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2014文科二模-上海市杨浦宝山静安青浦区高三数学


2014 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——杨浦宝山静安青浦区数学(文科)

2014 年上海市杨浦、宝山、静安、青浦区高三年级 二模试卷——数学(文科)
2014 年 4 月 (考试时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题 (本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填 对得 4 分,否则一律得零分. 1.二阶行列式

1? i 0 1? i 1? i

的值是

. (其中 i 为虚数单位)

2. 已 知 i , j 是 方向分 别与 x 轴和 y 轴 正方 向相同 的两个基 本单位 向量, 则平面向 量 i ? j 的模 等 于 . 3.二项式 ( x ? 1) 的展开式中含 x 3 项的系数值为_______________.
7

? ?

4.已知圆锥的母线长为 5 ,侧面积为 15? ,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留 ? ) 5.已知集合 A ? y y ? sin x, x ? R , B ? x x ? 2n ? 1, n ? Z ,则 A ? B ? (文)若 x ? (?? , ? ) ,则方程 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 的解是_____________.

?

?

?

?

.
开始

? x ? 2 y ? 4, ?2 x ? y ? 3, ? 9. (文)满足约束条件 ? 的目标函数 f ? x ? y 的最小值 为 ? x ? 0, ? ? y ? 0,
_______. 10. 阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 .

x ? 1, y ? 1

z ? x? y z ? 20
是 否 输出

x? y y?z
第 10 题

y x

11. (文) 在平面直角坐标系 xOy 中, 若中心在坐标原点的双曲线过点 ? 2, 3 ? , 且 它 的 一 个 顶 点 与 抛 物 线 y2 ? 4x 的 焦 点 重 合 , 则 该 双 曲 线 的 方 程

结束

图 为 . 12. (文)从 5 男 3 女 8 位志愿者中任选 3 人参加冬奥会火炬接力活动,所选 3 人中恰有两位女志愿者的 概率是 . 13. (文) 若三个 数 a,1, c 成 等差 数列( 其中 a ? c ) , 且 a ,1, c 成等比 数列, 则 lim (
2 2

n ??

a?c n ) 的值 a2 ? c2





? x, 0 ? x ? 1, ? 14 . (文) 函数 f ( x) 的定义域为实数集 R , f ( x) ? ? 1 x 对于任意的 x ? R 都有 ( ) ? 1, ? 1 ? x ? 0. ? ? 2
f ( x ? 1) ? f ( x ? 1).若在区间 [?1,3] 上函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 恰有四个不同的零点,则实数 m 的取值
范围是 .

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二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代 表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (文) 不等式

x ?1 ? 2 的解集为?????????????????( x ( A) {x | x ? ?1或x ? 0} ( B) {x | x ? ?1} (C ) {x | x ? ?1} ( D) {x | ?1 ? x ? 0}
2 2

).

16. “ ? ? 1”是“函数 f ( x) ? sin ?x ? cos ?x 的最小正周期为 ? ”的????(

).

( A) 充分必要条件 (C ) 必要不充分条件

( B) 充分不必要条件 ( D) 既不充分又必要条件

17. 若 圆 柱 的 底 面 直 径 和 高 都 与 球 的 直 径 相 等 , 圆 柱 、 球 的 表 面 积 分 别 记 为 S 1 、 S 2 , 则

S 1 : S 2 =??????????????????(
( A) 1:1 ( B) 2:1 (C ) 3:2 ( D) 4:1

).

18. (文)已知向量 a , b 满足: ,且 | a |?| b |? 1 | k a ? b |? 夹角的最大值为 ???????????? ( ).

