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2012年扬州市暑期培训高中数学:谈高中数学教学的整体性与开放性(扬大附中何继刚)_图文

谈高中数学教学 的整体性与开放性
扬州大学附属中学 何继刚

2012.8.11.

本讲的指导思想------反馈原理
肯定表述:任何系统只有通过反馈信息, 才能实现控制。 否定表述:没有反馈信息的系统,要实 现控制是不可能的。

本讲的指导思想------整体原理
肯定表述:任何系统都有结构,系统整 体的功能不等于各孤立部分的功能之和。 否定表述:没有结构的,没有整体功能 的系统是不可能的。

本讲的指导思想------有序原理
肯定表述:任何系统只有开放,与外界 有信息交换,才可能有序。 否定表述:与外界无信息交换的封闭系 统,要使之有序是不可能的。 系统由较低级的结构转变为较高级的结 构,称之为有序。

系统由较高级的结构转变为较低级的结 构,称之为无序。

学生学习数学的认知过程是一个吸收 信息、加工信息、输出信息的系统,教学 设计应促进这个系统成为信息反馈、可调 控的学习系统;成为互动的开放系统;成 为合理联系、综合并且结构优化的系统。

一、高中数学教学的整体性设计
1、整体把握高中数学教学目标 三维目标是一个整体,应该贯穿在高中 数学教育的始终,数学教学必须时刻为落实 数学课程标准的目标做润物细无声的工作。

(1)课堂教学设计要落实 “四基” “五

能”
“四基”的内容:数学的基础知识、基 “二意识” 本技能、基本数学思想方法和基本数学经验。 “五能”是指五个基本能力:运算求解 能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象 概括能力、数据处理能力。 “二意识”是指发展数学应用意识和创 新意识。

案例1

集合概念的教学

从“集合”在数学中的作用看:“集合 论”是数学的一个研究分支; “集合论”是 “数理逻辑”的组成部分; 集合是表述其他数 学内容的一种“符号语言”。从 “集合”在 高中数学课程定位来看: 高中数学只将集合 作为一种语言来学习, 使用集合语言, 可以简 洁、准确地表达数学的一些内容。从 “集合” 在实现目标的作用来看: 学生学会使用最基 本的集合语言表示有关的数学对象,发展运用 语言进行交流

的能力。集合语言是符号语言,它与图形语言 (Venn图)有密切联系。 在教学中要充分体现和发挥“集合”在 实现目标的如下作用:①“集合”的观念可 以体现数学中的“分类思想”;②可以帮助 我们把每一类事物描述清楚,如:数集、点 集、量的范围、平面直角坐标系中的点集、 方程的根、不等式的解集、函数的定义域、 值域。 “集合”概念的教学,应分解到高中数学学 习的全过程。“集合”概念的教学可作如下 整体

设计:第一过程,作为起始课,引导学生掌 握集合的含义和表示, 理解集合的基本关系, 掌握集合的基本运算。第二过程是一个长期 过程, 用 “集合”的观念学习其它数学内容的 过程(体现“集合”在后继学习中的作用): 如在必修1中,用“集合”概念学习:函数 定义域、单调区间、图形、应用中描述等; 在必修2中用“集合”概念学习:点A∈直 线l;直线l包含于平面α等; 平面点集的表示; 直线、圆及其部分点集等; 在必修3中用“集 合”

概念学习:数据分类;直方图、扇形图等; 在必修4中用“集合”概念学习:三角函数 周期、零点集、极值点集、单调区间等;向 量与平面点集等;在必修5中用“集合”概 念学习:一元二次不等式解集,目标函数的 可行域等。 集合、逻辑语句、算法语句等语言类知 识 、方法性知识 、程序性知识 、策略性知识, 将伴随所有数学知识的学习。

(2)教学设计要搭建情感、态度、价值
观与数学课程结合的平台 王尚志老师在解读“课程标准”时指出, 高中数学教学不仅要开展接受、记忆、模仿 和练习等重要的数学学习活动,还应倡导自 主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等 学习数学的方式。这些方式有助于发挥同学 们学习的主动性,使同学们的学习过程成为 在教师引导下的“再创造”过程。“通过不同形 式的自主学习、探究活动,体验数学发现和 创造的历程。

