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www.yh36908.com:河北省衡水中学2015-2016学年高一下学期二调数学试卷(文科) Word版含解析

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2015-2016 学年河北省衡水中学高一(下)二调数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( ) A.至多等于 3 B.至多等于 4 C.等于 5 D.大于 5 2.如图所示,正方形 O′A′B′C′的边长为 1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原 图形的周长是( )

A.6 B.8 C.2+3 D.2+2 3.若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一 定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 4. 如图是某个正方体的侧面展开图, l1、 l2 是两条侧面对角线, 则在正方体中, l1 与 l2 (



A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为 5.已知 sin( A.﹣ D.相交且夹角为 ,则 sin(α+ D.﹣ ) )的值是( )

+α)+sinα= B. C.

6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

A.16

B.32

C.48

D.144
2

7.在△ ABC 中,若 sinBsinC=cos A.等边三角形 C.直角三角形

,则△ ABC 是(



B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

8.某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为(



A.54

B.60

C.66 +

D.72 |=| ﹣ |, AB=2, AC=1, E, F 为 BC 边的三等分点, 则 ? =

9. 在△ ABC 中, 若| ( A. ) B. C.

D.

10.已知函数 f(x)=

,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c) ,

则 abc 的取值范围是( ) A. (1,10) B. (10,12) C. (5,6) D. (20,24) 11. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有 系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成 一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V≈ 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3,那么,近似公式 V≈ 圆锥体积公式中的 π 近似取为( A. B. C. D. ,AC=3,若三棱锥 D﹣ABC 体积的最 )
2

L h,

2

L h 相当于将

12.已知点 A、B、C、D 均在球 O 上,AB=BC= 大值为 ,则球 O 的表面积为( π )

A.36π B.16π C.12π D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.如图,在三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F﹣ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1﹣ABC 的体积为 V2,则 V1:V2= .

14.设函数 f (x) =cos

x, 则 f(1) +f(2) +f(3)+…+f(2 015)+f (2 016) =



15.正六棱柱 ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1 的底面边长为 移动到点 D1 时的最短的路程是 . 16.sin18°cos36°= .

,侧棱长为 1,则动点从 A 沿表面

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.已知几何体 A﹣BCED 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直 角三角形,正视图为直角梯形,已知几何体 A﹣BCED 的体积为 16.

(1)求实数 a 的值; (2)将直角三角形△ ABD 绕斜边 AD 旋转一周,求该旋转体的表面积. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 =( (1)若 ⊥ ,求 tanx 的值; (2)若 与 的夹角为 ,求 sinx+cosx 的值. ,﹣ ) , =(sinx,cosx) ,x∈(0, ) .

19.如图,多面体 ABCDEF 中,BA,BC,BE 两两垂直,且 AB∥EF,CD∥BE,AB=BE=2, BC=CD=EF=1. (I)若点 G 在线段 AB 上,且 BG=3GA,求证:CG∥平面 ADF; (II)求多面体 ABCDEF 的体积.

20.如图,以坐标原点 O 为圆心的单位圆与 x 轴正半轴相交于点 A,点 B,P 在单位圆上, 且 (1)求 (2)设∠AOP= 的值; , ,四边形 OAQP 的面积为 S, .

,求 f(θ)的最值及此时 θ 的值.

21.在底面半径为 2,母线长为 4 的圆锥中内有一个高为 的圆柱. (1)求:圆柱表面积的最大值; (2)在(1)的条件下,求该圆柱外接球的表面积和体积. 22.已知 a>0,函数 ≤1 (1)求常数 a,b 的值; (2)设 且 lgg(x)>0,求 g(x)的单调递增区间. ,当 时,﹣5≤f(x)

2015-2016 学年河北省衡水中学高一(下)二调数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( ) A.至多等于 3 B.至多等于 4 C.等于 5 D.大于 5 【分析】先考虑平面上的情况:只有三个点的情况成立;再考虑空间里,只有四个点的情况 成立,注意运用外接球和三角形三边的关系,即可判断. 【解答】解:考虑平面上,3 个点两两距离相等,构成等边三角形,成立; 4 个点两两距离相等,由三角形的两边之和大于第三边,则不成立; n 大于 4,也不成立; 在空间中,4 个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立; 若 n>4,由于任三点不共线,当 n=5 时,考虑四个点构成的正四面体, 第五个点,与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心, 且球的半径等于边长,即有球心与正四面体的底面的中心重合,故不成立; 同理 n>5,不成立. 故选:B. 【点评】本题考查空间几何体的特征,主要考查空间两点的距离相等的情况,注意结合外接 球和三角形的两边与第三边的关系,属于中档题和易错题. 2.如图所示,正方形 O′A′B′C′的边长为 1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原 图形的周长是( )

