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陕西省高中数学第三章直线与方程31直线的倾斜角与斜率教学设计新人教A版必修2(数学教案)

直线的倾斜角与斜率 一、 教材分析 解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联 系。我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分 家万事休”. 数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下, 数和形之间可以相互转化,相互渗透.平面解析几何问题,就是借助建立适当的坐标系,科学合理地 把几何问题代数化,运用代数的方法研究几何问题。 本章主要介绍解析几何中最基本的知识,从研究最简单的曲线---直线开始。这一节学习的是北 师大版必修 2 第二章《解析几何初步》第一节直线与直线的方程第一课时的内容,通过对“直线的 倾斜角与斜率”这一概念的学习,体会解析几何的重要方法---坐标法(或解析法) 。用这种方法, 一方面,几何概念可用代数表示,几何目标可通过代数方法达到;另一方面,又可给代数语言以几 何解释,使代数语言更直观、更形象地表达出来。 二、学情分析 根据日常生活的经验,学生对直线已有一定的认识,但仍没有上升到成为具体“定义”的水 平,将感性认识理性化,会对他 们是一个挑战;在初中阶段已经涉及过一次函数,把代数与几何结 合,将对他们又是一个挑战。 三、教学目标 1.知识技能: (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念; (2)掌握过两点的直线的斜率公式及应用。 2.过程与方法: (1)培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力; (2)使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。 3.情感、态度与价值观: (1)通过对直线倾斜角和斜率的学习,体验用代数方法刻画直线斜率的过程; (2)通过坐标法的引入,培养学生联系、对应、转化等辩证思维; (3)激发学生学习数学的热情。 四、 教学重、难点 重点:直线的倾斜角和斜率的概念,过两点的直线的斜率公式。 1 难点:斜率概念的学习,过两点的直线的斜率公式。 五、 学法与教法: (1)、本节课采用的是教师设疑诱思、问题导学;学生动手操作、自主探究的教学方法。 (2)、教学用具:直尺、多媒体。 六、 教学基本流程: 引出课题——自主探究形成概念——师生互动——知识应用——强 化理解, 当堂达标——整理 知识,形成结构,小结——布置作业 七、 教学设计过程: (一)导出课题 一天,笛卡尔做了一个梦,梦见一只苍蝇飞动时,划出一条美妙的曲线,然后一个黑点停留在 了窗纸上。他醒后想,这难道不是由静到动,由点到线产生的完美曲线吗 ?之后他 潜心研究,便产 生了坐标几何即解析几何。而在曲线中直线是最简单的。引入课题——直线的倾斜角与斜率。 (二)自主探究,形成概念 【思考】 :哪些条件可以确定平面直角坐标系内一条直线的位置呢? [设计意图]: “思维从疑问开始” ,创设情境,激发学生的求知欲,使学生处于“愤” “悱”的状 态,此时需要教师适当“启” “发” 。 [学生活动]:学生思考,分组讨论并派代表回答讨论的结果。 【问题 1】 :什么是直线的倾斜角?它的范围如何? [设计意图]:学生通过观察图形与讨论,理解确定直线的条件以及直线倾斜角的定义。 [预设结果]: (1)形成倾斜角的定义:在直角坐标系下,以 x 轴为基准,当直线 l 与 x 轴相交时, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ,叫做直线 l 的倾斜角。 规 定 : 当 直 线 (2)形成倾斜角的范围:0 与 轴 平 行 或 重 合 时 , 它 的 倾 斜 角 为 180 。 0 。 【问题 2】 :日常生活中还有表示倾斜程度的量吗? [设计意图]:采用发现法,引导学生发现斜率的定义及必要性。 [学生活动]:互相讨论日常生活中的爬山坡的坡度大小,得结论。 坡度(比)=升高量/前进量=tan 我们把倾斜角不是 90 的直线,其倾斜角的正切值叫做这条直线 2 的斜率(得出斜率的定义)。即 。 【问题 3】 : 当 ? ? [0 0 ,1800 ) 变化时, 斜率 k 如何变化? ? 与 k 的具体联系是什么呢?换句话说: [设计意图 ]:培养学生观察和概括问题的能力,分类讨论思想的应用培养学生思维的严谨性和 科学性,体现数形结合的思想。 [学生活动]:通过图像来研究,独立完成,然后找某组的学生来展示。 老师总结: ? 与 k 的联系: k 是 o 的正切函数,也就是说 o 与 k 的关系实质是函数关系,具体 而言倾斜角α 是 90 的直线没有斜率;倾斜角α 不是 90 的直线都有斜率;倾斜角不同,直线的斜 率也不同。斜率大于 0 的直线的倾斜角为锐角,并且斜率越大倾斜角越大;斜率小于 0 的直线的倾 斜角为钝角,并且斜率越大倾斜角越大。因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。 (三) 师生互动,导出两点的斜率公式 【问题 4】 :求直线的斜率还有其它方法吗?若已知两点的坐标如何求斜率?什么方法? [设计意图]:使学生明确已知直线上两点的坐标,求其 斜率的方法;体会构造的过程,渗透化归 的数学思想,向学生展现数学的和谐与对称美。 [学生活动]:讨论过两点的直线的斜率公式的推导思想,完成推导过程。 思路分析:根据斜率的定义解决问题,因此首先要构造直角三角形。 斜率公式:经过两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) (x1 x2)的直线的斜率公式是: k? 问:这个公 答: y2 ? y1 x2 ? x1 式有什么限制范围吗?公式与两点的顺序有关吗? 不存在。 x1 ? x 2 ,当 x1 ? x 2 时, l ? x 轴,此时 ? ? 900 , k 解决过程: (略) (四)知识应用 例 1、求经过 A (3, 2), B (-4, 1) C (0,-1) 各点的直线的斜率,并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角? 变式:经过 A(-2,3), B(-5,y)两点的直线的斜率为 2,求 y 的值? [设计意图]:巩固本课时所学的基本知识。 [学生活动]:学生板演,然后讲解。

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