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2009年广州市高三理科数学调研测试、一模、二模试题分类整理


2009 年广州市高三理科数学调研测试、一模、二模试题分类整理
1.集合与常用逻辑用语 GZ-T 6. 命题“ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题 是 ... A. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 C. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 B. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 D. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1

GZ-1

2 6.已知 p :关于 x 的不等式 x ? 2ax ? a ? 0 的解集是 R, q : ? 1 ? a ? 0 ,

则 p 是q 的 A.充分非必要条件 C.充分必要条件 GZ-2 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

2 3.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 3 ≤ x ? 7? , B ? x x ? 7 x ? 10 ? 0 ,

A. ? ??,3?

?5, ??? C. ? ??,3? ?5, ???
GZ-2
2

则 ?R ? A

B? ?

?

?

?

?5, ??? D. ? ??,3? ?5, ???
B. ? ??,3?
2

4.命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是 B. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0
2 2

A. ?x ? R , x ? 2 x ? 1≥0 C. ?x ? R , x ? 2 x ? 1≥0

D. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0
2

2.函数、导数与定积分
GZ-T 9. 函数 f ( x) ? log2 ( x2 ?1) 的定义域为 .

GZ-T 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a ( a ? R). 3

(1)当 a ? ?3 时,求函数 f ?x ? 的极值; (2)若函数 f ?x ? 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围.

GZ-1 8.在区间 ?0, 1? 上任意取两个实数 a , b , 则函数 f ? x ? ? A.

1 8

1 3 x ? ax ? b 在区间 ?? 1, 1?上有且仅一个零点的概率为 2 3 7 1 B. C. D. 4 4 8
第 1 页 共 34 页

GZ-1 9.

若 log2 ?a ? 2? ? 2 ,则 3 ?
a

. .

GZ-1 10.若 GZ-1

?

a

0

x d x =1, 则实数 a 的值是

19.(本小题满分12分)

某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务, 每件产品由3个 A 型零件和1个 B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个 A 型零件或者3个 B 型零件, 现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整), 每组加工同一种型号的零件. 设加工 A 型零件的工人人数为 x 名( x ?N ).
*

(1)设完成 A 型零件加工所需时间为 f ?x ? 小时,写出 f ?x ? 的解析式; (2)为了在最短时间内完成全部生产任务, x 应取何值? GZ-2

? ? x ? x ? 4?,x ? 0, 2.已知函数 f ? x ? ? ? 则函数 f ? x ? 的零点个数为 x x ? 4 , x ≥ 0. ? ? ? ? A.1 B.2 C.3 D.4
6.函数 f ? x ? ? x cos x 的导函数 f ? ? x ? 在区间 ??? , ? ? 上的图像大致是

GZ-2

A. GZ-2 20. (本小题满分14分)

B.

C.

D.

a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;
已知函数 f ? x ? ? x ? 求实数 a 的取值范围.

(2)若对任意的 x1, x2 ??1 ,e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,

3.数列
GZ-T 2.在等比数列{an}中,已知 a1 ? 1, a4 ? 8 ,则 a5 ? A.16 B.16 或-16 C.32 D.32 或-32

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GZ-T 20.(本小题满分 14 分) 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图 6 所示的数表: 设 aij (i、j∈N*)是位于这个数表中从上往下数第 i 行、 从左往右数第 j 个数. 数表中第 i 行共有 2 (1)若 aij =2010,求 i、j 的值; (2)记 An ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann
2
i ?1

1 2 4 8 3 5 6 7 15

个正整数.

9 10 11 12 13 14 ??????????

图6 (n ? N*), 试比较 An 与 n ? n 的大小, 并说明理由.

GZ-1

* 12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意 n ?N 都有 S n ?

2 1 an ? , 3 3
.

且1 ? Sk ? 9 ( k ? N ) ,则 a1 的值为
*

, k 的值为

GZ-1 21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的相邻两项 a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N ) 的两根,
*

且 a1 ? 1 . (1) 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2) 设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立,
*

若存在, 求出 ? 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.

5.平面向量与三角
GZ-T 3.已知向量 a =(x,1) ,b =(3,6) ,a ? b ,则实数 x 的值为 A.

1 2

B. ? 2

C. 2

D. ?

1 2

GZ-T 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? R ) . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期;(2)求函数 f ( x) 的最大值,并指出此时 x 的值.

GZ-1 1.函数 f ?x? ? sin x 的最小正周期为
2

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A. ?

B. 2?

C. 3?

D. 4?

GZ-1 16.(本小题满分12分) 已知△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ? 2, c o sB ?

3 . 5

(1)若 b ? 4 , 求 sin A 的值; (2) 若△ ABC 的面积 S ?ABC ? 4, 求 b, c 的值.

GZ-2

16. (本小题满分12分)

x ? ? 2 ? ? (1)求函数 f ? x ? 的值域;

已知向量 m ? ? 2cos , 1? , n ? ? sin , 1? ? x ? R ? ,设函数 f ? x ? ? m n ?1 .

? ?

x 2

? ?

(2) 已知锐角 ?ABC 的三个内角分别为 A , B , C ,若 f ? A ? ? 求 f ? C ? 的值.

5 3 , f ? B? ? , 13 5

6.立体几何 GZ-T 7.图 2 为一个几何体的三视图,侧视图和正视图均为矩形,俯视图为正三角形,尺寸如图, 3 则该几何体的侧面积为 A.6 B.12 3 C.24 D.32
4

GZ-T 18. (本小题满分 14 分)
正视图 侧视图

如图 5,已知等腰直角三角形 RBC ,其中∠ RBC =90? , RB ? BC ? 2 . 点 A、D 分别是 RB 、 RC 的中点,现将△ RAD 沿着边 AD 折起到△ PAD 位置, 使 PA ⊥ AB ,连结 PB 、 PC . (1)求证: BC ⊥ PB ; (2)求二面角 A ? CD ? P 的平面角的余弦值.
俯视图 图2

P

C
D

R
GZ-1

A
图5

B

11.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图 3 所示, 则该几何体的侧面积为 cm .
2

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GZ-1 18. (本小题满分14分) 如图 4, 在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AB ? AC ,

D, E, F 分别是棱 PA, PB, PC 的中点,连接 DE, DF , EF .
(1)求证: 平面 DEF // 平面 ABC ; (2)若 PA ? BC ? 2 , 当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时, 求二面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值.

图4 GZ-2 8.设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P , 从直线 l 出发的两个半平面 ? 、 ? 截球 O 的两个截面圆的半径分别为 1 和 3 , 二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 150 ,则球 O 的表面积为 A. 4? GZ-T 9.在空间直角坐标系中, . B. 16? C. 28? D. 112?

以点 A ? 4,, 1 9? , B ?10, ?1 , 6? , C ? x,, 4 3? 为顶点的 ?ABC 是 以 BC 为斜边的等腰直角三角形,则实数 x 的值为 GZ-2 17. (本小题满分12分) 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? BC ? 2 ,

B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图4所示的几何体 ABCD ? AC 过A 1 1D 1 ,且 1 、 C1 、
这个几何体的体积为

40 . 3

(1)求棱 A 1 A 的长; (2)在线段 BC1 上是否存在点 P ,使直线 A 1P 与 C1 D 垂直, 如果存在,求线段 A 1P 的长,如果不存在,请说明理由.