A.6 B.8 C.2+3 D.2+2 【分析】根据题目给出的直观图的形状,画出对应的原平面图形的形状,求出相应的边长, 则问题可求. ′ ′ ′ 【解答】解:作出该直观图的原图形,因为直观图中的线段 C B ∥x 轴,所以在原图形中对 ′ 应的线段平行于 x 轴且长度不变,点 C ′ ′ ′ 和 B 在原图形中对应的点 C 和 B 的纵坐标是 O B 的 2 倍,则 OB=2 ,所以 OC=3,则四边形 OABC 的长度为 8. 故选 B.

【点评】本题考查了平面图形的直观图,考查了数形结合思想,解答此题的关键是掌握平面 图形的直观图的画法,能正确的画出直观图的原图形. 3.若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一 定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得,∴l1 与 l4 的位置关系不确定. 【解答】解:∵l1⊥l2,l2⊥l3,∴l1 与 l3 的位置关系不确定, 又 l4⊥l3,∴l1 与 l4 的位置关系不确定. 故 A、B、C 错误. 故选:D. 【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定,考查了学生的空间想象能力,在空间中垂 直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面. 4. 如图是某个正方体的侧面展开图, l1、 l2 是两条侧面对角线, 则在正方体中, l1 与 l2 ( )

A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为 D.相交且夹角为

【分析】如图,以涂有红色的正方形为下底面,并且使 l1 所在侧面正对着我们,可得 l1 与 l2 是相交直线,再利用正方体的性质和空间直线所成角的定义,可算出它们的所成角为 得到本题答案. 【解答】解:如图,以涂有红色的正方形为下底面,并且使 l1 所在侧面正对着我们, 可得 l2 所在的面是上底面,且两条直线有一个公共点 ∴在正方体中,l1 与 l2 是相交直线 作出过 l1、l2 的截面,再利用等边三角形的性质, ,

可得 l1 与 l2 的所成角为 故选:D

【点评】本题给出正方体侧面展开图,叫们还原成立体图形并求空间直线所成的角,着重考 查了正方体的性质和空间直线所成角的定义等知识,属于基础题.

5.已知 sin( A.﹣

+α)+sinα= B. C.

,则 sin(α+ D.﹣

)的值是(



【分析】通过两角和的正弦函数化简函数的表达式,然后求解即可. 【解答】解:sin( 可得 即 cosα +α)+sinα= , ,

sinα+sinα= ,

cosα+ sinα=

sin(α+ ﹣ .

)=﹣sin(α+

)=﹣

sinα﹣ cosα=﹣



cosα+ sinα)=﹣

=

故选:D. 【点评】本题考查两角和与差的三角函数诱导公式的应用,三角函数的化简求值,考查计算 能力. 6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.16

B.32

C.48

D.144

【分析】几何体为四棱锥,结合直观图判断相关几何量的数据,把数据代入棱锥的体积公式 计算. 【解答】解:由三视图知:几何体为四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,如图:

其中 BC=2,AD=6,AB=6,SA⊥平面 ABCD,SA=6, ∴几何体的体积 V= × ×6×6=48.

故选:C. 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积, 根据三视图判断几何体的形状及数据所对应 的几何量是解答本题的关键. 7.在△ ABC 中,若 sinBsinC=cos A.等边三角形 C.直角三角形 【分析】利用 cos
2 2

,则△ ABC 是(



B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 = 可得 sinBsinC= , ,再利用两角和差的余弦可求.

【解答】解:由题意 sinBsinC=

即 sinBsinC=1﹣cosCcosB, 亦即 cos(C﹣B)=1, ∵C,B∈(0,π) , ∴C=B, 故选:B. 【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式的运用,考查三角函数与解三角形的结合.属于 基础题. 8.某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为( )

A.54

B.60

C.66

D.72

【分析】 几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥, 根据三视图判断各面的形状及相关几何量 的数据,把数据代入面积公式计算. 【解答】解:由三视图知:几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图: 三棱柱的高为 5,消去的三棱锥的高为 3, 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形, ∵AB⊥平面 BEFC,∴AB⊥BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5 ∴几何体的表面积 S= ×3×4+ ×3×5+ 故选:B. ×4+ ×5+3×5=60.

