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10-5定积分在物理上的应用_图文

数学分析电子教案

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广州大学数学与信息科学学院

数学分析电子教案

数学分析
广州大学袁文俊、尚亚东 广州大学袁文俊、

数学分析电子教案

§10.5 定积分在物理上的应用

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一、变力沿直线所作的功
由物理学知道, 由物理学知道,如果物体在作直线运动的 作用在这物体上, 过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上,且 这力的方向与物体的运动方向一致,那么, 这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在 物体移动了距离 s 时,力 F 对物体所作的功为 W = F ? s.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 就不能直接使用此公式,而采用“ 的,就不能直接使用此公式,而采用“元素 思想. 法”思想

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例 1 把一个带 + q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 由 处, 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 物理学知道, 如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原 物理学知道, 的地方, 点为 r 的地方,那么电场对它的作用力的大小为

q F = k 2 (k 是常数) 当这个单位正电荷在电场中从 是常数) ,当这个单位正电荷在电场中从 , r r = a 处沿 r 轴移动到 r = b 处时, 处时, 计算电场力 F 对
它所作的功. 它所作的功.

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解 取 r 为积分变量, 为积分变量,

+q

r ∈ [a , b],

? o

? ? ?? ?r ? ?? ? ? a r + dr b

+1

r

取任一小区间[ r , r + dr ], 功元素 dw =
b

kq dr , 2 r

kq ? 1? ? 1 1? 所求功为 w = ∫a 2 dr = kq ? ? ? = kq? ? ? . r ? r ?a ? a b?
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
+∞

b

w = ∫a

kq kq ? 1? dr = kq ? 2 ? r ?a = a . r ? ?

+∞

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例 2 : 一圆柱形蓄水池高为 5 米,底半径 3 米, 池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出 问要把池内的水全部吸出, 池内盛满了水 问要把池内的水全部吸出, 需作多少功? 需作多少功?

解 建立坐标系如图
为积分变量, 取x 为积分变量,

x ∈ [ 0, 5]

o
x

取任一小区间[ x , x + dx ],
5

x + dx

x

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这一薄层水的重力为
9.8π ? 3 2 dx

o
x

x + dx
5

功元素为 dw = 88.2π ? x ? dx ,

x

w = ∫ 88.2π ? x ? dx
0

5

?x ? = 88.2π ? ? ≈ 3462 ? 2 ?0

2 5

(千焦 . 千焦). 千焦

数学分析电子教案 用铁锤把钉子钉入木板, 例3 用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的 阻力与铁钉进入木板的深度成正比, 阻力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第 一次锤击时将铁钉击入1厘米 厘米, 一次锤击时将铁钉击入 厘米,若每次锤击所作 的功相等, 次锤击时又将铁钉击入多少? 的功相等,问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少? 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为

f ( x ) = kx ,

w1 = ∫0
h

1

k f ( x )dx= , 2

设 n 次击入的总深度为 h厘米

n 次锤击所作的总功为

wh = ∫ f ( x )dx .
0

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wh = ∫0

h

kh2 kxdx = , 2
2

依题意知,每次锤击所作的功相等. 依题意知,每次锤击所作的功相等.

kh k wh = nw1 ? = n? , 2 2
n 次击入的总深度为 h = n ,
第 n 次击入的深度为
n ? n ? 1.

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二、水压力
由物理 学知道 , 在水深为 h 处的压 强为 p = γh,这里γ 是水的比重.如果有一面积为 A 是水的比重. 那么, 的平板水平地放置在水深为h 处,那么,平板一 侧所受的水压力为 P = p ? A.

如果平板垂直放置在水中, 如果平板垂直放置在水中, 由于水深不同 不相等, 的点处压强 p 不相等 , 平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式, 而采用“ 就不能直接使用此公式 , 而采用 “ 元 素 法 ” 思想. 思想 .

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一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水, 例 4 一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水 , 设桶的底半径为 R , 水的比重为γ ,计算桶的一端面 上所受的压力. 上所受的压力.

解 在端面建立坐标系如图
为积分变量, 取x 为积分变量,x ∈ [0, R]
取任一小区间[ x , x + dx ]
o
x

小矩形片上各处的压强近 似相等 p = γx ,
小矩形片的面积为 2 R 2 ? x 2 dx .

x + dx

x

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小矩形片的压力元素为 dP = 2γx R 2 ? x 2 dx
端面上所受的压力

P = ∫0 2γx R ? x dx
2 2

R

= ?γ ∫0

R

R2 ? x 2d ( R2 ? x 2 )

?2 = ?γ ? ?3

(

R ?x
2

2 3

)

? 2γ 3 ?0 = 3 R . ?

R

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例 5 将 直 角 边 各 为 a 及 2a 的 直 角 三 角 形 薄 板 垂直地浸人水中,斜边朝下,长直角边与水面 平行,且该边到水面的距离恰等于该边的边 长,求薄板所受的侧压力.
解 建立坐标系如图 面积元素 2(a ? x )dx ,
2a

o
a

2a

dP = ( x + 2a ) ? 2(a ? x ) ? 1 ? γdx
7 3 P = ∫0 2( x + 2a )(a ? x )γdx = γ a . 3
a

x

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三、引力
由物理学知道, 由物理学知道,质量分别为 m1 , m 2 相距为

m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为 F = k 2 , r 为引力系数, 其中 k 为引力系数,引力的方向沿着两质点的
连线方向. 连线方向.

如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么, 那么,由于细棒上各点与该质点的距离是变化 且各点对该质点的引力方向也是变化的, 的,且各点对该质点的引力方向也是变化的, 就不能用此公式计算. 就不能用此公式计算.

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例 6 的均匀细棒, 有一长度为 l 、线密度为 ρ 的均匀细棒,

在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点

M ,计算该棒对质点 M 的引力. 的引力.
解 建立坐标系如图

? l l? 取 y为积分变量 y ∈ ? , , ? 2 2? ? ? 取任一小区间[ y , y + dy ]
将典型小段近似看成质点 小段的质量为 ρdy ,

l y 2 y + dy

y

r
a
? l 2

o

?

M

x

数学分析电子教案 小段与质点的距离为 r = a + y ,
2 2

引力 ?F ≈ k m ρdy2 , a2 + y 水平方向的分力元素

(a + y ) l am ρdy ? 2km ρl 2 Fx = ? ∫? l k 2 , = 3 2 2 2 2 2 (a + y ) a ( 4a + l )
2 2
1 2

dFx = ? k

am ρdy
3 2

,

由对称性知, 由对称性知,引力在铅直方向分力为

F y = 0.

数学分析电子教案 例7: 有一半径为R,中心角为?的圆弧形细棒,其线密度

ρ。求这细棒对圆心处质量为m的质点的引力。
y
解: 建立坐标如图

则 变量θ ∈ [

π

2

?

? π +?
,

2 2 积分变量

]

o

x

取微区间 [θ ,θ + dθ ]

mpds Gmp Gmp 则 dF = G 2 = 2 Rdθ = d R R R
由对称性 Fx = 0

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Gmp 又 dFy = sin θ dF = sin θ dθ R π π Gmp 2Gmp 2 ∴ Fy = 2 ∫π2 ? sin θ dθ = [? cosθ ]? ? R R 2 2 2
2Gmp π ? 2Gmp ? = cos( ? ) = sin R 2 2 R 2 2Gmp ? ∴引力大小 : F = F + F = sin R 2
2 x 2 y

方向: 指向圆弧中点

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作业:P259 1-10 作业

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