D1

C1

A1

D A
图4

C
B

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7.平面解析几何 GZ-T 4.经过圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为 A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

GZ-T 8. 已知抛物线 C 的方程为 x ?
2

1 y, 2

过点 A ?0, ? 1? 和点 B?t , 3? 的直线与抛物线 C 没有公共点, 则实数 t 的取值范围是 A. ?? ?,?1? ? ?1,??? B. ? ? ?,?

? ? ?

? 2? ? 2 ??? ? , ?? ? 2 ? 2 ? ? ? ?

C. ? ?,?2 2 ? 2 2 ,??

?

? ?

?

D. ? ?,? 2 ?

?

? ?

2 ,??

?

? x ? y ≥ 2, ? GZ-T 12. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 2, ?0 ≤ y ≤ 3, ?
若目标函数 z ? y ? ax 仅在点 ?5, 3? 处取得最小值, 则实数 a 的取值范围为 .

GZ-T

19. (本小题满分 14 分)

设椭圆 C :

x2 y2 2 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = 2 2 a b

点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P 1 ?x1 , y1 ? , 求 3x1 ? 4 y1 的取值范围. GZ-1 4.已知过 A?? 1, a ? 、 B?a, 8? 两点的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 a 的值为 A. ? 10 B. 17 C. 5 D. 2

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GZ-1

20. (本小题满分 14 分)
2

已知动圆 C 过点 A?? 2, 0? ,且与圆 M : ?x ? 2? ? y 2 ? 64 相内切. (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m ? Z ) 与(1)中所求轨迹交于不同两点 B ,D, 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 交于不同两点 E , F ,问是否存在直线 l ,使得向量 DF ? BE ? 0 , 4 12

若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由. GZ-2 5.已知点 A ?1,0 ? ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,点 R 是直线 l 上的一点, 若 RA ? AP ,则点 P 的轨迹方程为 A. y ? ?2 x GZ-2 B. y ? 2 x C. y ? 2 x ? 8 D. y ? 2 x ? 4

21. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 3 (a ? 0,b ? 0 ) ? 2 ?1 的离心率为 , 2 a b 3 C 上有一点 M ,使 MF1 ? MF2 , 左、右焦点分别为 F 1 、 F2 ,在双曲线 1 且 ?MF 1F2 的面积为 . (1)求双曲线 C 的方程; (2)过点 P ? 3,1? 的动直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于两点 A 、 B ,
已知双曲线 C : 在线段 AB 上取异于 A 、 B 的点 Q ,满足 AP QB ? AQ PB . 证明:点 Q 总在某定直线 8.算法、统计与概率 GZ-T 5. 图 1 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分 的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A.65 GZ-T B.64 C.63 D.62
3 4 甲 5 3 6 8 7 9 1 1 2 3 4 图1 4 2 5 5 6 7 3 7 8 乙

开始 S=0 i=3 S=S+i i=i+1 否 i>10 是 输出 S

11.在如图 3 所示的算法流程图中,输出 S 的值为

.

GZ-T 17. (本小题满分 12 分) 一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件,其中有 2 件次品, 用户先对产品进行抽检以决定是否接收. 抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子) , 若前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品; 若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品.

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结束

(1)求这箱产品被用户接收的概率; (2)记抽检的产品件数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

GZ-1

3.某商场在国庆黄金周的促销活动中,

对 10 月 2 号 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直 方图如图 1 所示.已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元, 则 11 时至 12 时的销售额为 A. 6 万元 B. 8 万元 C. 10 万元 D. 12 万元

GZ-1 5.阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以 写成“ ?”或“:=”),若输出的 S 的值等于 16 ,那么在程序 框图中的判断框内应填写的条件是 A. i ? 5 ? C. i ? 7 ? GZ-1 17.(本小题满分14分) 甲、乙两名同学参加一项射击游戏, 两人约定,其中任何一人每射击一次,击中目标得2分,未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为 B. i ? 6 ? D. i ? 8 ?

3 和p, 5 9 . 20

且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为 假设甲、乙两人射击互不影响. (1)求 p 的值;

(2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

GZ-2 10.在某项才艺竞赛中,有 9 位评委,主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规 则如下: 剔除评委中的一个最高分和一个最低分后, 再计算其他 7 位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩. 现有一位参赛者所获 9 位评委一个最高分为 86 分、一个最低分为 45 分, 若未剔除最高分与最低分时 9 位评委的平均分为 76 分, 则这位参赛者的比赛成绩为 分. 是

开始 输 入

x

x ? 1? 否


x ? 1?
是 y=x

y =x2 ? 4x y =1 +4 输 出 结束 图2

y

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GZ-2 9.复数

11.阅读如图2所示的程序框图,若输出 y 的值为0, 则输入 x 的值为 .

GZ-T 1.已知 i 为虚数单位,则( 1 ? i) ( 1 ? i)= A.0 GZ-1 B.1 C.2 D.2i

2.已知 z ? i(1 ? i)(i为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于 A.第一象限

2 2 GZ-2 1.如果复数 m ? 3m ? m ? 5m ? 6 i 是纯虚数,则实数 m 的值为

?

B.第二象限

? ?

C.第三象限

?

D.第四象限 D.2 或 3

A.0 10.计数原理
5

B.2

C.0 或 3

2? ? GZ-T 10. 在 ? x ? ? 的二项展开式中,x3 的系数是_______________. (用数字作答) x? ?
GZ-1 7.在 ?1 ? x? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? ? ? an x n 中,
n

若 2a2 ? an?5 ? 0 ,则自然数 n 的值是 A.7 GZ-2 B. 8 C.9 D.10

7.现有 4 种不同颜色要对如图 1 所示的四个部分进行着色, 要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有 B.30 种 C.36 种 D.48 种 图1

A.24 种 11.推理与证明 GZ-2

* 12.在平面内有 n n ? N , n ≥ 3) 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,

若这 n 条直线把平面分成 f ? n ? 个平面区域, 则 f ? 5? 的值是

?

, f ? n ? 的表达式是



GZ-2

18. (本小题满分14分)

* 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 am , am?2 , am?1 m ? N 成等差数列,

?

?

试判断 Sm , Sm? 2 , Sm?1 是否成等差数列,并证明你的结论. GZ-2 19. (本小题满分14分)
*

一个口袋中装有 2 个白球和 n 个红球( n ≥2 且 n ? N ) , 每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中) , 若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖. (1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 p ; (2)若 n ? 3 ,求三次摸球恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f ? p ? ,当 n 为何值时, f ? p ? 最大? 12.坐标系与参数方程 GZ-T 14.(坐标系与参数方程选讲选做题)
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在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , ? y ? 2 ? 2 sin ?

以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的圆心极坐标为_________. GZ-1 13. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线 ? sin ?? ?

? ?

??

? ? 2 被圆 ? ? 4 截得的弦长为__ 4?

.

15. (坐标系与参数方程选做题) 直线 ?

? x ? 2 ? 5cos ? , ? x ? ?2 ? 4t , ( ? 为参数) t为参数? 被圆 ? ? ? y ? 1 ? 5sin ? ? y ? ?1 ? 3t


所截得的弦长为

13.几何证明选讲 GZ-T 15. (几何证明选讲选做题) P 如图 4, 是圆 O 外一点,过 P 引圆 O 的两条割线 PAB、PCD, PA = AB = 5 ,CD = 3,则 PC =____________. GZ-1 14.(几何证明选讲选做题)
P

B A O C D 图4

已知 PA 是圆 O ( O 为圆心)的切线,切点为 A , PO 交圆 O 于 B, C 两点,

AC ? 3, ?PAB ? 30? ,则线段 PB 的长为
GZ-2 13. (几何证明选讲选做题)

.

