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高一数学 三角函数的图像与性质知识点梳理


高一数学 三角函数的图像和性质练习题 1.若 cosx=0,则角 x 等于( A.kπ (k∈Z) B. 2.使 cosx= A.m≥0 3.函数 y=3cos( A. ) D.-

π π +kπ (k∈Z) C. +2kπ (k∈Z) 2 2
)

π +2kπ (k∈Z) 2

1? m 有意义的 m 的值为( 1? m
B.m≤0

C.-1<m<1

D.m<-1 或 m>1 ) D.5π

2 π x- )的最小正周期是( 5 6
B.

2π 5

5π 2

C.2π

4.(1)用“五点法”作函数 y ? sin x以及y ? cos x 的图象;

(2)求 y ? 2cos x ?1 的定义域; (3)求 sin x ?

3 1 , cos x ? 中 x 的取值范围。 2 2

12. 已知函数 y=3sin(

1 π x- )( x ? R ). 2 4

(1)用“五点法”作函数的图象; (2)求此函数的最小正周期;

三角函数的图象与性质 基础梳理 1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (2)y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

值域 π 对称轴: x=kπ+ 2 对称性 (k∈Z); 对称中心: (kπ, 0)(k∈Z) 周期 π 单调增区间 _[2kπ- , 2 π 2kπ+ ](k∈Z); 2 π 单 调 减区 间 [2kπ + , 2 3π 2kπ+ ] (k∈Z) 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间[2kπ-π, 2kπ] (k∈Z) ; 单调减区间 [2kπ, 2kπ +π](k∈Z) π 单调增区间(kπ- , 2 π kπ+ )(k∈Z) 2 对称轴: x=kπ(k∈Z); 对称中心: π (kπ+ ,0) (k∈Z) 2 kπ ? 对称中心:? ? 2 ,0? (k∈Z) π

单调性

3.一般地对于函数 f(x),如果存在一个非零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期,把所有周 期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 4.求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以 1 2π |ω| ,

叫做 y=sin x,y=cos x 的上确界,-1 叫做 y=sin x,y=cos x 的下确界. (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围, 根据正弦函数单 调性写出函数的值域;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性, 如: y=sin2x-4sin x+5, 令 t=sin x(|t|≤1), 则 y=(t-2)2+1≥1,解法错误. 5.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y=Asin(ωx+φ) (ω>0)的形式,再根据基 本三角函数的单调区间,求出 x 所在的区间.应特别注意,应在函数的定义域内考虑.注意区分 下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数的正负号) (1)y π? ?π ? =sin? ?2x-4?;(2)y=sin?4-2x?. 热身练习: π? 1.函数 y=cos? ?x+3?,x∈R( A.是奇函数 ). C.是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

B.既不是奇函数也不是偶函数 ).

π ? 2.函数 y=tan? ?4-x?的定义域为(
? ? ?

? ? ? ? ? π π ? ? ? A.?x? ?x≠kπ-4 ,k∈Z B. x?x≠2kπ-4,k∈Z ? ? ? π x≠kπ+ ,k∈Z? C.?x? 4 ? ? ? ? ? π ? D.?x? ?x≠2kπ+4 ,k∈Z ? ?

π 3.函数 y=sin(2x+ )的图象的对称轴方程可能是( ) 3 π π π π A.x=- B.x=- C.x= D.x= 6 12 6 12 π ? 4.y=sin? ). ?x-4?的图象的一个对称中心是( A.(-π,0) 3π ? B.? ?- 4 ,0? 3π ? C.? ? 2 ,0? π ? D.? ?2,0? ( π? D.? ?-π,-2? )

5.下列区间是函数 y=2|cos x|的单调递减区间的是 A.(0,π) π ? B.? ?-2,0? 3π ? C.? ? 2 ,2π?

π π 6.已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤|f( )|对任意 x∈R 恒成立,且 f( )>f(π), 6 2 则 f(x)的单调递增区间是( ) π π π π 2π π A. [kπ- , kπ+ ](k∈Z) B. [kπ, kπ+ ](k∈Z)C. [kπ+ , kπ+ ](k∈Z) D. [kπ- , kπ](k∈Z) 3 6 2 6 3 2 x π? 7.函数 f(x)= 3cos? ?2-4?x∈R 的最小正周期为_______. π? 8..y=2-3cos? ?x+4?的最大值为________,此时 x=____ _________.


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