3 | a ? kb |

(k ? 0) .则向量 a 与向量 b 的

( A)

? 3

( B)

2? 3

(C )

? 6

( D)

5? 6

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步 骤. 19. (本题满分 12 分) (文)已知几何体由正方体和直三棱柱组成,其三视图和直观图(单位:cm)如图所示.设两条异面 直线 AQ 1 和 PD 所成的角为 ? ,求 cos ? 的值. P A1 2 2 A 正视图 B D Q B1 D1 2 2 侧视图 A P P Q D1 B1 D A 第 19 题图 C B C1

2

2
A1 D1 1 P 1 A1 2 Q B1 C1 A1

俯视图

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20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 某公司承建扇环面形状的花坛如图所示, 该扇环面花坛是由以点 O 为 圆心的两个同心圆弧 AD 、弧 BC 以及两条线段 AB 和 CD 围成的封闭图 形.花坛设计周长为 30 米,其中大圆弧 AD 所在圆的半径为 10 米.设小 圆弧 BC 所在圆的半径为 x 米( 0 ? x ? 10 ) ,圆心角为 ? 弧度. (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)在对花坛的边缘进行装饰时,已知两条线段的装饰费用为 4 元/ 米, 两条弧线部分的装饰费用为 9 元/米. 设花坛的面积与装饰总费用 的比为 y ,当 x 为何值时, y 取得最大值? A B D

?
O (第 20 题图)

C

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 9 分 (文)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的右焦点 F (1, 0) ,长轴的左、右端点分别为 A1 , A2 , 且 a 2 b2

???? ???? ? FA1 ? FA2 ? ?1 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)过焦点 F 斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,弦 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于 D 点. 试问椭圆 C 上是否存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由.

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22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分

?a1 ? 2, ? (文)已知数列 {a n } 满足 ?a 2 ? 8, ( c 为常数, n ? N * ) ?a ? a ? ca , ( n ? 2). n ?1 n ? n ?1
(1)当 c ? 2 时,求 a n ; (2)当 c ? 1 时,求 a 2014 的值; (3)问:使 a n ?3 ? a n 恒成立的常数 c 是否存在?并证明你的结论.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 (文)设函数 g ( x) ? 3 , h( x) ? 9 .
x x

(1)解方程: h( x) ? 8 g ( x) ? h(1) ? 0 ; (2)令 p ( x) ?

g ( x) g ( x) ? 3

,求证:

p(

1 2 2012 2013 2013 ; ) ? p( ) ? ? ? p( ) ? p( )? 2014 2014 2014 2014 2
g ( x ? 1) ? a 是实数集 R 上的奇函数,且 g ( x) ? b

(3)若 f ( x) ?

f (h( x) ? 1) ? f (2 ? k ? g ( x)) ? 0 对任意实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围.

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参考答案及评分标准

2014.04

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 理 1.2; 2. 2 3.35; 4. 12? 5. ??1,1? ;6. x ? y ? 3 ? 0

7. 2 2 ; 8.

1 4

9.

? x ? 4 cos? , 13 ( ? 为参数) ;10. ? 8 ? y ? 4 sin ? ,
12.3. 13.

11. E? ? 0 ? 14. sin 2? ? 文 1.2;

10 30 15 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 56 56 56 56 8
1 10
2. 2 3.35; 9.

3 2

4. 12? 5. ??1,1? ;6. {?

5? ? ? ? ,? , , } 6 2 6 2

7. x ? y ? 3 ? 0 ; 8. 2 2
2

7 ; 3

10.

1 4
n n n

C 1C 2 15 y2 ? a?c ? ?2? ? a?c ? ? ? ? ? lim ? 2 ? 1 ; 12. 5 3 3 ? 11. x ? 13. 当 ac ? ?1 时,? 2 当 ac ? 1 ? ?0; 2 ? n ?? a ? c 2 C8 56 3 ?a ?c ? ?6? ? ?
1 时, a ? c 舍去. 14. (0, ] 4 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编 号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.D;16.B;17.C;18.理 D;文 A
三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤 . 19. (理) A(0,0,0), C (1,0,0), B(1, ?1,0), D(0,1,0), F (1, ? ,0), P(0,0,1) . (1) 证明方法一: Q 四边形

