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【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2015高中数学选修2-2【精品课件】1-6 微积分基本定理(共29张PPT)


1.6 微积分基本定理

1.6
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KEQIAN YUXI DAOXUE

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KETANG HEZUO TANJIU

1.能说出微积分基本定理; 学习目标 2.能运用微积分基本定理计算简单的定积分; 3.能掌握微积分基本定理的应用. 重点:微积分基本定理以及利用定理求定积分; 难点:复合函数定积分计算.

重点难点

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1.微积分基本定理 (1)一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),那么


f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿—莱布尼

茨公式. (2)为了方便,我们常常把 F(b)-F(a)记成 F(x)| ,即


f(x)dx=F(x)| =F(b)-F(a).



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预习交流 1
思考:(1)满足 F'(x)=f(x)的函数 F(x)是唯一的吗?这影响微积分基本 定理的正确性吗? (2)求导数运算与求原函数运算有什么关系? 提示:(1)满足 F'(x)=f(x)的函数 F(x)不是唯一的,这些函数之间相差 一个常数,即[F(x)+c]'=f(x),但这并不影响微积分基本定理, 因为


f(x)dx=[F(x)+c]| =[F(b)+c]- [ F(a)+c]=F( b) -F(a),

所以用一个最简单的原函数 F(x)就可以. (2)求导数运算与求原函数运算可以看做是互逆的运算,但一个函 数的导函数是唯一的,而一个函数的原函数却不止一个,这些原函数之 间仅相差一个常数,在利用微积分基本定理计算定积分时,只要选用最 简单的一个即可.

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2.定积分的取值性质 (1)当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值取正值且等于曲 边梯形的面积; (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值且等于曲 边梯形的面积的相反数; (3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形 面积时,定积分的值为 0.

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预习交流 2
填一填:结合下列各图形,判断相应定积分的值的符号: (1)


f(x)dx

0

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(2)



g(x)dx

0

(3)



h(x)dx

0

提示:(1)>

(2)<

(3)>

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一、简单定积分的计算 活动与探究
1.回忆导数的物理意义:s'(t0)为物体在 t0 时刻的瞬时速度,结合变速 直线运动物体的路程 s(t)=


v(t)dt,体会如何求出 s(t)?

提示:由于 s'(t)=v(t),故若已知 v(t)求 s(t),则可根据导数的运算法则 逆推回去,找到 s(t)形式. 2.利用微积分基本定理求定积分时的关键是什么? 提示:找被积函数是谁的导数.

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例 1 计算下列各定积分. (1) (2) (3) (4)
2 0 1 -2 0 -π 4 2

xdx; (1-t3)dt; (cos x+ex)dx; t2dx.

思路分析:根据导数与积分的关系,求定积分要先找到一个导数等 于被积函数的原函数,再据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函数可 结合导数公式表.

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解:(1)∵ 2 '=x,∴ 0 xdx= x2 |2 0 =2-0=2. (2)∵ - 4 '=1-t3,∴-2 (1-t3)dt= - 4 |1 -2 = 1- 4 ? -2- 4 × (-2)
1 1
4

1 2

2

1 2

1 4

1

1 4

=

27 . 4

(3)∵ (sin x+ex)'=cos x+ex,
-π -π ∴ -π (cos x+ex)dx=(sin x+ex)|0 = (0 + 1) (0 + e ) = 1 e . -π

0

(4)∵ (t2x)'=t2,∴2 t2dx=t2x|2 =4t2-2t2=2t2.

4

4

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迁移与应用 1.
2 -2

e|x|dx 的值等于( B.2e2 D.e2+e-2-2
0 -2

)

A.e2 -e-2 C.2e2-2 答案:C 解析:
2 -2
|x|

e dx=

e dx+

-x

2 0

x2 e dx=-e |-2 +e |0 =2e2-2.
x -x 0

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2.求下列定积分的值: (1) (2)
2 1

dx;

3 1- dx. 2 2
1 '= 2

2 3 解:(1)∵ 2 3

= ,
2 × 3 1
3 22

∴1

2

dx=
1

2 3 2 2 |1 3

=

? ×1= (2 2-1).

2 3

2 3

(2)∵ - -ln '= ∴2
3 1-

1 2

? =
3

1- , 2 1 1 2

dx= - -ln |2 = - 3 -ln3 ? - 2 -ln2 =6+ln3. 2

1

1

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(1)微积分基本定理是求定积分的一种基本方法,其关键是求出被 积函数的原函数,特别注意 y=的原函数是 y=ln x. (2)求定积分时要注意积分变量,有时在被积函数中含有参数,但它 不一定是积分变量. (3)定积分的值可以是任意实数.
1

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二、分段函数与复合函数定积分的计算 活动与探究
1.当被积函数是分段函数或绝对值函数时,应如何处理? 提示:当被积函数是分段函数时,根据定积分的性质对各段进行积 分,再求和;当被积函数是绝对值函数时,先去掉绝对值号转化成分段函 数再积分. 2.当被积函数是复合函数 y=sin2x 与 y=cos2x,应如何积分? 提示:先根据 2 倍角公式进行降幂处理,再进行积分. 如 sin2x=
1-cos2 1+cos2 ,cos2x= . 2 2

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例 2 计算下列定积分. (1) (2) (3)
5 2
π 2

|x-3|dx; sin2xdx; e2xdx.

0

0

1 2

思路分析:被积函数带绝对值号时,应写成分段函数形式,利用定积 分性质求解.当被积函数次数较高时,可先进行适当变形、化简,再求解.