(3)整体把握数学素养和能力的培养 数学素养是指,运用数学解决日常生活、 工作、进一步学习中的问题的能力,它包括 一系列重要的能力:推理、交流、建模、知 识重构、联系能力,还包括:发现和提出问 题、阅读、整体理解。数学素养还体现在理 解数学本质、掌握数学方法、技能(如:模 型—待定系数法;变量替换—换元法;降 幂—配方法;消元—加减、代入消元等通性 通法 )等方面。

案例2

函数教学的整体性

函数是中学数学的核心内容,是高中数学 中的一条主线. “像函数这样的核心概念需要多 次接触、反复体会、螺旋式上升,逐步加深理 解,才能真正掌握,灵活应用”. 因此,函数的 教学必须要强调整体性和联系性. 1.由“静态”的式与方程到“动态”的函数, 形成动静互化的认知过程. 在教学中可列举如下具有函数关键特征的 例子,一个是路程与时间的关系 S ? 30t , 一个 是 圆面积和半径的关系. 通过分析这两个式子 的共同属性引入常量和变量的概念.

在此基础上,抽象出初中阶段函数的定义, 引入“函数”与“自变量”的概念.以上定义突 出了三个要点:(1)在某变化过程中有两个变 量 ;(2)其中变量 在某范围内取值;(3)对于 在这 个范围内的每一个确定的值, 另一个变量都有 唯一确定的值和它对应. 在初中学习了“函数与图象”以后,明确算 式只是函数的一种表示方法,列表法、图像法 都可以表示函数,求方程的根实际上可以看作 是求已知函数的值为零时的自变量的值. 逐步 让 学生认识到,我们可将很多问题和知识都统一 到函数的范畴中.

例1 引入函数概念之前, 表达式 x ? y ? 8, 在学生已有的认知图式中就是两个定数相加的 和为8, 没有认识到两个变量之间, 随 x 的增大, y 减小的相互制约的关系,也没有认识到上述 问题中的 x, y 不能同时取到最大(最小)值这 一事实. 由此可以看到,找变量容易,找关系难. 找 关系,有两层含意,一是找两变量间的代数规 律、几何意义;二是“建立函数模型.”我们可 以通过 “函数建模”揭示“变量关系”的表象, 增强揭示两个变量相互依存关系的理解力, 实 现由过程表征向关系表征的转变.

2.由动态的“变量说”到静态的“对应 说”,形成微观和抽象化的认知过程 高一新课本《必修1》给出了函数的新定 义,突现了“对应关系”.对初中函数定义进 行的抽象化、精确化,是一种微观表现形式, 是一种由动态回归静态的扬弃,是螺旋式上 升. 这阶段的函数教学, 我们要实现二个方面 的转变: 其一, 实现函数宏观表征向函数的微观表 征的转变. 初中的函数定义刻画了函数的外部 特征, 可以认为:“函数是变量”, “ 函数

化过程”, 等等, 然而, 对数学的进一步研究, 需要在宏观的基础上, 微观地研究函数, 因此, 很有必要用“对应关系”来理解函数, 实现函 数宏观表征向函数的微观表征的转变, 使学生 y ? 8, 对函数的认知得到进一步地提升,如: 是函 数吗? 学生很困惑:关系式中没有变量, 没有 变化,怎么是函数呢?应用“对应关系”来 理解, 是函数就十分显然了. 又如狄立克莱函 数的定义等问题,就需要用“对应说”进行 理解.

其二,实现具象表征向 “形式化”表征 的转变.从认知心理学的角度看,函数的形式 化表示不是同化过程,而是顺应的过程.从变 量到函数抽象的符号表示的过程来看,中间 有“过程说”“关系说”“对应说”多个抽 象层次,这是学生产生理解障碍,思维受阻 的两个根本原因. 要突破抽象的函数语言带来 的思维障碍,可以在学习函数的性质(单调 性、奇偶性、周期性等)以及应用的过程中, 学习“形式化”表征.通过多种训练方式,引 导学生认识 “形式化”函数语言的本质.