如图 3 所示, 在四边形 ABCD 中,EF

BC ,FG

AD , 则

EF FG ? 的值为 BC AD



图 3

14.不等式选讲 GZ-T 13. (不等式选讲选做题)不等式 2 x ? x ? 1 ? 2 的解集是______________.

GZ-1

15. (不等式选讲选做题)
2 2 2

已知 a, b, c ? R,且 a ? b ? c ? 2, a ? 2b ? 3c ? 4 , 则实数 a 的取值范围为_____________. GZ-2 14. (不等式选讲选做题) 函数 f ? x ?= x ?1 ? x ? 2 的最小值为 .

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2009 年广州市高三年级调研测试

数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 C A B A B C C D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

(??, ?1) 9.

(1, ??) 10.? 10

52 11.

12.

?1,

?? ? 1 ? ? ? ? ? 13. ? ? , 1? 14. ? 2, ? 2? ? 3 ? ?

15. 2

说明:第14题答案可以有多种形式,如可答 ? 2,

? ?

5? ? ? ? ? ? 2k? ?(k ? Z ) 等, 均给满分. ? 或 ? 2, 2 ? ? 2 ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

cos x ? 解: (1)∵ f ?x? ? sin x ? 3 cos x ? 2? sin x ? ?2 ? 2 ? ?

?1

3

?

?? 2 分

? ?? ? ? 2? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ?
?? ? ? 2 sin? x ? ? . 3? ?
∴ T ? 2? . (2) 当 sin? x ? 此时 x ?

?? 4 分

?? 6 分 ?? 8 分 ??10 分

? ?

??
?

? ? 1 时, f ( x) 取得最大值, 其值为 2 . 3?

?
3

?
2

? 2k? ,即 x ? 2k? ?

?
6

(k ? Z ) .
8? 7 ? 6 7 ? . 10 ? 9 ? 8 15

??12 分

17.(本小题满分 12 分) 解: (1)设“这箱产品被用户接收”为事件 A , P( A) ? 即这箱产品被用户接收的概率为 (2) ? 的可能取值为 1,2,3. ??3 分 ??4 分 ??5 分

7 . 15

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P?? ? 1? =

2 1 ? , 10 5 8 2 8 , P?? ? 2? = ? ? 10 9 45 8 7 28 , P?? ? 3? = ? ? 10 9 45

??8 分

∴ ? 的概率分布列为:

?
P
∴ E? =

1

2

3

1 5

8 45

28 45

??10 分

1 8 28 109 ?1 ? ?2? ?3 ? . 5 45 45 45

??12 分

18.(本小题满分 14 分) 解: (1)∵点 A、D 分别是 RB 、 RC 的中点,

1 BC . 2 ∴∠ PAD ? ?RAD ? ?RBC =90? .∴ PA ? AD .∴ PA ? BC ,
∴ AD // BC , AD ? ∵ BC ? AB, PA ? AB ? A , ∴ BC ⊥平面 PAB . ∵ PB ? 平面 PAB , ∴ BC ? PB . (2)法 1:取 RD 的中点 F ,连结 AF 、 PF . ∵ RA ? AD ? 1 ,∴ AF ? RC . ∵ AP ? AR, AP ? AD ,∴ AP ? 平面 RBC . ∵ RC ? 平面 RBC ,∴ RC ? AP . ∵ AF ? AP ? A, ∴ RC ? 平面 PAF . ∵ PF ? 平面 PAF ,∴ RC ? PF . ∴∠ AFP 是二面角 A ? CD ? P 的平面角. 在 Rt△ RAD 中, AF ?
F R A P

?? 2 分

?? 4 分 ?? 6 分

?? 8 分
C D

B

??10 分

1 1 2 RD ? RA2 ? AD2 ? , 2 2 2

2 AF 3 6 2 2 ? 2 ? 在 Rt△ PAF 中, PF ? PA ? AF ? , cos?AFP ? . ??12 PF 3 2 6 2


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∴ 二面角 A ? CD ? P 的平面角的余弦值是 法 2:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz .

3 . 3

??14 分

z P

则 D (-1,0,0) , C (-2,1,0) , P (0,0,1). ∴ DC =(-1,1,0) , DP =(1,0,1), 设平面 PCD 的法向量为 n =(x,y,z) ,则: ??8 分

?

C D

? ? ?n ? DC ? ? x ? y ? 0 , ? ? ? n ? DP ? x ? z ? 0 ?
令 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? ?1 ,∴ n =(1,1,-1).

??10 分
R A x B y

?

显然, PA 是平面 ACD 的一个法向量, PA =( 0,0, ? 1 ) .

??12 分

? ? n ? PA ? ∴cos< n , PA >= ? n ? PA

1 3 ?1

?

3 . 3

∴二面角 A ? CD ? P 的平面角的余弦值是

3 . 3

??14 分

19. (本小题满分 14 分) 解:(1)依题意知, 2a ? 4,? a ? 2. ∵e ? ∴c ? ?? 2 分

c 2 , ? a 2

2, b ? a 2 ? c 2 ? 2 .
x2 y2 ? ? 1. 4 2

?? 4 分

∴所求椭圆 C 的方程为

?? 6 分

(2)∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P 1 ?x1 , y1 ? ,

? y 0 ? y1 ? 2 ? ?1, ? ? x 0 ? x1 ∴ ? ? y 0 ? y1 ? 2 ? x 0 ? x1 . ? 2 ? 2
解得: x1 ?

??8 分

4 y0 ? 3 x0 3 y ? 4 x0 , y1 ? 0 . 5 5

??10 分

第 13 页 共 34 页

∴ 3x1 ? 4 y1 ? ?5x0 . ∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 在椭圆 C :

??12 分

x2 y2 ? ? 1 上, 4 2

∴ ? 2 ? x0 ? 2 , 则 ? 10 ? ?5x0 ? 10 . ∴ 3x1 ? 4 y1 的取值范围为 ?? 10, 10? . 20.(本小题满分 14 分) 解: (1)数表中前 n 行共有 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

??14 分

? 2 n ? 1 个数,
?? 2 分 ?? 4 分

即第 i 行的第一个数是 2 ∴ aij = 2 i ?1 ? j ? 1 .∵ 2 令 210 ? j ? 1 ? 2010,

i ?1



10

? 2010 ? 211 , aij =2010,∴ i=11.

解得 j ? 2010? 210 ? 1 ? 987. (2)∵ An ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann

?? 6 分

? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2n?1 ? ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? ?n ? 1??
? 2n ? 1 ?
2

?

?

n?n ? 1? . 2
n

?? 7 分

∴ An ? (n ? n) ? 2 ? 1 ?

n?n ? 1? n 2 ? 3n ? 2 ? ( n 2 ? n) ? 2 n ? . 2 2

n 2 ? 3n ? 2 当 n ? 1 时, 2 ? , 则 An ? n 2 ? n ; 2
n n 当 n ? 2 时, 2 ?

n 2 ? 3n ? 2 , 则 An ? n 2 ? n ; 2 n 2 ? 3n ? 2 , 则 An ? n 2 ? n ; 2
n

n 当 n ? 3 时, 2 ?

n 2 ? 3n ? 2 当 n ? 4 时, 猜想: 2 ? . 2
下面用数学归纳法证明猜想正确.
4 ① 当 n ? 4 时, 2 ? 16 ?

