标代入直线和抛物线解析式,可得其纵坐标表 达式,h 即为二者之差;根据 P、E 在二者之间,所以可知 x 的取值范围是 0<x<3; (3)先假设存在点 P,根据四边形 DCEP 是平行四形的条件进行推理,若能求出 P 点坐标, 则证明存在点 P,否则 P 点不存在. 【解答】解:(1)∵点 A(3,4)在直线 y=x+m 上, ∴4=3+m. ∴m=1. 2 设所求二次函数的关系式为 y=a(x﹣1) . 2 ∵点 A(3,4)在二次函数 y=a(x﹣1) 的图象上, 2 ∴4=a(3﹣1) , ∴a=1. 2 ∴所求二次函数的关系式为 y=(x﹣1) . 2 即 y=x ﹣2x+1. (2)设 P、E 两点的纵坐标分别为 yP 和 yE. ∴PE=h=yP﹣yE 2 =(x+1)﹣(x ﹣2x+1) 2 =﹣x +3x. 2 即 h=﹣x +3x(0<x<3).

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(3)存在. 解法 1:要使四边形 DCEP 是平行四边形,必需有 PE=DC. ∵点 D 在直线 y=x+1 上, ∴点 D 的坐标为(1,2), 2 ∴﹣x +3x=2. 2 即 x ﹣3x+2=0. 解之,得 x1=2,x2=1(不合题意,舍去) ∴当 P 点的坐标为(2,3)时,四边形 DCEP 是平行四边形. 解法 2:要使四边形 DCEP 是平行四边形,必需有 BP∥CE. 设直线 CE 的函数关系式为 y=x+b. ∵直线 CE 经过点 C(1,0), ∴0=1+b, ∴b=﹣1. ∴直线 CE 的函数关系式为 y=x﹣1.

∴ 得 x ﹣3x+2=0. 解之,得 x1=2,x2=1(不合题意,舍去) ∴当 P 点的坐标为(2,3)时,四边形 DCEP 是平行四边形. 【点评】 此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征, 结合图形有 利于解答; (3)是一道存在性问题,有一定的开放性,需要先假设点 P 存在,然后进行验证计算.
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