1 2

是平行四边形, Q PA ? 平面 ABCD ? PA ? DA ,又 AC ? DA , AC I PA ? A ,

? DA ? 平面 PAC . uu u r 方法二:证得 DA 是平面 PAC 的一个法向量,? DA ? 平面 PAC .
u r (2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面 PAF 一个法向量为 m ? (1, 2, 0) ,
u r r r u r r | m?n | 15 r r ? 又平面 PCD 法向量为 n ? (1,1,1) ,所以 cos ? m, n ?? u 5 | m || n |

?所求二面角的余弦值为

15 . 5

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(文)由 PQ // CD ,且 PQ ? CD ,可知 PD // QC , 故 ?A1QC 为异面直线 AQ . 1 、 PD 所成的角(或其补角) 由 题 设 知

P A1

Q D1 B1 D C B C1

A1Q 2 ? A1 B12 ? B1Q 2 ? 22 ? 2 ? 6

2



A1C ? 3 ? 2 ? 2 3 ,
取 BC 中点 E ,则 QE ? BC ,且 QE ? 3 ,

A 第 19 题图

QC 2 ? QE 2 ? EC 2 ? 32 ? 12 ? 10 .
由余弦定理,得

cos ? ? cos ?A1QC ?

A1Q 2 ? QC 2 ? A1C 2 6 ? 10 ? 12 15 ? ? . 2 A1Q ? QC 15 2 6 ? 10

20.(1)设扇环的圆心角为?,则 30 ? ? ?10 ? x ? ? 2(10 ? x) , 所以 ? ?
10 ? 2 x , 10 ? x

(2) 花坛的面积为
1 ? (102 ? x2 ) ? (5 ? x)(10 ? x) ? ? x2 ? 5x ? 50, (0 ? x ? 10) . 2

装饰总费用为 9? ?10 ? x ? ? 8(10 ? x) ? 170 ? 10 x , 所以花坛的面积与装饰总费用的比 y = 令 t ? 17 ? x ,则 y ? 此时 x ? 1,? ?
12 . 11
? x 2 ? 5 x ? 50 x 2 ? 5 x ? 50 , =? 170 ? 10 x 10(17 ? x)

39 1 324 3 ? (t ? ) ≤ ,当且仅当 t=18 时取等号, 10 10 t 10

答:当 x ? 1 时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. 21.理(1)依题意不妨设 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) ,则 FB1 ? ( ?1, ?b) , FB2 ? (?1, b) . 由 FB1 ? FB2 ? ? a ,得 1 ? b2 ? ?a . 又因为 a2 ? b2 ? 1 , 解得 a ? 2, b ? 3 . 所以椭圆 C 的方程为

????

???? ?

???? ???? ?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)依题意直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

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? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ? 4
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 所以弦 MN 的中点为

8k 2 4k 2 ? 12 , . x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

4k 2 ?3k P( , ). 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2
所以 MN ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? (k 2 ? 1)[

64k 4 4(4k 2 ? 12) ? ] (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2

?

12(k 2 ? 1) . 4k 2 ? 3

3k 1 4k 2 直线 PD 的方程为 y ? ? ? (x ? 2 ), 4k 2 ? 3 k 4k ? 3
由 y ? 0 ,得 x ?

k2 k2 ,则 D ( ,0) , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

所以 DP ?

3 k 2 (k 2 ? 1) . 4k 2 ? 3

3 k 2 (k 2 ? 1) 2 DP 1 1 1 k2 4 k ? 3 ? 1? 2 ? ? 所以 . 2 2 12(k ? 1) k ?1 MN 4 k ?1 4 4k 2 ? 3
又因为 k 2 ? 1 ? 1 ,所以 0 ?

1 ?1. k ?1
2

所以 0 ?

1 1 1 1? 2 ? . 4 k ?1 4
的取值范围是 (0, ) .

所以

DP MN

1 4

(文)(1)依题设 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,则 FA1 ? (?a ? 1,0) , FA2 ? (a ? 1,0) .

????

????

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2 2 由 FA1 ? FA2 ? ?1,解得 a ? 2 ,所以 b ? 1 .

???? ????

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

(2)依题直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由?

