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高2017届第一轮复习----2----函数的概念与性质综合(生用)

高 2017 届第一轮复习----2----函数的概念与性质综合
【目标】1.理解并掌握函数的概念、表示;2 理解并掌握函数的单调性、奇偶性的概念与性质及简单应用;3.进 一步理解体会应用数形结合、函数方程不等式、分类讨论、化归转化等重要数学思想. 一、函数与映射的概念 1.函数:两个非空数集 A、B,若对于 ?x ? A ,在对应关系 f 的作用下,在集合 B 中都存在唯一的元素 y 与之对 应,称 f 为 A 到 B 的函数.记为 f : A ? B ( y ? f ( x) ). 2.映射:两个非空集合 A、B,若对于 ?x ? A ,在对应关系 f 的作用下,在集合 B 中都存在唯一的元素 y 与之对 应,称 f 为 A 到 B 的函数.记为 f : A ? B . 3.函数的三要素:定义域、对应关系、值域. 4.函数的表示:解析法、列表法、图象法. 【例 1】下列说法正确的有. ①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应; ②函数的定义域和值域一定是无限集; ③若函数的定 义域只有一个元素,则值域也只有一个元素;④对于任何一个函数,如果 x 不同,则 y 的值也不同;⑤ 示 x ? a 时,函数

f (a ) 表

f ( x ) 的值,这是一个常量.

【思考】1.下列曲线能表示函数的是()

2.下列图形中可以表示以 M ? ?x 0 ? x ? 1?为定义域,以 N ? ?y 0 ? y ? 1?为值域的函数是()

y
1 1

y
1

y
1

y

O
(A)

1

x

O
(B)

1

x

O

1 (C)

x

O

1 (D)

x

【例 1-2】集合

A ? ?a, b, c?,集合 B ? ?x, y, z?,从集合 A 到 B 的对应方式如图所示,其中哪几个对应是从

集合 A 到 B 的映射?()
A a b c (A) B x y z A a b c (B) B x y z A a b c (C) B x y z A a b c (D) B x y z A a b c (E) B x y z

【思考】集合 多有个.

A?? 3,4?, B ? ? 5,6,7?,则从集合 A 到集合 B 的映射最多有个,从集合 B 到集合 A 的映射最
1

高 2017 届第一轮复习----2----函数的概念与性质综合
关于函数相等 定义域和对应关系都相同的函数相等. 【思考】下列四组函数中,表示相等函数的一组是() (A) f ( x) ? x , g ( x) ? (C) f ( x) ?

x 2 (B) f ( x) ? ( x )2 , g ( x) ? x2

x2 ? 1 , g ( x) ? x ? 1 (D) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1, g ( x) ? x2 ? 1 x ?1

关于定义域与值域 【例 2】 (1)已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?0,1? ,则函数 f ( x ? 1) 的定义域为。 (2)已知函数 f ( x ? 1) 的定义域为 ?0,1? ,则函数 f ( x ) 的定义域为。 (3)已知函数 f ( x ? 1) 的定义域为 ?0,1? ,则函数 f ( x ? 1) 的定义域为。
2 (4)已知函数 f ( x ? 2x ? 1) 的定义域为 ?? 2,3? ,则函数 f ( x ) 的定义域为。

【ex】1.设集合 ()

A ? ?x 0 ? x ? 2? , B ? ?y 1 ? y ? 2?,下列图中能表示从集合 A 到集合 B 的函数关系的是
2 1 –2 –1 –1 –2 (A) 1 2

y x

2 1 –2 –1 –1

y x

2 1 1 2 –2 –1 –1

y x

2 1 1 2 –2 –1 –1

y x

1

2

–2 (B)

–2 (C)

–2 (D)

2.设函数 f ( x) ? 关于对应关系

1 ( x ? x ) ,则函数 f ( x) 的值域是. 2

【思考】已知 f ( x ? 2) ? 3 x ? 5, 则 f ( x) ? . 【例 3】如图,已知底角为 45 0 的等腰梯形 ABCD ,底边 BC 长为 7cm,腰长为 2 2cm ,当一条垂直于底边 BC (垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,l 把梯形分成两部 分,令 BF ? x ,试写出左边部分的面积 y 与 x 的函数解析式,并画出大致图象.
A E D

B

F

C

【ex】1.已知

1 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 ,且 f (m) ? 6 ,则 m ? () 2

(A) ?

1 1 3 3 (B) (C) (D) ? 4 4 2 2
2

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2. f ( x) ? ?

? x2 ? 1, x ? 0, ?? 2 x, x ? 0.

若 f ( x) ? 10, 则 x ? .

关于函数图象 【思考】在坐标系中分别画出函数

f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? x ? 1 的图象.
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

f(x) = x2

2?x

3

4 3 2 1

y

g( x ) = x 2

2?x

3

y
2 2

y

1

1

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

x

–4

–3

–2

–1

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

x

–2

–1

O
–1

1

x

–2

–1

O
–1

1

x

【ex】根据函数

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 图象分别画出函数 g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , h( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象.