?? 11 分

42 ? 3 ? 4 ? 2 n 2 ? 3n ? 2 n , 即2 ? 成立; 2 2
第 14 页 共 34 页

② 假设当 n ? k ?k ? 4? 时, 猜想成立, 即 2 ?
k

k 2 ? 3k ? 2 , 2

则2

k ?1

? 2 ? 2k ? 2 ?

k 2 ? 3k ? 2 ? k 2 ? 3k ? 2 , 2

∵ k ? 3k ? 2 ?
2

?k ? 1?2 ? 3?k ? 1? ? 2 ? 2k 2 ? 6k ? 4 ? k 2 ? 5k ? 6 ? ?k ? 2??k ? 1? ? 0 ,
2 2 2

∴2

k ?1

2 ? k ? 1? ? 3?k ? 1? ? 2 . ?

2

即当 n ? k ? 1 时,猜想也正确.
n 由①、②得当 n ? 4 时, 2 ?

n 2 ? 3n ? 2 成立. 2
?? 13 分 ?? 14 分

当 n ? 4 时, An ? n 2 ? n . 综上所述, 当 n ? 1,2,3 时, An ? n 2 ? n ; 当 n ? 4 时, An ? n 2 ? n . 另法( 证明当 n ? 4 时, 2 ?
n

n 2 ? 3n ? 2 可用下面的方法): 2
n

1 2 3 当 n ? 4 时, 2 n ? ?1 ? 1? ? C 0 n + Cn + Cn + Cn

? 1? n ?
? 1? n ?
21. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? ?3 时, f ? x ? ?
2

n?n ? 1? n?n ? 1??n ? 2? ? 2 6
n?n ? 1? n ? 3 ? 2 n 2 ? 3n ? 2 ? ? . 2 6 2

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 3 , 3

∴ f ?? x ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?x ? 3??x ? 1? . 令 f ?? x ? =0, 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 .
' 当 x ? ?1 时, f ?x? ? 0 , 则 f ?x ? 在 ?? ?,?1? 上单调递增; ' 当 ? 1 ? x ? 3 时, f ?x? ? 0 , 则 f ?x ? 在 ?? 1, 3? 上单调递减; ' 当 x ? 3 时, f ?x? ? 0 , f ?x ? 在 ?3,??? 上单调递增.

?? 2 分

?? 4 分

第 15 页 共 34 页

∴ 当 x ? ?1 时, f ?x ? 取得极大值为 f ?? 1? ? ? 当 x ? 3 时, f ?x ? 取得极小值为 f ?3? ?

1 14 ?1? 3 ? 3 ? ; 3 3
?? 6 分

1 ? 27 ? 9 ? 9 ? 3 ? ?6 . 3

2 (2) ∵ f ?? x ? = x ? 2 x ? a ,∴△= 4 ? 4a = 4?1 ? a ? .

① 若 a≥1,则△≤0, ∴ f ?? x ? ≥0 在 R 上恒成立,∴ f(x)在 R 上单调递增 . ∵f(0) ? ? a ? 0 , f ?3? ? 2a ? 0 , ∴当 a≥1 时,函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. ② 若 a<1,则△>0, ∴ f ?? x ? = 0 有两个不相等的实数根,不妨设为 x1,x2, (x1<x2) . ∴x1+x2 = 2,x1x2 = a. 当 x 变化时, f ' ?x ?, f ?x ?的取值情况如下表: x

?? 7 分

?? 9 分

?? ?, x1 ?
+

x1 0 极大值

(x1,x2) -

x2 0 极小值

?x2 ,???
+

f ?? x ?
f(x)





↗ ?? 11 分

2 ∵ x1 ? 2 x1 ? a ? 0 , ∴ a ? ? x12 ? 2 x1 .

1 3 1 1 x1 ? x12 ? ax1 ? a ? x13 ? x12 ? ax1 ? x12 ? 2 x1 ? x13 ? ?a ? 2 ?x1 3 3 3 1 ? x1 x12 ? 3?a ? 2 ? . 3 1 2 同理 f ?x2 ? ? x 2 x 2 ? 3?a ? 2? . 3 1 2 2 ∴ f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 x 2 x1 ? 3?a ? 2 ? ? x 2 ? 3?a ? 2 ? 9 1 2 2 2 ? ?x1 x 2 ??x1 x 2 ? ? 3?a ? 2? x12 ? x 2 ? 9?a ? 2? 9 1 4 2 2 ? a a 2 ? 3?a ? 2??x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 ? 9?a ? 2? ? a a 2 ? 3a ? 3 . 9 9
∴ f ? x1 ? ?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

令f (x1) · f (x2) >0, 解得 a> 0 .

而当 0 ? a ? 1 时, f ?0? ? ?a ? 0, f ?3? ? 2a ? 0 ,

第 16 页 共 34 页

故当 0 ? a ? 1 时, 函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. 综上所述,a 的取值范围是 ?0,??? .

?? 13 分 ?? 14 分

2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 B 8 D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其 中 13~15 是选做题,考生只能选做两题. 第 12 题第一个空 2 分,第二个空 3 分. 9. 9 14.1 10. 2 15. ? , 2? 11 11. 80 12.-1;4 13. 4 3

?2 ?

? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查运算求解能力) 解: (1)∵ cos B ?

3 ? 0, 且0 ? B ? ? , 5 4 2 ∴ sin B ? 1 ? cos B ? . 5 a b ? 由正弦定理得 . sin A sin B 4 2? a sin B 5 ?2. ∴ sin A ? ? b 4 5 1 (2)∵ S ?ABC ? ac sin B ? 4, 2 1 4 ∴ ? 2 ? c ? ? 4. 2 5 ∴ c ? 5.
由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

∴b ?

a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2 2 ? 5 2 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 . 5

17. (本小题满分 14 分)
第 17 页 共 34 页

(本小题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识,考查运算求解能力) 解: (1)记“甲射击一次,击中目标”为事件 A , “乙射击一次,击中目标”为事件 B , “甲射击一次, 未击中目标”为事件 A , “乙射击一次,未击中目标”为事件 B , 则 P ? A? ? 依题意得 解得 p ?

3 2 , P A ? , P?B? ? p, P B ? 1 ? p . 5 5

??

??

3 3? 9 , ?1 ? p ? ? ? ?1 ? ? p ? 5 20 ? 5?
3 . 4

故 p 的值为

3 . 4

(2) ? 的取值分别为 0,2,4, .

P?? ? 0? ? P AB ? P A ? P B ? P ?? ? 2 ? ? 9 , 20

? ? ?? ??

2 1 1 ? ? , 5 4 10

P?? ? 4? ? P? AB ? ? P? A? ? P?B ? ?

3 3 9 ? ? , 5 4 20

? ? 的分布列为

?
p

0

2

4

1 10

9 20

9 20

? E ? ? 0?

1 9 9 27 ? 2? ? 4? ? . 10 20 20 10

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间中线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力) P (1) 证明: ∵ D, E 分别是棱 PA, PB 的中点, ∴ DE 是△ PAB 的中位线. ∴ DE // AB . ∵ DE ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC, ∴ DE // 平面 ABC . 同理可证 DF // 平面 ABC . ∵ DE ? DF ? D, DE ? 平面 DEF , DF ? 平面 DEF ,
B E A C D F

第 18 页 共 34 页

∴平面 DEF // 平面 ABC . (2) 求三棱锥 P ? ABC 的体积的最大值, 给出如下两种解法: 解法 1: 由已知 PA ? 平面 ABC , AC ? AB , PA ? BC ? 2 ∴ AB ? AC ? BC ? 4 .
2 2 2

∴三棱锥 P ? ABC 的体积为 V ?