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3-,∈[2,3), 解:(1)由于|x-3|= -3,∈[3,5], 所以 = (2) (3)
5 2

|x-3|dx= |3 2 +
π 2

3 2

|x-3|dx+

5 3

|x-3|dx=

3 2

(3-x)dx+

5 3

(x-3)dx

1 2 3- 2
π 2

1 2 -3x 2

9 25 9 5 5 |3 =9- -6+2+ -15- +9= . 2 2 2 2

0

sin2xdx=

1-cos2 1 1 d x= x- sin2 0 2 2 4
1

|0 =

π 2

π 1 - sin 4 4

π -0=4.

π

1 2x 2 2x e d x= e |0 0 2

1 2

= 2e-2.

1 1

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迁移与应用 1.定积分: 答案:45 -4, ≤ - 2 ,
3 3 3
3 -3

(|2x+3|+|3-2x|)dx=

.

解析:设 y=|2x+3|+|3-2x|= 6,- < < , 2 2 4, ≥ 2 . 则
3 -3

3

(|2x+3|+|3-2x|)dx=

-

3 2

-3

(-4x)dx+

3 2 3 2

6dx+

3 2

3

4xdx - 2 +2×32-2×
3

=-2x
3 2 =45. 2

3 2 -2

3 3 |-3 +6x|23 +2x2|3 =(-2)× 2 2

3 2 3 - 2 -(-2)×(-3)2+6×2-6×

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2.求下列各定积分: (1) (2) (3)
0
π 4

2cos 2 -1 dθ;
1 dx; +3

2

2 1 1 0

e-2xdx.
π 4

解:(1) (2) (3)
2 1 1 0

0

2cos 2 2 -1

dθ=

0

π 4

cos θdθ=sin θ|0 =
5

π 4

2 . 2

1 2 d x= ln( x+ 3)| 1 =ln +3 1
1

5-ln 4=ln4.
1

e-2xdx= - 2 e-2 |0 =-2e-2+2.

1

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(1)在求定积分时,会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情 况,这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间[a,b]上的积分,分 成几段积分和的形式.分段的标准是:使每段上的函数表达式确定,按照 原来函数分段的情况分即可. (2)当被积函数的原函数是一个复合函数时,要特别注意原函数的 求解,与复合函数的求导区分开来.例如:对于被积函数 y=sin 3x,其一个 原函数应为 y=-3cos 3x,而其导数应为 y'=3cos 3x.
1

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三、微积分基本定理的应用 活动与探究
例 3 已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f'(0)=0,
1 0

f(x)dx=-2,求 a,b,c 的值.

思路分析:解决本题的关键是根据题设条件,列出方程组,通过解方 程组求出 a,b,c 的值.

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解:由 f(-1)=2,得 a-b+c=2. ∵ f'(x)=2ax+b, ∴ f'(0)=b=0. 又
1 3 1 2
1 0

f(x)dx=

1 0

(ax2+bx+c)dx=

1 1 a 3 + b 2 3 2

+ cx |1 0 = a+ b+c,

1 3

1 2

∴ a+ b+c=-2, - + = 2, = 0,

解方程组

得 a=6,b=0,c=-4. 1 1 a + b + c = -2, 3 2

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迁移与应用 1.若
2 dx=6,则 e

b=

.

答案:e4
2 解析:∵e dx=2ln

x|e =2ln b-2=6,∴ b=e4.



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2.已知 f(a)=
1

1 0

(2ax2-a2x)dx,求 f(a)的最大值.
2 3 1 2 2 a - 2 3
2 |1 = aa , 0 3 2

解:∵0 (2ax2-a2x)dx= ∴ f(a)=3a-2a2 =-2 2 - 3 a + 9 + 9
1 =2 2 3 2 2 3 1 4 4 2 2 1

2

1

+ .
2 9

2 9

∴ 当 a= 时,f(a)有最大值为 .

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解决定积分中含参数的问题,要以积分为媒介结合积分的计算,列 出方程组或函数关系式,然后通过解方程组或利用函数性质来解决.

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1

2

3

4

5

1.

π 2 π 2

(sin x+cos x)dx 的值是( B.4
π 2 π 2

) C.2 D.4

A.0 答案:C 解析:

π

(sin x+cos x)dx=(sin x-cos

π x)|2π =(1-0)-(-1-0)=2. 2

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4

5

2.计算定积分 答案: 解析:
2 3
1 -1

1 -1

(x2+sin x)dx=

.

(x2+sin x)dx=

1 3 -cos 3

|1 -1 = .

2 3

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3.(2014 陕西高考,理 3)定积分 A.e+2 B.e+1

1 0

(2x+ex)dx 的值为( C.e D.e-1

)

答案:C 解析:因为(x2+ex)'=2x+ex, 所以
1 0

(2x+e )dx=(x +e )|0 =(1+e1)-(0+e0)=e.
x 2 x

1

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4.定积分 答案: 解析:
5 3
2 1

2 1

2 + 1dx=

.

5? 3 2
3 1 2 + 1dx= (2x+1)2 |1 3

3 3 1 1 =3×(52 ? 32 )=3(5

5-3 3)=3 5 ? 3.

5

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1

2

3

4

5

5.已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若 答案:-1 或3
1

1 -1

f(x)dx=2f(a),则 a=

.

解析:∵-1 (3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|1 -1 =4, 又 2f(a)=2(3a2+2a+1), ∴ 2(3a2+2a+1)=4. ∴ 3a +2a-1=0.∴ a=-1,或
2

1

1 a= . 3


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