3.由“过程”到“对象”,形成宏观与微 观、动态与静态互补的认知过程 函数概念具有二重性,既代表定义域的 元素按对应法则与值域中元素作对应的过程, 又代表特定对应的关系结构,所以认识这个 概念也应分为两个侧面,即作为过程的一面 和作为对象的一面,研究表明,形成一个概 念,往往要经过由过程开始,然后转变为对 象的认知过程,掌握函数概念的最后一个层 次,就是把函数作为一个“整体的对象”来 看待.

则需要列表, 然后描点连线, 这是典型的过程性 1 思维方式;如果先画 y ? 的图像,再通过平 x 移和放缩等变换,作出已知函数的图像,这就 是结构化思维方式. 有时动态函数,转化为静态方程,问题即 可解决. 有时静态方程,用动态的函数观点审视, 往往会更深刻,如:

2x ?1 例2 作函数 y ? 的图像, 若用描点法, x ?1

例3 (2009浙江理第(I)题)已知函数
f ( x) ? x3 ? (k 2 ? k ? 1) x2 ? 5x ? 2, g ( x) ? k 2 x2 ? kx ? 1,

其中k ? R. 设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x), 若 p ( x) 在区间 (0,3) 上不单调,求k 的取值范围. 分析 将函数 p ( x) 作为“对象”考察. 因

p( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? (k ?1) x ? (k ? 5) x ?1,
3 2

p '( x) ? 3x ? 2(k ?1) x ? k ? 5, 又因 p( x) 在区间
2

(0,3) 上不单调,所以 p '( x) ? 0 在 (0,3) 上有实

数解, 且无重根, 动态函数 p ( x) 转化为关于x 的静态方程 p '( x) ? 0 得 2 k (2x ? 1) ? ?(3x ? 2 x ? 5). 由此得到

3x ? 2 x ? 5 3? 9 10 ? k ?? ? ? ?(2 x ? 1) ? ? ? 2x ?1 4? 2x ?1 3 ?
2

下面再将 k ( x) 作为“过程”的函数思考, 令
有 t ? (1,7), 记 h(t ) ? t ? 9 , 则 h(t ) 在 t ? 2 x ? 1, t (1,3] 上单调递减, 在[3,7) 上单调递增, 所以有
9 ?[6,10), h(t ) ?[6,10), 于是 (2 x ? 1) ? 2x ? 1

得 k ? (?5, ?2], 而当 k ? ?2 时有 p '( x) ? 0 在 (0,3) 上有两个相等的实根 x ? 1, 故舍去, 所 以 k ? (?5, ?2). 综上所述,学生对函数概念的理解,需 要一个循序渐进、螺旋式上升的过程,提高 学生对函数的理解能力、应用能力的关键, 是要引导学生经历认识变量、突出关系、区 别函数与算式、掌握 ‘对应’ 、把握形式化 描述、形成函数对象等螺旋上升的认知过程. 在经历每个认知过程时,只要我们精心创设情 境

让学生经历“具体情境→抽象化→符号表示

→深化应用”这一系列认知实践, 把形式化、
符号化思想渗透到初中、高中函数教学的每

个环节, 就能促进学生函数观念的形成、发展、
提高,就能提高学生应用函数动态与静态的 辩证关系解决问题的能力,使学生的思维朝 更深刻的方向发展.

2、整体把握数学教学内容 (1)高中数学课程内容主线——函数 克莱因提出了一个重要的思想——以函 数概念和思想统一数学教育的内容, 他认为: “ 函数概念,应该成为数学教育的灵魂。以 函数概念为中心,将全部数学教材集中在它 周围,进行充分地综合。”

案例3 对函数单调性的概念,通过引导
学生理解多个层次及其各层次间的关系, 来促 进学生形成对函数单调性完整的认识, 实现函 数单调性从具象到 “形式化”的转变. 第一层次,图形化理解. 从图形的走势来 理解函数的单调性. 这是理解函数单调性的基 础,它可以帮助学生形成形象化的视觉经验. 第二层次,关系化理解.从 x 与 y 的关系 x 来理解函数的单调性. “随着 的增大,相 x 与 y 应的 值也随着增大” 这句话就是从 y 的