1 ? PA ? S ?ABC 3 1 1 ? ? PA ? ? AB ? AC 3 2 1 ? ? 2 ? AB ? AC 6

1 AB2 ? AC 2 ? ? 3 2 ?
?

1 BC 2 ? 3 2
2 . 3 2 , 此时 AB ? AC ? 2 . 3

当且仅当 AB ? AC 时等号成立, V 取得最大值,其值为

解法 2:设 AB ? x ,在 Rt△ ABC 中, AC ?

BC2 ? AB2 ? 4 ? x 2 ?0 ? x ? 2? .

∴三棱锥 P ? ABC 的体积为 V ?

1 ? PA ? S ?ABC 3 1 1 ? ? PA ? ? AB ? AC 3 2 1 ? x 4 ? x2 3 1 ? 4x 2 ? x 4 3 2 1 ? ? x2 ? 2 ? 4 . 3

?

?

∵ 0 ? x ? 2,0 ? x ? 4 ,
2

∴ 当 x ? 2 ,即 x ?
2

2 2 时, V 取得最大值,其值为 ,此时 AB ? AC ? 2 . 3

求二面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值, 给出如下两种解法: 解法 1:作 DG ? EF ,垂足为 G , 连接 AG . ∵ PA ? 平面 ABC ,平面 ABC // 平面 DEF ,
第 19 页 共 34 页

PA ? 平面 DEF . EF ? 平面 DEF , PA ? EF . DG ? PA ? D , ∴ EF ? 平面 PAG . ∵ AG ? 平面 PAG , ∴ EF ? AG . ∴ ?AGD 是二面角 A ? EF ? D 的平面角.
∴ ∵ ∴ ∵ 在 Rt△ EDF 中, DE ? DF ? ∴ DG ?

1 2 1 AB ? , EF ? BC ? 1, 2 2 2

P

1 . 2

D

F G

在 Rt△ ADG 中, AG ?

AD2 ? DG 2 ? 1 ?

1 5 , ? 4 2

E A

C

1 DG 5 . cos?AGD ? ? 2 ? AG 5 5 2
∴二面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值为

B

5 . 5

解法 2:分别以 AB, AC, AP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A?0,0,0 ?, D?0,0,1?, E ?

? 2 ? ? 2 ? ?, F ? 0, ? , 0 , 1 ? 2 ? ? 2 ,1? . ? ? ? ?
P

z

? 2 ? ? 2 2 ? ?, EF ? ? ? ? , 0 , 1 ∴ AE ? ? ? 2 ? ? 2 , 2 ,0 ? . ? ? ? ?
设 n ? ?x, y, z ? 为平面 AEF 的法向量,
E

D

F

? ?n ? AE ? 0, ∴? ? ?n ? EF ? 0.

A C y

? 2 x ? z ? 0, ? ? 2 即? ? ? 2 x ? 2 y ? 0. ? 2 ? 2
令x?

B x

2 , 则 y ? 2, z ? ?1 .
第 20 页 共 34 页

∴n ?

?

2, 2,?1 为平面 AEF 的一个法向量.

?

∵平面 DEF 的一个法向量为 DA ? ?0,0,?1? , ∴ cos n, DA ?

n ? DA n DA

?

? 2? ? ? 2?
2

1

2

? ?? 1? ? 1
2

?

5 . 5

∴二面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值为

5 . 5

19. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识,考查分类与整合的数学思想方法, 以及运算求解能力和应用意识) 解: (1)生产150件产品,需加工 A 型零件450个, 则完成 A 型零件加工所需时间 f ?x ? ?

450 90 ? ( x ? N * ,且 1 ? x ? 49) . 5x x

(2)生产150件产品,需加工 B 型零件150个, 则完成 B 型零件加工所需时间 g ?x ? ?

150 50 ? ( x ? N * ,且1 ? x ? 49) . 3?50 ? x ? 50 ? x

设完成全部生产任务所需时间为 h?x ? 小时,则 h?x ? 为 f ?x ? 与 g ?x ? 的较大者. 令 f ?x ? ? g ?x ? ,即 解得 1 ? x ? 32

90 50 ? , x 50 ? x

1 . 7

所以,当 1 ? x ? 32 时, f ?x ? ? g ?x ? ;当 33 ? x ? 49 时, f ?x ? ? g ?x ? .

? 90 , ? 故 h?x ? ? ? x 50 ? , ? 50 ? x

?x ? N ,1 ? x ? 32? . ?x ? N ,33 ? x ? 49?
* *

90 ? 0 ,故 h?x ? 在 ?1, 32? 上单调递减, x2 90 45 ? 则 h?x ? 在 ?1,32? 上的最小值为 h?32 ? ? (小时) ; 32 16
' 当 1 ? x ? 32 时, h ? x ? ? ?

' 当 33 ? x ? 49 时, h ?x ? ?

?50 ? x ?2

50

? 0 ,故 h?x ? 在 ?33, 49? 上单调递增,
50 50 ? (小时) ; 50 ? 33 17

则 h?x ? 在 ?33, 49? 上的最小值为 h?33 ? ?

? h?33? ? h?32? ,

第 21 页 共 34 页

? h?x ? 在 ?1, 49?上的最小值为 h?32? .
? x ? 32 .
答:为了在最短时间内完成生产任务, x 应取 32 . 20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究,考查数形结合、分类与整合的数学思想 方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) 解: (1)圆 M : ?x ? 2? ? y 2 ? 64 , 圆心 M 的坐标为 ?2, 0? ,半径 R ? 8 .
2

∵ AM ? 4 ? R , ∴点 A?? 2, 0? 在圆 M 内. 设动圆 C 的半径为 r ,圆心为 C ,依题意得 r ? CA ,且 CM ? R ? r , 即 CM ? CA ? 8 ? AM . ∴圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A, M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆,设其方程为

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , 则 a ? 4, c ? 2 . a2 b2 2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 12 . x2 y2 ? ? 1. ∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为 16 12
(2)由 ? x 2

? y ? kx ? m, ? 消去 y 化简整理得: 3 ? 4k 2 x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 48 ? 0 . y2 ? ? 1 . ? ? 16 12 8km 设 B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? . 3 ? 4k 2

?

?

△ 1 ? ?8km? ? 4 3 ? 4k 2 4m2 ? 48 ? 0 . ①
2

?

??

?

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 消去 y 化简整理得: 3 ? k 2 x 2 ? 2kmx? m 2 ? 12 ? 0 . y2 ? ? 1 . ? ? 4 12 2km 设 E?x3 , y3 ?, F ?x4 , y 4 ?,则 x3 ? x 4 ? , 3?k2

?

?

△ 2 ? ?? 2km? ? 4 3 ? k 2 m2 ? 12 ? 0 . ②
2

?

??

?