【例 4】 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程, 下图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更 省油 【思考】在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y ? 2a 与函数 y ?| x ? a | ?1 的图像只有一个交点,则 a 的值为。

二、函数的单调性 【思考】若

f ( x) 为 R 上的增函数, kf ( x) 为 R 上的减函数,则实数 k 的取值范围是()

(A)任意实数(B) k ? 0 (C) k ? 0 (D) k ? 0 【例 5】已知函数

y ? f ( x)

的定义域为 R,且对任意的正数 d ,都有

f ( x ? d ) ? f ( x) , 求 满 足

f (1 ? a) ? f (2a ? 1) 的 a 的取值范围.
【解析】 【Ex】1.已知函数 (A) (C)

f ( x ) 是 R 上的增函数,对于实数 a , b 满足 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是()

f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) (B) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) (D) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)
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2.下列函数中,满足”对任意 x1 , x2 ? (0,??) ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”的是( ) (A)

f ( x) ? ( x ? 1)2

(B) f ( x) ?

1 x

(C) f ( x) ? 2x ? 1

(D) f ( x) ? x ? 1

3.设 x1 , x2 ? [a, b] ,如果

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 [a , b] 上单调. x1 ? x2
?(2 ? a ) x ? 1, x ? 1, ?a , x ? 1
x

【例 5-1】设函数 f ( x ) ? ? 值范围是.

满足:对任意 x1 ? x2 , 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,那么 a 的取 x1 ? x2

【思考】1.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的增函数,且 f (2m ? 1) ? f (3m ? 4) ,则 m 的取值范围是. 2.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 在 [0,??) 上单调递减,且 f (2) ? 0 ,函数图象关于 y 轴对称,则不等式

f ( x ? 2) ? 0 的解集为.
【例 5-2】函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在 ( ??,4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是。
2

【思考】已知函数 (A) (C)

f ( x) ? x2 ? bx ? c ,其图象的对称轴是直线 x ? 1 ,则()

f (?1) ? f (1) ? f (2) (B) f (1) ? f (2) ? f (?1) f (2) ? f (?1) ? f (1) (D) f (1) ? f (?1) ? f (2)

【变式】定义在 R 上的偶函数 (B)

f ( x ) ,在 (0,??) 上是增函数,则() (A) f (3) ? f ( ?4) ? f ( ?? )

f ( ?? ) ? f ( ?4) ? f (3) (C) f (3) ? f ( ?? ) ? f ( ?4) (D) f ( ?4) ? f ( ?? ) ? f (3) f ( x) ? kx ? b 为奇函数,则 b ? .

三、函数的奇偶性 【思考】1.一次函数 2.二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 为偶函数,则 b ? .
f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1, 则 f (?2) ? .

【例 6】已知函数 y ?

【变式】已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 x ? 0 时,f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1) =. 【例 6-1】若函数 f ( x ) ?

x 为奇函数,则 a ? . (2 x ? 1)( x ? a )

【Ex】设函数

f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 1x ? 2 x ? b (b 为常数) ,则 f (1) ?
2

【例 6-2】设函数

f ( x ) 是 R 上的奇函数,当 x

? 0 时,

f ( x) ? 3x ? x 2 ,那么当 x ? 0 时, f ( x ) 的表达

4

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式为

f ( x) ? . f ( ?3) ? 7 ,则 f (3) 的值为.

四、函数综合应用 【例 7】设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 5 ,其中 a , b 为常数,若

【例 8】设 a 为实数,函数 f ( x) ? x2 ? x ? a ? 1, x ? R, 求 f ( x ) 的最小值.

【拓展】已知 a, b, c ? R ,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c .若 f (0) ? f (4) ? f (1) ,则()
2

(A) a ? 0,4a ? b ? 0 (B) a ? 0,4a ? b ? 0 (C) a ? 0,2a ? b ? 0 (D) a ? 0,2a ? b ? 0 【ex】1.函数 y ?

x ?1 ?

1 的定义域是. 2? x

2.下列四个函数中,在 (0,??) 上为增函数的是() (A) f ( x) ? 3 ? x (B) f ( x) ? x2 ? 3x (C) f ( x ) ? ? 3.函数 4.函数

1 (D) f ( x) ? ? x x ?1

y ? 5 ? 4x ? x2
f ( x) ?

的单调递增区间为,单调递减区间为.

3 在区间 [3,6] 的最大值是,最小值是. x ?2

5.如果函数

f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是()

(A) a ? ?3 (B) a ? ?3 (C) a ? 5 (D) a ? 5 6.

f ( x) 是定义在 (0,??) 上的减函数,若 f ( x) ? f (2x ? 3) ,则 x 的取值范围是.

7.如图动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发,依次经过 B、C、D,在回到点 A,设 x 表示点 P 的行 程,y 表示 PA 的长度,求 y 关于 x 的函数关系式. D C
P A B

5


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