变化关系来表征函数的单调递增的特性. 以上 理解利用函数概念的本质引导学生从图形观 察的视角转移到 x 与 y 的变化关系上来,带 动了思维活动向深刻的方向发展,从而为更 深层次地理解单调性奠定了基础. 第三层次,离散化理解. 这是单调性形式 定义的基础.它将 x 与 y 的整体关系离散成两 个点中 x 与 y 的数量比较关系. 整体的变化依 赖关系变成两个点中 x 与 y 的大小对应比较 关系, 图形上的感知转向解析关系上的认知.

用“两个点的‘任取’”将点的连续运动转
变成两个相对静止的离散点中 x y 与 的数量

比较关系. 在教学中要引导学生充分认识用解
析的方式定义函数的单调性有如下优点:第

一,解析的方式可以反映图形的特征;第二,
解析的方式还可以表达离散的情形;第三,

成为一种判断的工具;第四,方式更精确.
第四层次,差商理解. 用差商 关
y1 描述“ 1 ? x2 时, ? y2 ” , 将基于 x x
y2 ? y1 ?0 x2 ? x1

的大小

系来讨论对应的 y 的大小关系的方法转变成
y2 ? y1 了一个统一的差商式子 x2 ? x1

与0比较的关系.

差商的结果不仅可以用来判断函数的增减性, 而且可以反映 y 关于 x 的变化率. 它还有显明 的几何意义. 第五层次, 导数理解. 从
f ( x ?? x) ? f ( x) ?x
y2 ? y1 x2 ? x1



?y ?x

的转变, 表达了“任意”的含意:

“过程与连续”, 在整个区间上的取值表达了 x

“过程”,而 ?x

可以变的很小,表达了连续,

?x 无限变小, 出现了导数概念,导数完成了非 常重要的对函数增减性的微观认识, 从 x1 ? x2
“ y1 ? y2

经历了由具象到抽象的过程,这也反映了函数
符号内含的不断丰富,内含充实的过程,也促

y2 ? y1 时, ? 0,” x2 ? x1

到 f '( x) ? 0 再到

进了学生对函数认知的提升.

从教材来看,在高中阶段函数的单调性 的教学分成两个阶段:第一阶段,用运算的 性质研究单调性;第二阶段,用导数的性质 研究单调性。

在高中数学教学的整体设计中,突出函 数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、 实际问题的联系,包括与概率统计中的随机 变量的联系,并用函数(映射)的思想去理 解这些内容,是非常重要的一个出发点。反 过来,通过这些内容的学习,可以使学生加 深对于函数思想的认识。在整个高中数学教 学中, 若持续不断地引导学生体会、理解“函 数思想”会十分有效地提升学生的数学素养。

案例4 应用函数的观点联系综合
可以在函数与其它知识的交汇点处选题, 进行整体化教学设计,体现函数思想在数学 中的核心地位和价值。

例1、 (辽宁卷,理) 已知函数 f ( x) ? 1 2x x 2 2 e ? 2t (e ? x) ? x ? 2t ? 1, g ( x) ? f '( x). 2 (1)证明:当 t ? 2 2 时, ( x) 在 R g 上是增函数; (2)对于给定的闭区间 [a, b] ,试说明 存在实数 k , 当 t ? k 时,g ( x) 在闭区间 [a, b] 上是减函数;
3 (3)证明: f ( x) ? . 2

(1)证明:当 t ? 2 2 时, ( x ) 在 R g
上是增函数;

(2)对于给定的闭区间 [a, b], 试说明存在实数 k , 当 t ? k 时,g ( x) 在闭区间 [a, b] 上是减函数;

(2)对于给定的闭区间 [a, b], 试说明存在实数 k ,
当 t?k 时,g ( x) 在闭区间 [a, b] 上是减函数;

3 (3)证明:f ( x) ? . 2

3 (3)证明:f ( x) ? . 2

3 (3)证明: f ( x) ? . 2

3 (3)证明: f ( x) ? . 2

说明:本例是以二次函数为主线的函数问题 二次函数是高中生所学的最正规、最完 备的函数之一,它最能体现学生对函数思想 的把握,是联系高中与大学知识的主要纽带. 二次函数的基本性质,二次函数与方程根的 讨论,二次函数与二次不等式、二次方程的 综合问题都是考查的重点.