∵ DF ? BE ? 0 , ∴ ( x4 ? x2 ) ? ( x3 ? x1 ) ? 0 ,即 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,

8km 2km ? . 2 3 ? 4k 3?k2 4 1 ? ∴ 2km ? 0 或 ? . 2 3 ? 4k 3?k2 解得 k ? 0 或 m ? 0 .
∴?
第 22 页 共 34 页

当 k ? 0 时,由①、②得 ? 2 3 ? m ? 2 3 , ∵ m ?Z, ∴ m 的值为 ? 3,?2 ?1 , 0 , 1 ,2,3 ; 当 m ? 0 ,由①、②得 ? 3 ? k ? 3 , ∵ k ? Z, ∴ k ? ?1, 0, 1 . ∴满足条件的直线共有 9 条. 21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列的通项公式、数列前 n 项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、分类与 整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力) 解: (1) ∵ a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N * ) 的两根, ∴?

?a n ? a n ?1 ? 2 n , ? bn ? a n a n ?1 .

求数列 ?an ? 的通项公式, 给出如下四种解法: 解法 1: 由 an ? an?1 ? 2 n ,得 a n ?1 ?

1 n ?1 1 ? ? ? 2 ? ?? a n ? ? 2 n ? , 3 3 ? ?

故数列 ?a n ? ∴ an ?

? ?

2 1 1 n? ? 2 ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列. 3 3 3 ?

1 n 1 1 n ?1 n ? 2 ? ? ?? 1? , 即 a n ? 2 n ? ?? 1? . 3 3 3
n ?1

?

?

解法 2: 由 an ? an?1 ? 2 n ,两边同除以 ?? 1?

, 得

?? 1?

an?1
n ?1

?

?? 1?

an

n

? ??? 2? ,
n

令 cn ?

?? 1?

an

n

, 则 cn?1 ? cn ? ??? 2? .
n

故 cn ? c1 ? ?c2 ? c1 ? ? ?c3 ? c2 ? ? ? ? ?cn ? cn?1 ?

? ?1 ? ?? 2? ? ?? 2? ? ?? 2? ? ? ? ?? 2?
2 3

n?1

? ?1 ?

?? 2? ? ?1 ? ?? 2?n?1 ? 1 ? ?? 2?

?
且 c1 ?

1 ?? 2?n ? 1 ?n ? 2? . 3

?

?

a1 ? ?1 也适合上式, ?1

第 23 页 共 34 页



?? 1?

an

n

?

1 ?? 2?n ? 1 , 即 a n ? 1 2 n ? ?? 1?n . 3 3

?

?

?

?

解法3: 由 an ? an?1 ? 2 n ,得 an?1 ? an?2 ? 2 n?1 , 两式相减得 an?2 ? an ? 2 n?1 ? 2 n ? 2 n . 当 n 为正奇数时, an ? a1 ? ?a3 ? a1 ? ? ?a5 ? a3 ? ? ? ? ?an ? an?2 ?

? 1 ? 2 ? 2 3 ? 2 5 ? ? ? 2 n?2
n ?1 ? ? 2 ? 2? ?1 ? 4 ? ? ? 1? ? 1? 4

2n ? 1 ? ?n ? 3? . 3
且 a1 ? 1 也适合上式. 当 n 为正偶数时, an ? a2 ? ?a4 ? a2 ? ? ?a6 ? a4 ? ? ? ? ?an ? an?2 ?

? 1 ? 2 2 ? 2 4 ? 2 6 ? ? ? 2 n?2
n?2 ? ? 2 ? 4? 1 ? 4 ? ? ? ? 1? ? 1? 4

?

2n ? 1 ?n ? 4? . 3

且 a2 ? 21 ? a1 ? 1 也适合上式.
* ∴ 当 n ?N 时, an ?

1 n n 2 ? ?? 1? . 3

?

?

解法4:由 an ? an?1 ? 2 n , a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 ? 1 ?
3

? 1 ? ?? 2? 1 ? 22 ? 1 , 1 ? ?? 2? 3
2

?

?

a3 ? 2 2 ? a 2 ? 2 2 ? 2 ? 1 ?
猜想 an ?

1 ? ?? 2? 1 ? 23 ? 1 . 1 ? ?? 2? 3

?

?

1 n n 2 ? ?? 1? . 3

?

?

下面用数学归纳法证明猜想正确. ① 当 n ? 1 时,易知猜想成立;

第 24 页 共 34 页

* ② 假设当 n ? k (k ? N )时,猜想成立,即 a k ?

由 ak ? ak ?1 ? 2 k ,得 a k ?1

1 k k 2 ? ?? 1? , 3 1 1 k k ?1 ? 2 k ? a k ? 2 k ? 2 k ? ?? 1? ? 2 k ?1 ? ?? 1? , 3 3

? ?

? ? ?

?

故当 n ? k ? 1 时,猜想也成立.
* 由①、②得,对任意 n ?N , an ?

1 n n 2 ? ?? 1? . 3

?

?

∴ bn ? a n a n ?1 ?

?

1 2 n ?1 n 2 ? ?? 2 ? ? 1 . 9

?

1 n n n ?1 2 ? ?? 1? ? 2 n ?1 ? ?? 1? 9

?

??

?

?

(2) S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

?

1 2 n 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? ?? 1? ? ?? 1? ? ? ? ?? 1? 3

??

? ?

??

n ? 1 ? n ?1 ? 1? ? 1? ? ?2 ? 2 ? ?. 3? 2 ?

要使 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立,
*



1 2 n ?1 ?? 1?n ? 1? ? 0 (*)对任意 N * 都成立. ?? n 2 ? ?? 2 ? ? 1 ? ?2 n ?1 ? 2 ? n? ? 9 3? 2 ?

?

?

① 当 n 为正奇数时, 由(*)式得 即

1 n ?1 ? 2 ? 1 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 0 , 9 3

1 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 0 , 9 3

?

?

?

?

?

??

?

?

?

∵2 ∴? ?

n ?1

?1 ? 0 ,

1 n 2 ? 1 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 n 2 ? 1 有最小值 1 . 当且仅当 n ? 1 时, 3 ∴ ? ? 1.

?

?

?

?

② 当 n 为正偶数时, 由(*)式得 即

1 n ?1 2? n 2 ? 1 2n ?1 ? 2 ?1 ? 0 , 9 3

1 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 ? 0 , 9 3

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

∵ 2 ?1 ? 0 ,
n

∴? ?

1 n ?1 2 ? 1 对任意正偶数 n 都成立. 6
第 25 页 共 34 页

?

当且仅当 n ? 2 时, ∴? ?

1 n ?1 3 2 ? 1 有最小值 . 6 2

?

?

3 . 2

* 综上所述, 存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立, ? 的取值范围是 ?? ?, 1? .

第 26 页 共 34 页

2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供 参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标 准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确 解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考生只能选做二 题,三题全答的,只计算前二题得分.第 12 题第 1 个空 3 分,第 2 个空 2 分. 9.2 13.1 10.79 14.3 11.0 或 2 15.6 12.16,

n2 ? n ? 2 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识, 考查化归与转化的数学思想方法, 以及运算求解能力) 解: (1) f ? x ? ? m n ? 1 ? ? 2cos , 1? ? sin , 1? ? 1

∵ x? R ,

x ?? x ? 2 ?? 2 ? x x ? 2 cos sin ? 1 ? 1 ? sin x . 2 2

? ?

∴函数 f ? x ? 的值域为 ?-1, 1? .

5 3 5 3 , f ? B ? ? ,∴ sin A ? , sin B ? . 13 5 13 5 12 4 2 2 ∵ A, B 都为锐角,∴ cos A ? 1 ? sin A ? , cos B ? 1 ? sin B ? . 13 5
(2)∵ f ? A ? ? ∴ f ? C ? ? sin C ? sin ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? sin ? A ? B ?