? y ? k ( x ? 1), 2 2 2 2 得 ? 2k ? 1? x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 . 2 2 ?x ? 2 y ? 2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,弦 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ?

?k 4k 2 2(k 2 ? 1) 2k 2 , , , y0 ? , x x ? x ? 1 2 0 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1

所以 M (

2k 2 ?k , 2 ). 2 2k ? 1 2 k ? 1
k

1 2k 2 直线 MD 的方程为 y ? ? ? (x ? 2 ) , 2k 2 ? 1 k 2k ? 1
令 y ? 0 ,得 xD ?

k2 k2 ,则 D ( ,0) . 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

若四边形 ADBE 为菱形,则 xE ? xD ? 2 x0 , yE ? yD ? 2 y0 . 所以 E (

3k 2 ?2k , 2 ). 2 2k ? 1 2 k ? 1

3k 2 2 ?2k 若点 E 在椭圆 C 上,则 ( 2 ) ? 2( 2 ) 2 ? 2 . 2k ? 1 2k ? 1
整理得 k ? 2 ,解得 k ?
4
2

2 .所以椭圆 C 上存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形.
x

22.理(1) 3 ? (2 ? 3 ? 8) ? 9 ? 9 , 3 x ? 9 , x ? 2
x x

(2) p (

1007 1 3 1 1007 1 3 1 ) ? p( ) ? ? , q( ) ? q( ) ? ? . 2014 2 2014 2 6 2 2 3 2 3x 3 ? 3
x

因为 p ( x) ? p (1 ? x) ?

?

31? x 3
1? x

? 3

?

3x 3 ? 3
x

?

3 3 ? 3
x

?1,

q( x) ? q(1 ? x) ?

9x 91? x 9x 3 ? ? ? x ?1 x 1? x x 9 ?3 9 ?3 9 ?3 9 ?3

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所以, p(

1 2 2013 1 ) ? p( ) ? ? ? p( ) ? 1006 ? , 2014 2014 2014 2 1 2 2013 1 q( ) ? q( ) ? ? ? q( ) ? 1006 ? . 2014 2014 2014 2 1 2 2013 1 2 2013 p( ) ? p( ) ? ? ? p( ) = q( ) ? q( ) ? ? ? q( ). 2014 2014 2014 2014 2014 2014

(3)因为 f ( x) ?

? ( x ? 1) ? a 是实数集上的奇函数,所以 a ? ?3, b ? 1 . ? ( x) ? b

f ( x) ? 3(1 ?

2 ) , f ( x) 在实数集上单调递增. 3 ?1
x

由 f (h( x) ? 1) ? f (2 ? k ? g ( x)) ? 0 得 f (h( x) ? 1) ? ? f (2 ? k ? g ( x)) ,又因为 f ( x) 是实数集上的奇函数,所 以, f (h( x) ? 1) ? f (k ? g ( x) ? 2) , 又因为 f ( x) 在实数集上单调递增,所以 h( x) ? 1 ? k ? g ( x) ? 2 即3
2x

? 1 ? k ? 3 x ? 2 对任意的 x ? R 都成立,
x

即k ? 3 ?

1 对任意的 x ? R 都成立, k ? 2 . 3x

(文) (1) a n ? 2 ? 6(n ? 1) ? 6n ? 4 (2)

a1 ? 2 , a2 ? 8 , a3 ? 6 ,

a 4 ? ?2 , a5 ? ?8 , a 6 ? ?6 , a7 ? 2 , a8 ? 8 , a9 ? 6 , a10 ? ?2 , a11 ? ?8 ,
a12 ? ?6 ,我们发现数列为一周期为6的数列.事实上,由 a n?1 ? a n?1 ? a n 有
a n ?3 ? a n ? 2 ? a n ?1 ? ?a n , an?6 ? an?3?3 ? ?an?3 ? an .??8 分(理由和结论各 2 分)
因为

2014 ? 335 ? 6 ? 4 ,所以 a 2014 ? a 4 ? ?2 .