【点评】 本题考查了由三视图求几何体的表面积, 根据三视图判断几何体的形状及数据所对 应的几何量是解题的关键.

9. 在△ ABC 中, 若| ( A. ) B. C.

+

|=|



|, AB=2, AC=1, E, F 为 BC 边的三等分点, 则

?

=

D. =0,再由向量的三角形法则,以及向

【分析】运用向量的平方即为模的平方,可得 量共线的知识,化简即可得到所求. 【解答】解:若| 则 即有 =0, + |=| = ﹣ |, ,

E,F 为 BC 边的三等分点, 则 =( = + + =( + )?( + )?( + + ) . )=( )?( )

= ×(1+4)+0=

故选 B.

【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查向 量共线的定理,考查运算能力,属于中档题.

10.已知函数 f(x)=

,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c) ,

则 abc 的取值范围是( ) A. (1,10) B. (10,12) C. (5,6) D. (20,24) 【分析】不妨设 a<b<c,作出 f(x)的图象,根据图象可得 a,b,c 的范围,根据 f(a) =f(b)可得 ab=1,进而可求得答案. 【解答】解:不妨设 a<b<c, 作出 f(x)的图象,如图所示: 由图象可知 0<a<1<b<10<c<12, 由 f(a)=f(b)得|lga|=|lgb|,即﹣lga=lgb, ∴lgab=0,则 ab=1, ∴abc=c, ∴abc 的取值范围是(10,12) , 故选 B.

【点评】本题考查对数函数的图象和性质,考查数形结合思想、函数与方程思想,考查学生 分析解决问题的能力. 11. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有 系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成 一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V≈ 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3,那么,近似公式 V≈ 圆锥体积公式中的 π 近似取为( A. B. C. D. L h,建立方程,即可求得结论.
2 2

L h,

2

L h 相当于将



【分析】根据近似公式 V≈

【解答】解:设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,则 L=2πr, ∴ = (2πr) h,
2

∴π=



故选:B. 【点评】本题考查圆锥体积公式,考查学生的阅读理解能力,属于基础题. 12.已知点 A、B、C、D 均在球 O 上,AB=BC= 大值为 ,则球 O 的表面积为( π ,利用三棱锥 D﹣ABC 的体积的最大值为 , ) ,AC=3,若三棱锥 D﹣ABC 体积的最

A.36π B.16π C.12π D.

【分析】确定∠BAC=120°,S△ ABC=

可得 D 到平面 ABC 的最大距离,再利用勾股定理,即可求出球的半径,即可求出球 O 的表 面积. 【解答】解:设△ ABC 的外接圆的半径为 r,则 ∵AB=BC= ∴2r= ,AC=3,∴∠ABC=120°,S△ ABC= =2 , ,

∵三棱锥 D﹣ABC 的体积的最大值为 ∴D 到平面 ABC 的最大距离为 3, 设球的半径为 R,则 R =3+(3﹣R) , ∴R=2,
2 2

∴球 O 的表面积为 4πR =16π. 故选:B. 【点评】本题考查球的半径,考查体积的计算,确定 D 到平面 ABC 的最大距离是关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.如图,在三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F﹣ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1﹣ABC 的体积为 V2,则 V1:V2= 1:24 .

2

【分析】 由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值, 由题意棱柱 的高是棱锥的高的 2 倍,然后直接由体积公式可得比值. 【解答】解:因为 D,E,分别是 AB,AC 的中点,所以 S△ ADE:S△ ABC=1:4, 又 F 是 AA1 的中点,所以 A1 到底面的距离 H 为 F 到底面距离 h 的 2 倍. 即三棱柱 A1B1C1﹣ABC 的高是三棱锥 F﹣ADE 高的 2 倍.

所以 V1:V2=

=1:24.

故答案为 1:24. 【点评】 本题考查了棱柱和棱锥的体积公式, 考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平 方,是基础的计算题.

14.设函数 f(x)=cos 【分析】函数 f(x)=cos

x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)+f(2 016)= 0 . x,可得 T=6.利用其周期性即可得出. x,

【解答】解:∵函数 f(x)=cos ∴ =6.