? sin A cos B ? cos A sin B 5 4 12 3 56 ? ? ? ? ? . 13 5 13 5 65
第 27 页 共 34 页

∴ f ? C ? 的值为

56 . 65

17. (本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识,考查数形结合的数学思想 方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解: (1)设 A 1 A ? h ,∵几何体 ABCD ? AC 1 1D 1 的体积为 ∴ VABCD ? A1C1D1 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 ? 即 S ABCD ? h ? ? S ?A1B1C1 ? h ? 即 2? 2? h ? ?

40 , 3

40 , 3

1 3

40 , 3

1 1 40 ? 2? 2? h ? ,解得 h ? 4 . 3 2 3

∴A 1 A 的长为4. (2)在线段 BC1 上存在点 P ,使直线 A 1P 与 C1 D 垂直. 以下给出两种证明方法: 方法1:过点 D1 作 C1D 的垂线交 C1C 于点 Q ,过点 Q 作 PQ 交 BC1 于点 P . ∵ C1D ? D1Q , C1D ? A 1D 1, D 1Q ∴ C1D ? 平面 A1D1Q . ∵ AQ . ? 平面 A1D1Q ,∴ C1D ? AQ 1 1 ∵ C1D ? PQ ,∴ C1D ? 平面 A 1PQ . ∵ A1P ? 平面 A 1P . 1PQ ,∴ C1 D ? A 在矩形 CDD1C1 中,∵ Rt?D1C1Q ∽ Rt?C1CD , ∴

BC

D1

C1
Q P

A1

A1D1 ? D1 ,

D A B

C

CQ 2 C1Q D1C1 ,即 1 ? ,∴ C1Q ? 1 . ? 2 4 CD C1C

CP 1 C1P C1Q 5 ,即 1 ? ,∴ C1 P ? . ? 2 C1B C1C 2 5 4 1 A1C1 10 2 cos ? A C P ? ? 在 ?A 中,∵ ,∴ . PC AC ? 2 2 1 1 1 1 1 1 C1 B 10
∵ ?C1PQ ∽ ?C1BC ,∴ 由余弦定理,得 A1 P ?

A1C12 ? C1P 2 ? 2 ? A1C1 ? C1P ? cos ?A1C1P

5 5 10 29 . ? 8 ? ? 2? 2 2 ? ? ? 4 2 10 2
29 . 2 方法2:以点 D 为坐标原点,分别以 DA , DC , DD1 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立如 图的空间直角坐标系,由已知条件与(1)可知, C1 ? 0, 2, 4? , A 1 ? 2,0, 4? , D ? 0,0,0? , 假设在线段 BC1 上存在点 P ? x,y,z ? ? 0 ≤ x ≤2,y ? 2 , 0≤ z ≤ 4?
∴在线段 BC1 上存在点 P ,使直线 A 1P 与 C1 D 垂直,且线段 A 1P 的长为
第 28 页 共 34 页

P 作 PQ ? BC 交 BC 于点 Q . 使直线 A 1P 与 C1 D 垂直,过点

由 ?BPQ ∽ ?BC1C ,得 ∴ PQ ?

PQ BQ , ? C1C BC

BQ 2? x ? C1C ? ? 4 ? 4 ? 2x . BC 2 ∴ z ? 4 ? 2x .
∴ A1P ? ? x ? 2,, 2 ? 2 x ? , C1D ? ? 0, ? 2, ? 4? . ∵A 1 P ? C1 D ,∴ A 1P C1D ? 0 , 即 ? x ? 2,, 2 ? 2x ? ? 0, ? 2, ? 4? ? 0 ,∴ x ?

1 . 2

此时点 P 的坐标为 ? ,, 2 3 ? ,在线段 BC1 上.

?1 ?2

? ?

29 2 ? 3? ? 3 ? ∵ A1 P ? ? ? ,, . 2 ? 1? ,∴ A1 P ? ? ? ? ? 22 ? ? ?1? ? 2 ? 2? ? 2 ?
∴在线段 BC1 上存在点 P ,使直线 A 1P 与 C1 D 垂直,且线段 A 1P 的长为

2

29 . 2

18. (本小题主要考查等差数列、 等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识, 考查化归与转化、 分类与整合的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) 解:设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ? a1 ? 0, q ? 0? , 若 am , am?2 , am?1 成等差数列, 则 2am?2 ? am ? am?1 . ∴ 2a1qm?1 ? a1qm?1 ? a1qm . ∵ a1 ? 0 , q ? 0 ,∴ 2q 2 ? q ? 1 ? 0 . 解得 q ? 1 或 q ? ?

1 . 2 当 q ? 1 时,∵ Sm ? ma1 , Sm?1 ? ? m ? 1? a1 , Sm?2 ? ? m ? 2? a1 ,
∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 . ∴当 q ? 1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 不成等差数列.

1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列.下面给出两种证明方法. 2 证法1:∵ ? Sm ? Sm?1 ? ? 2Sm?2 ? ? Sm ? Sm ? am?1 ? ? 2 ? Sm ? am?1 ? am?2 ?
当q ? ?

? ?am?1 ? 2am?2 ? ?am?1 ? 2am?1q
? 1? ? ?am?1 ? 2am?1 ? ? ? ? 0 , ? 2?
∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 .
第 29 页 共 34 页

1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列. 2 ? ? 1 ?m? 2 ? 2a1 ?1 ? ? ? ? ? m? 2 ? 2? ? 4 ? ? 1? ? ? ? ? 证法2:∵ 2Sm? 2 ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? , 1 3 ? ? ? 2? ? ? 1? 2 ? ? 1 ?m ? ? ? 1 ?m?1 ? a1 ?1 ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? m m ?1 ? ? 2? ? ? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 1? ? 1? ? ? ? 又 Sm ? Sm?1 ? ? ? a1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 3 ? ? ? 2? ? 2? ? ? 1? 1? 2 2 m?2 m? 2 m? 2 2 ? ? 1? ? 1? ? 4 ? ? 1? ? ? a1 ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? , 3 ? ? 2? ? 2? ? ? ? 3 ? ? ? 2? ? ? ∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 . 1 ∴当 q ? ? 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列. 2
∴当 q ? ? 19. (本小题主要考查等可能事件、互斥事件和独立重复试验等基础知识,考查化归与转化的数学思 想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) 解: (1)∵一次摸球从 n ? 2 个球中任选两个,有 C2 n ? 2 种选法,
2 任何一个球被选出都是等可能的,其中两球颜色相同有 C2 n ? C2 种选法,
2 C2 n2 ? n ? 2 n ? C2 ∴一次摸球中奖的概率 p ? . ? 2 C2 n ? 3n ? 2 n?2

(2)若 n ? 3 ,则一次摸球中奖的概率 p ?

2 , 5

三次摸球是独立重复试验,三次摸球恰有一次中奖的概率是

54 . 125 (3)设一次摸球中奖的概率为 p ,则三次摸球恰有一次中奖的概率为
2 P3 (1) ? C1 3 ? p ? (1 ? p ) ?
3 2 f ? p ? ? P3 (1) ? C1 3 ? p ? ?1 ? p ? ? 3 p ? 6 p ? 3 p , 0 ? p ? 1 , 2

∵ f ? ? p ? ? 9 p ?12 p ? 3 ? 3? p ?1??3 p ?1? ,
2

∴ f ? p ? 在 ? 0, ? 上为增函数,在 ? , 1? 上为减函数.