例2、(湖南卷,文)已知函数 1 3 1 2 (1,3] f ( x) ? x ? ax ? bx 在区间 [?1,1) 、 3 2 内各有一个极值点. (1) 求 a 2 ? 4b 的最大值;

y (2) 当 a 2 ? 4b ? 8 时, 设函数 ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线为l , 若 l 在点 A 处穿过函
数 y ? f ( x) 的图象(即动点在点A 附近沿曲线
y ? f ( x) 运动, 经过点A 时, 从 l 的一侧进入另

一侧),求函数 y ? f ( x) 的表达式.

说明:本例以三次函数为主线的问题. 自从有了“导数”这一 强有力的数学工 具之后,与一元三次函数相关的问题充分突 现了它的综合性与思维训练价值.

综观2007年高考数学试卷,它和导数、
不等式、数列、曲线方程相结合,有利于更 加深入考查复杂的数学方法和技能.

例3 、已知函数f(x)的定义域为 (??,0) ? (0, ??) ,

对于定义域中的每个x都满足 f ( x) ? f (? x) ? 1 ,若
f ( x) ? 1 函数 g ( x) ? ,判断函数g(x)的奇偶性. f ( x) ? 1

解: 不妨设f(x)、 g(x) 定义域分别为D1、D2.
1 若 x0 ? D2,则 x0 ? D1 ,且 f ( x0 ) ? 1 . f (? x0 ) ? f ( x ) ? 1 0 即? x0 ? D2 .又因为 f ( x) f (? x) ? 1 ,所以 f (? x) ? 1 . f ( x)



g ( ? x) ?

f ( ? x) ? 1 1 ? f ( x) ? ? ? g ( x) f ( ? x ) ? 1 1 ? f ( x)

.所以g(x) 是奇函

数.

说明 :以抽象函数为主线的问题:与 抽 象函数相关 的值域、定义域、单调性、周期性、图象的对称性及 与不等式、方程根的综合.在学习中要对抽象函数的规 律性知识进行总结.如: (1)常见的抽象函数所对应的具体函数; (2)抽象函数的点(轴)对称问题; (3)抽象函数的周期问题; (4)自对称与互对称问题等. 因为抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背 景,所以在掌握相关函数知识的基础上,往往需要综 合运用函数、方程、不等式的性质及数学思想方法, 挖掘隐含条件,寻找解题的突破口。

例4、 设函数 f(x)=ex- e-x

(1)证明:f ( x) 的导数 f ?( x) ? 2; (2)若对所有 x ? 0 都有f ( x) ? ax ,求a的取值范围. 说明:本例是函数与不等式、导数交汇的问题.它 体现了函数的性质、均值不等式等知识与导数的基 本性质的应用,对提升学生综合分析、推理论证的 能力是很有价值的问题.

a 例5、已知 An (an , bn )(n ? N*)是曲线y=ex上的点,1 ? a, Sn 是数列 {an } 的前n项和,且满足 2 2 Sn ? 3n2an ? Sn?1, an ? 0, n ? 2,3,4?.
? bn? 2 ? (1)证明:数列 ? b ? (n ? 2) 是常数数列; ? n ?

(2)确定a的取值集合M,使 a ? M 时,数列 {an } 是单调递增数列; (3)证明:当 a ? M 时,弦 An An?1 (n ? N*) 的斜率 随n单调递增. 说明:本例(07湖南卷理)是函数与数列、导数的

的综合.函数图象和性质的主导作用以及导数的工具
性功能更加突出.

1 3 f ( x) ? ax ? bx 2 ? (2 ? b) x ? 1在x ? x1 例6、已知函数 3

处取得极大值,在
0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 (1)证明: a ? 0;

x ? x2 处取得极小值,且

(2)求 z ? a ? 2b 的取值范围. 说明 本例是函数与解析几何、导数、线性规划 交汇的问题.