则 f(1)= (5)=

= ,f(2)= = ,f(6)=cos2π=1,

=﹣ ,f(3)=cosπ=﹣1,f(4)=

=

,f

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, 则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)+f(2 016)=336×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f (5)+f(6)]=0. 故答案为:0. 【点评】本题考查了三角函数与数列的周期性、数列求和,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 15.正六棱柱 ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1 的底面边长为 ,侧棱长为 1,则动点从 A 沿表面 移动到点 D1 时的最短的路程是 . 【分析】根据题意,画出图形,结合图形得出从 A 点沿表面到 D1 的路程是多少,求出即可. 【解答】解:将所给的正六棱柱按图 1 部分展开, 则 AD′1= AD1= = = , ,

∵AD′1<AD1, ∴从 A 点沿正侧面和上底面到 D1 的路程最短,为 故答案为: .



【点评】本题考查了几何体的展开图,以及两点之间线段最短的应用问题,立体几何两点间 的最短距离时, 通常把立体图形展开成平面图形, 转化成平面图形两点间的距离问题来求解, 是基础题目.

16.sin18°cos36°=



【分析】由条件利用二倍角的正弦公式、诱导公式化简所给的式子,可得结果. 【解答】解: sin18°cos36°= = , 故答案为: . 【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式、诱导公式的应用,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.已知几何体 A﹣BCED 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直 角三角形,正视图为直角梯形,已知几何体 A﹣BCED 的体积为 16. = =

(1)求实数 a 的值; (2)将直角三角形△ ABD 绕斜边 AD 旋转一周,求该旋转体的表面积. 【分析】 (1)由该几何体的三视图知 AC⊥面 BCED,且 EC=BC=AC=4,BD=a,利用几何 体 A﹣BCED 的体积为 16,求实数 a 的值; (2)过 B 作 AD 的垂线 BH,垂足为 H,得 ,两个圆锥的母线长分别为 ,求出圆锥底面周长为 和 2,即可求该旋转体的表面积.

【解答】解: (1)由该几何体的三视图知 AC⊥面 BCED,且 EC=BC=AC=4,BD=a, 体积 V= 解得 a=2; =16,

(2)在 RT△ ABD 中,

,BD=2,AD=6, , , 和 2,

过 B 作 AD 的垂线 BH,垂足为 H,得

该旋转体由两个同底的圆锥构成,圆锥底面半径为 所以圆锥底面周长为 故该旋转体的表面积为

,两个圆锥的母线长分别为 .

【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识,属于基础题. ) , =(sinx,cosx) ,x∈(0,

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 =( (1)若 ⊥ ,求 tanx 的值; (2)若 与 的夹角为 ,求 sinx+cosx 的值.

,﹣

) .

【分析】 (1)根据向量垂直的性质得到坐标的关系等式,求出 tanx; (2)利用数量积公式得到 x 的三角函数等式,结合平方关系求出 sinx+cosx. 【解答】解: (1)因 ⊥ ,所以 所以 tanx=1 …(5 分) , ,所以 ①… sinx﹣ cosx=0 …(2 分)

(2)因为 与 的夹角为 (7 分) 设 sinx+cosx=a② 由① +② 得 a =
2 2 2

…(10 分) …(12 分)

因 x 是锐角,所以 a 为正值,所以 a=

【点评】 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量垂直的性质和三角函数的化简求值; 属于 基础题. 19.如图,多面体 ABCDEF 中,BA,BC,BE 两两垂直,且 AB∥EF,CD∥BE,AB=BE=2, BC=CD=EF=1. (I)若点 G 在线段 AB 上,且 BG=3GA,求证:CG∥平面 ADF; (II)求多面体 ABCDEF 的体积.

【分析】 (I)分别取 AB,AF 的中点 M,H,连结 MF,GH,DH,则由中位线定理可得 GH MF BE,又 CD ,得出四边形 CDHG 是平行四边形,故 CG∥DH,从而

CG∥平面 ADF; (II)将多面体分解成三棱锥 A﹣BCD 和四棱锥 D﹣ABEF,分别计算体积即可. 【解答】解: (Ⅰ)分别取 AB,AF 的中点 M,H,连结 MF,GH,DH. ∵EF BM= ,

∴四边形 BEFM 是平行四边形, ∴MF BE.

∵G,H 分别是 AM,AF 的中点, ∴ 又∵CD BE, ,

∴ , ∴四边形 CDHG 是平行四边形 ∴CG∥DH,又∵CG?平面 ADF,DH?平面 ADF ∴CG∥平面 ADF. (Ⅱ)∵BA,BC,BE 两两垂直, ∴AB⊥平面 BCDE,BC⊥平面 ABEF. VA﹣BCD= VD﹣ABEF= = = = . =1.

∴多面体 ABCDEF 的体积 V=VA﹣BCD+VD﹣ABEF= .