? ?

1? 3?

?1 ?3

? ?

1 时, f ? p ? 取得最大值. 3 n2 ? n ? 2 1 ? ? n ≥ 2, 且n ? N* ? , ∵p? 2 n ? 3n ? 2 3 解得 n ? 2 . 故当 n ? 2 时,三次摸球恰有一次中奖的概率最大.
∴当 p ? 20. (本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方 法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)

第 30 页 共 34 页

(1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点, ∴a ? 3.

解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . x2 x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) , x2 ? , 4 4

x
h? ? x ? h ? x?
依题意,

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ???


?1 ? 1 ? 8a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4 ∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . (2)解:对任意的 x1, x2 ??1 ,e? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1, x2 ??1 ,e? 都有
? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max .
当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ?

∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 ,e? 上是增函数. ∴? ? g ? x ?? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . ∵ f ?? x? ? 1?

1 ?0. x

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ??1, e? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x
第 31 页 共 34 页

2 ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .

由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意.
2

②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 . 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a .
由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,

e ?1 , 2

e ?1 ≤a≤e. 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴? ? f ? x ?? ? min

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1 ,e? 上是减函数. x a2 ? f ?e? ? e ? . e

a2 由e? ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴ a ? e . ? e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?
21. (本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查化归与转化、数形 结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:∵双曲线

x2 y 2 2 3 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的离心率为 , 2 a b 3


a 2 ? b2 2 3 2 2 ∴ .即 a ? 3b . ? a 3 ∵ MF 1F2 的面积为 1. 1 ? MF 2 ,且 ?MF 1 ∴ S ?MF1F2 ? MF1 MF2 ? 1 ,即 MF 1 MF 2 ? 2. 2 ∵ MF1 ? MF2 ? 2a ,
∴ MF1 ? 2 MF1 MF2 ? MF2
2 ∴ F1 F2 ? 4 ? 4a .
2 2 2 2 ∴ 4 a ? b ? 4 ? 4a ,∴ b ? 1 . 2 2

? 4a 2 .

2

?

?



第 32 页 共 34 页

将②代入①,得 a ? 3 .
2

∴双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(2)解法 1:设点 Q,A,B 的坐标分别为( x, y ) , ( x1,y1 ) , ( x2,y2 ) ,且 x1 < x2 <3,又 设 直 线 l 的 倾 斜 角 为 ? ?? ?

? ?

??

,B 作 x 轴 的 垂 线 , 垂 足 分 别 为 ? , 分 别 过 点 P,Q,A 2?

P ,Q1,A1,B1 , 1
则 AP =

A1P 1 cos? ?



PB 3 ? x1 3? x2 1 1 , PB = = cos? cos? cos?



QB =

Q1B1 cos?

AQ x2 ? x x - x1 1 1 , AQ = , ? cos? cos? cos?

∵ AP QB = AQ PB , ∴(3- x1 ) ( x2 ? x )= , (x ? x1 )( 3 ? x2 ) 即 ?6 ? ( x1 ? x2 )? x ? 3( x1 ? x2 ) ? 2x1x2 . 设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 3) ,
2

③ ④

x ? y 2 =1 中整理,得 3 2 2 2 ( 1 ? 3k)x ? 3 ? (1-3 k ) x ? 6k ?(1 ? 3k ) ? 1? ? ? 0.
将④代入 依题意 x1 , x2 是上述方程的两个根,且 1 ? 3k ? 0 ,
2

6k ?1 ? 3k ? ? , ? x1 ? x2 ? 1 ? 3k 2 ? ∴? 2 3 ??1 ? 3k ? ? 1? ? ? ?. x1 x2 ? ? ? 2 1 ? 3k ?



将⑤代入③整理,得 x ? 2 ? k ( x ? 3) . ∴点 Q ( x, y )总在定直线 x- y ? 1 ? 0 上.



由④、⑥消去 k 得 x ? 2 ? y ? 1 ,这就是点 Q 所在的直线方程.

(x, y 解法 2:设点 Q , A, B 的坐标分别为 , , ,且 x1 < x2 <3, ) (x1 , y1 ) (x2,y2 )
∵ AP QB = AQ PB , ∴

即 ?6 ? ( x1 ? x2 )? x ? 3( x1 ? x2 ) ? 2x1x2 .

3 ? x1 x ? x1 AP AQ =- ,即 , ?? PB QB x2 ? 3 x2 ? x

以下同解法 1. 解法 3:设点 Q,A,B 的坐标分别为 ( x,y), ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) , 由题设知 AP ,PB ,AQ , QB 均不为零,记

第 33 页 共 34 页

??

AP PB

?

AQ QB



y

∵过点 P 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支 相交于两点 A , B , ∴ ? ? 0 且 ? ? 1. ∵ A,P,B,Q 四点共线, ∴ AP ? ?? PB , AQ ? ?QB . 即?

B P A Q

x

? ?? 3 ? x1 ,1 ? y1 ? ? ?? ? x2 ? 3, y2 ? 1? , ? ?? x ? x1 , y ? y1 ? ? ? ? x2 ? x, y2 ? y ? .

x ? ? x2 ? 3? 1 ? ? 1? ? ∴? ③ x ? ? x 1 2 ?x ? ? 1? ? ? 由③消去 ? ,得 ?6 ? ( x1 ? x2 )? x ? 3( x1 ? x2 ) ? 2x1x2 .
以下同解法 1. 解法 4:设点 Q,A,B 的坐标分别为 ( x,y), ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) , 由题设知 AP ,PB ,AQ , QB 均不为零,记 ? ?

AP AQ

QB ∵过点 P 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于两点 A、B , ∴ ? ? 0 且 ? ? 1. ∵ A,P,B,Q 四点共线,
设 PA ? ?1 AQ , PB ? ?2 BQ ,则 ?1 ? ?2 ? 0 . 即?

?

PB



? ?? x1 ? 3, y1 ? 1? ? ?1 ? x ? x1 , y ? y1 ? , ? ?? x2 ? 3, y2 ? 1? ? ?2 ? x ? x2 , y ? y2 ? .

3 ? ?1 x ? 3 ? ?2 x ? ? x1 ? 1 ? ? , ? x2 ? 1 ? ? , ? ? 1 2 ∴? ? ? y ? 1 ? ?1 y . ? y ? 1 ? ?2 y . 1 2 ? 1 ? ?1 ? 1 ? ?2 ? ? ∵点 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) 在双曲线 C 上,
? 3 ? ?i x ? ? 1 ? ?i y ? 2. ∴? ? ? 3? ? ? 3 ,其中 i ? 1, ? 1 ? ?i ? ? 1 ? ?i ?
2 2

? 3? ?x ? ? 1? ? y ? ∴ ?1,?2 是方程 ? ? ? 3? ? ? 3 的两个根. ? 1? ? ? ? 1? ? ? 即 ?1, ?2 是方程 ? x 2 ? 3 y 2 ? 3? ? 2 ? 6 ? x ? y ? 1? ? ? 3 ? 0 的两个根.
∵ ?1 ? ?2 ? 0 ,且 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,
2 2

2

2

∴ ?1 ? ?2 ? ?

6 ? x ? y ? 1? ? 0 ,即 x ? y ? 1 ? 0 . x2 ? 3 y 2 ? 3

∴点 Q( x,y ) 总在定直线 x ? y ? 1 ? 0 上.
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