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1.1.2《集合间的基本关系》课件


1.1

集合

1.1.2 集合间的基本关系

如果把各色的铅笔看成一个集合、喜羊羊大家族也看成一个 集合,你能说出下列图中的关系吗?如何刻画这种关系?

子集及其性质

观察以下几组集合,并指出它们元素间的关系: ① A={1,2,3}, ② A={四边形}, B={1,2,3,4,5}; B={多边形};

从中你能发现集合A和集合B的元素之间有
什么关系?能否用简短的语言概况出来?

一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一 个元素都是集合 B 的元素 , 我们就说集合 A 包含于 集合B,或集合B包含集合A. 记作 也说集合A是集合B的子集.

子集的图形表示:

A? B
B

A

例题展示
例1 判断集合A是否为集合B的子集,若是则在( 若不是则在( )打×: )打√,

①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} (

②A={1,3,5}, B={1,3,6,9}
③A={0}, B={x x2+2=0} ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a}

√ ) (×) (×) ( √ )

集合的相等:
一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的任何一 个元素都是 集合B的元素,同时集合B中的任何一个元素 都是集合A的元素,则称集合A等于集合B,记作 A=B .

若A ? B且B

? A, 则A=B; 反之,亦然.

观察集合A与集合B的关系:

A={x x2+1=0}, B={x x > 2}
我们把不含任何元素的集合叫做空集,

记为 ?
规定:空集是任何集合的子集,即对任何集合A,都有:

?
微课:空集的认识

?A

http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaV o.resId=54743ed1956e44b31512b05b

真子集的概念及性质

观察集合A与集合B的关系: (1)A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}
A

? ?

B

(2)A={四边形}, B={多边形}

A

B

真子集的概念:

对于两个集合A与B,如果A ? B,并且A≠B,则
称集合A是集合B的真子集.记作A ? B.

图示为

B

A

例题展示
【例 2】 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={x∈N|x =1}; (2)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (3)P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z}; (4)A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是三角形}; (5)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.
[思路探索] 分析集合中元素及元素的特征,用子集、真
2

子集和集合相等的概念进行判断.



(1)用列举法表示集合 B={1},故 B ? A.

(2)集合 A 的代表元素是数,集合 B 的代表元素是实数对,故 A 与 B 之间无包含关系. (3)∵Q 中 n∈Z,∴n-1∈Z,Q 与 P 都表示偶数集,∴P=Q. (4)等边三角形是三边相等的三角形,故 A ? B. (5)集合 B={x|x<5},用数轴表示集合 A,B 如图所示,由图可 发现 A ? B.

规律方法
两集合间关系的判断: 首先, 判断一个集合 A 中的任意元素是否属于另一集合 B, 若是, 则 A?B,否则 A ? B; 其次,判断另一个集合 B 中的任意元素是否属于第一个集合 A, 若是,则 B?A,否则 B ? A; 若既有 A?B,又有 B?A,则 A=B.

【变式 1】 已知集合 A={x|1<x≤4,x∈N},写出 集合 A 的所有子集和真子集.



∵A={2,3,4},

∴集合 A 的所有子集是:?,{2},{3}, {4},{2,3},{2,4},{3,4},{2,3,4}, 在上述子集中,除去集合 A 本身,即 {2,3,4},剩下的都是 A 的真子集.

x 【例 3】 已知集合 A={1,y,y},B={0,x+y,|y|},若 A=B, 求实数 x,y 的值.
[思路探索] 从集合相等 的概念入手,转化为元 素间的关系,再分类讨 论求解.

解:

? x ? 因为?1,y,y?={0,x+y,|y|},且 ? ?

y≠0,所以 x=0,

从而{1,0,y}={0,y,|y|}. 又因为 y≠0,所以|y|=1,y=-1.故 x=0,y=-1.

规律方法 (1)两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但要注 意检验,看结果是否符合元素的互异性,将不符合题意的值舍 去. (2)另外证明两个集合相等的思路是证:A?B 且 B?A.

【变式 2】 已知集合 A={2,x,y},B={2x,2,y2},且 A=B, 求 x,y 的值.
解 ∵A=B,

∴集合 A 与集合 B 中的元素相同,
? ?x=2x, ∴? 2 ? ?y=y
2 ? ?x=y , 或? ? ?y=2x,

解得 x,y 1 ? ?x=4, ? ?y=1, 2 ?

? ?x=0, 的值为? ? ?y=0

? ?x=0, 或? ? ?y=1



验证得,当 x=0,y=0 时, A={2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾,舍去. 1 ? x=4, ? ? x = 0 , ? ∴x,y 的取值为? 或? ? ?y=1 ?y=1. 2 ?

子集

集合的基 本关系

集合的相等

真子集
图形表示

课后练习

课后习题


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