【点评】本题考查了线面平行的判定,棱锥的体积计算,属于中档题. 20.如图,以坐标原点 O 为圆心的单位圆与 x 轴正半轴相交于点 A,点 B,P 在单位圆上, 且 (1)求 (2)设∠AOP= 的值; , ,四边形 OAQP 的面积为 S, .

,求 f(θ)的最值及此时 θ 的值.

【分析】 (1)依题意,可求得 tanα=2,将 (2) 利用向量的数量积的坐标运算可求得 f (θ) =﹣sin θ+
2

中的“弦”化“切”即可求得其值; sinθ; θ∈[ , ]? ≤sinθ≤1,

利用正弦函数的单调性与最值即可求得 f(θ)的最值及此时 θ 的值.

【解答】解: (1)依题意,tanα=

=﹣2,



=

=

=﹣10;

(2)由已知点 P 的坐标为 P(cosθ,sinθ) , 又 = + , = ,

∴四边形 OAQP 为菱形, ∴S=2S△ OAP=sinθ, ∵A(1,0) ,P(cosθ,sinθ) ,

∴ ∴

=(1+cosθ,sinθ) , ? =1+cosθ,
2

∴f(θ)=(1+cosθ﹣1) + 2 =cos θ+ sinθ﹣1 2 =﹣sin θ+ sinθ, ∵ ≤sinθ≤1, ∴当 sinθ= ,即 θ=

sinθ﹣1

时,f(θ)max= ; ﹣1.

当 sinθ=1,即 θ=

时,f(θ)max=

【点评】 本题考查三角函数的最值, 着重考查三角函数中的恒等变换应用及向量的数量积的 坐标运算,考查正弦函数的单调性及最值,属于中档题. 21.在底面半径为 2,母线长为 4 的圆锥中内有一个高为 的圆柱. (1)求:圆柱表面积的最大值; (2)在(1)的条件下,求该圆柱外接球的表面积和体积. 【分析】 (1)我们可计算出圆柱的底面半径,代入圆柱表面积公式,即可得到答案; (2)求出圆柱的外接球半径,即可求该圆柱外接球的表面积和体积. 【解答】解: (1)当圆柱内接于圆锥时,圆柱的表面积最大. 设此时,圆柱的底面半径为 r,高为 h′. 圆锥的高 h= 又∵h′= , ,∴r=1.
2

=2



∴h′= h.∴ =

∴S 表面积=2S 底+S 侧=2πr +2πrh′ =2π+2π× =2(1+ )π. (6 分) (2)设圆柱的外接球半径为 R. ∴S=7π (12 分) ,

【点评】本题考查的知识点是圆柱的表面积,其中根据已知条件,求出圆柱的底面半径,是 解答本题的关键.

22.已知 a>0,函数 ≤1 (1)求常数 a,b 的值; (2)设

,当

时,﹣5≤f(x)

且 lgg(x)>0,求 g(x)的单调递增区间.

【分析】 (1)由

时,利用正弦函数的定义域和值域求得 sin(2x+

)∈[﹣ ,

1],可得 b≤f(x)≤3a+b.再根据﹣5≤f(x)≤1,求得 a 和 b 的值. (2)由(1)可得, (2x+ ) > , 再根据 2kπ+ <2x+ =4sin(2x+ <2kπ+ )﹣1.由 lgg(x)>0,可得 sin <2x+ ≤2kπ+ , k∈z,

, 以及 2kπ﹣

求得 x 的范围,可得函数 g(x)的增区间. 【解答】解: (1)当 再由函数 时,2x+ ∈[ , ],sin(2x+ )∈[﹣ ,1].

,可得 b≤f(x)≤3a+b.

再根据﹣5≤f(x)≤1,可得 b=﹣5,且 3a+b=1, ∴a=2,且 b=﹣5. (2)由(1)可得,f(x)=﹣4sin(2x+ 故 =﹣4sin(2x+ )﹣1, )﹣1=4sin(2x+ )> ,∴2kπ+ )﹣1. <2x+ <2kπ+ ,k∈z,

由 lgg(x)>0,可得 g(x)>1,∴sin(2x+ 解得 kπ<x≤kπ+ 再根据 2kπ﹣ ,k∈z ①. <2x+ ≤2kπ+

,k∈z,可得 kπ﹣

<x≤kπ+ ],k∈z.

,k∈z ②,

综合①②可得,函数 g(x)的增区间为 (kπ,kπ+

【点评】本题主要正弦函数的定义域和值域、正弦函数的单调性,属于中档题.


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