(3)假设存在常数 c ,使 a n ?3 ? a n 恒成立. 由 a n ?1 ? a n ?1 ? can 1 , ○ 2 ○

及 a n ?3 ? a n ,有 a n ? 2 ? a n ? can ?1 ? a n ?1 ? a n ? can?1 1 式减○ 2 式得 (a n ?1 ? a n )(1 ? c) ? 0 . ○ 所以 a n ?1 ? a n ? 0 ,或 1 ? c ? 0 .

当 n ? N * , a n ?1 ? a n ? 0 时,数列{ a n }为常数数列,不满足要求.

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由 1 ? c ? 0 得 c ? ?1 ,于是 a n ?1 ? a n ?1 ? ?a n ,即对于 n ? N且n ? 2 ,都有 an?1 ? ?an ? an ?1 ,所以

an?3 ? ?a n? 2 ? an?1 , a n? 2 ? ?an?1 ? a n ,从而 a n?3 ? ?a n? 2 ? a n?1 , ? a n?1 ? a n ? a n?1 ? a n
所以存在常数 c ? ?1 ,使 a n ?3 ? a n 恒成立. 23.理(1) b1 ? aa1 ? a1 ? 1 ,

(n ? 1) .

bn ? a an ? a 2n ?1 ? 2

2 n ?1 ?1

4 n ?1 ; ? 2

(2)根据反证法排除 a1 ? 1 和 a1 ? 3 (a1 ? N * ) 证明:假设 a1 ? 2 ,又 a n ? N * ,所以 a1 ? 1 或 a1 ? 3 (a1 ? N * ) ①当 a1 ? 1 时, b1 ? aa1 ? a1 ? 1 与 b1 ? 3 矛盾,所以 a1 ? 1 ; ②当 a1 ? 3 (a1 ? N * ) 时,即 a1 ? 3 ? b1 ? aa1 ,即 a1 ? aa1 ,又 a n ? a n ?1 ,所以 a1 ? 1 与 a1 ? 3 (a1 ? N * ) 矛 盾; 由①②可知 a1 ? 2 . (3)首先 ?a n ?是公差为 1 的等差数列, 证明如下:

an ?1 ? an ? n ? 2, n ? N * 时 an ? an ?1 ,
所以 an ? an ?1 ? 1 ? an ? am ? (n ? m) , (m ? n , m、n ? N )
*

? aan?1 ?1 ? aan ?1 ? [an ?1 ? 1 ? (an ? 1)] 即 cn?1 ? cn ? an?1 ? an
由题设 1 ? an ?1 ? an 又 an ?1 ? an ? 1 ? an ?1 ? an ? 1 即 ?a n ?是等差数列.又 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ,所以 a n ? n , S n ? ?(2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ) ,对此式
2 3 n

两边乘以 2,得

2S n ? ?2 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n ?1
两式相减得 S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

? 2 n?1 ? n ? 2 n?1 ? 2

S n ? n ? 2 n?1 ? 2 n ?1 ? 2 , S n ? n ? 2 n ?1 ? 50 即 2 n?1 ? 52 ,当 n ? 5 时, 2 n?1 ? 64 ? 52 ,即存在最小正整
数 5 使得 S n ? n ? 2
n ?1

? 50 成立.

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注:也可以归纳猜想后用数学归纳法证明 a n ? n .

(文) (1) h( x) ? 8g ( x) ? h(1) ? 0 即: 9 ? 8 ? 3 ? 9 ? 0 ,解得 3 ? 9 , x ? 2
x x x

(2) p (

1007 1 3 1 ) ? p( ) ? ? . 2014 2 2 3 2 3x 3 ? 3
x

因为 p ( x) ? p (1 ? x) ? 所以, p(

?

31? x 3
1? x

? 3

?

3x 3 ? 3
x

?

3 3 ? 3
x

?1,

1 2 2013 1 2013 , ) ? p( ) ? ? ? p( ) ? 1006 ? ? 2014 2014 2014 2 2

(3)同理科 22(3) .

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