(2)高中数学课程内容主线——几何 几何是高中数学教学的一条主线,整体 考察中学几何研究的图形可分为两类,一类 是直边或直面图形,例如,直线,由直线围 成的三角形,由平面围成的四面体、长方体 等;另一类是曲边或曲面图形。 中学几何研究图形的方法主要有:综合 几何的方法,解析法,向量几何的方法,函 数的方法等。

案例5
通过圆锥曲线定义在问题探究过程的

联系综合的作用进行教学的整体化设计。

1、利用圆锥曲线的定义进行判断

2、利用圆锥曲线的定义求轨迹

3、利用圆锥曲线的定义求量值

n

4、利用圆锥曲线的定义判定某些位置关系

5、利用圆锥曲线的定义探究某些几何性质

6、利用圆锥曲线的定义解决立体几何中的问题

(3)高中数学课程内容主线——运算
“运算” 几乎渗透到数学的每一个角落, 运算是贯穿数学的基本脉络,是贯穿数学课 程的主线,在高中数学课程中,发挥着不可 替代的作用。 运算是数学学习的一个基本内容。运算对 象的不断扩展是数学教学的一条重要线索。 从数的运算到字母运算,是运算的一次跳跃。 从数的运算,到向量运算,是认识运算的又 一次跳跃。在教学中要引导学生体会数学运 算的意义以及运算在建构数学系统中的作用。

(4)高中数学课程内容主线——算法 高中数学教学要从全局的角度,将算法的 思想,即程序化的思想,融入相关数学内容中

去,充分体现“算法”的工具性和教育性。

案 例6
提高数学运算能力的整体教学设计

一、对中学数学运算的认识
运算能力是最基础又是应用最广的一种能力, 高考中的运算问题成了不少考生升学的拦路虎.毫 不夸张地说,考生高考 “成也运算,败也运算”. 1、从学生学习的内环境来看导致学生运算能力 较差的成因 (1)学法问题: 不注重知识积累,不重视“四基”,缺乏对数 学思想方法的归纳、反思和总结的方法与习惯.

(2)学习过程有误区:
① 概念模糊不清,因概念模糊而运算失误。 ② 公式、性质记忆不准确或不明算理,机械 套用,出现失误. ③ 数据处理能力(计算、排序、筛选、分类 讨论等)差,引发失误. ④ 数学语言不过关,导致阅读习惯差,阅读 能力差, 书写不规范,表达出现失误. ⑤ 代数恒等变形常规方法不熟练,运算失误. ⑥ 识别、驾奴图表的能力差,读图失误.

⑦ 算法意识差,算理不清,运算过程中缺乏 选择合理、简洁的运算途径的意识,运算 过程繁琐 ,缺乏检验、反思 、总结的意 识,存在算理误区. ⑧ 审题不仔细,不顾运算目标,进行盲目的 推理演算,出现推理失误. ⑨ 运算习惯差,急于求成,粗枝大叶,心里 想的和手上写的不一致,形成习惯误区. ⑩ 从“不喜欢”到“害怕”到“恐惧”的运 算悲剧,逐步形成学生的心理误区.

2、运算能力解析 “运算能力:会根据法则、公式进行正 确运算、变形和数据处理;能根据问题的 条件和目标,寻找与设计合理、简洁的运 算途径”;“在实施运算过程中遇到障碍 而调整运算的能力以及实施运算和计算的 技能”。

(1)运算能力,即计算技能和运算思想。 在计算技能方面: ① 正确识记计算公式、计算法则,并能准确的运 用公式 和法则进行计算。 ② 正确应用概念、性质、定理进行有关的计算。 ③ 准确、迅速、合理的进行各种数学计算(数、式、方 程 、函数、指数、对数、三角函数、不等式、复数、向量等)。 ④ 能否进行各种查表和使用计算器计算。 在运算思想方面: ① 使用公式、法则的流程合理。 ② 运算方法和运算过程合理、简捷。 ③ 对自己的运算结果有进行检查和判断的依据和方法。 ④ 有自我改正运算中的各类错误的意识。 ⑤ 有简化运算过程的策略和思想。 ⑥ 有一定心算、速算、估算能力。 ⑦ 有边推理边计算的习惯。

二、算法与算理
1、算法、算理的课程形态 (1)高中新课程增加了算法专题。 高中新课程标准指出“算法是数学及其应用的重要组成部 分,是计算科学的重要基础.随着现代信息技术飞速发展,算 法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融 入社会生活的许多方面,算法思想已经成为现代人应具备的一 种数学素养.??体会算法的基本思想以及算法的重要性和有 效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能 力.?..将算法思想贯穿高中数学课程的相关部分.” (高中 新课程标准) (2)全国各地高考把算法、算理的考查提升到理性高度。 “多考一点想,少考一点算的内核—多考算法,算理” 教学 中教师必须加强对学生算法意识的训练.

2、“多思即能少算”贯穿新高考全卷 高考试卷中对能力的考查关注了“多考点想,少 考点算”的设计意图,同时,这也是对考生能力要求 的一个方面。 如:已知两定点 A(?2,0) , B(1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 . 分析 建立平面直角坐标系,就很容易求出这个圆 的方程,问题即可解决.但若能联想课本相关习题,即 x 可知道这是著名的轨迹模型——阿波罗尼斯圆.在此基 O(0,0) , D(4,0) 础上继续思考 ,发现 轴上的点 OD 在该圆上,同时由对称 性可知 是圆的直径 ,作为填空 题即可迅速获解。

(1)算法:就是运算的处方(美:林恩·阿

瑟·斯蒂恩),也就是根据数学问题的情境,在将
问题分析清楚的基础上,找到解决问题的具体步骤, 这一组步骤称为算法. 算法特点:算法一方面具有具体化、程序化、 机械化的特点,同时又有抽象性、概括性和精确性.

对于一个具体的算法而言,从算法分析到算法语言
的实现,任何一个疏漏或错误都将导致算法的失败.

算法是思维的条理化、逻辑化.

完成一个数学问题的算法有两个方面: ① 算法设计是根据算理进行数学模型加工的一个过程,直到将 所给计算模型加工成所求的解,这是一个化繁为简的过程; ② 算法实现是根据算法设计进行调用的过程,这是一个以简驭
繁的过程.举例2003年解析几何算法设计与算法实现。

分析:本题高考均分极低!很多学生考后说,面对此题无 从下手. 此题果真就这样难吗?让我们回顾一下高考场内完美 解决了此题的同学谈的解题感受: 首先,这个问题虽然不好下手,但从已知条件看, 它不是 单纯的代数问题、不是立体几何问题,肯定是解析几何问题。 其次, 既然这是解析几何问题, 那就应该在坐标系环境下 求解, 因此要建立恰当的坐标系。 第三, 给出的图形的对称性, 有助于建立坐标系, 不妨如 下图建系。
y D F P G A O B C E x

第四, 不妨回到问题中来: 结论需要我们做什么呢?若存 在两个定点使P到这两点的距离的和为定值的话,点P的轨迹不 就是椭圆吗?因此问题的核心是求点P的轨迹方程。 第五,根据前面五点可知,只需建立直线OF 和GE 的方程, 用交轨法解决即可. 从以上感受中,我们看到了该生思维过程中算法思想的影 子.我们不妨用算法的框图来描述解决此问题的思维过程和逻辑 关系。
y D F P G A O B C E x

开始 问题的信息输入:这是解析几何问题,需建立坐标系

根据图形的对称性建立恰当的坐标系

设置点A、B、C、D、E、F、G、、O的坐标

建立直线OF和GE的方程,用交轨法求点P的轨迹方程

根据点P的轨迹方程判断点P的存在性

结束

事实上,上述框图中的前三步应该容易想到,并且有了前 三步,想到第四步及以后的步骤就比较自然了. 解:如图建立直角坐标系,按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a), D(-2,4a).
BE CF DG 设 ? ? ? k (0 ? k ? 1). BC CD DA 由此有E (2,4ak), F (2 ? 4k ,4a ), G (?2,4a ? 4ak). 直线OF的方程为2ax ? (2k ? 1) ? 0, 直线GE的方程为 ? a (2k ? 1) x ? y ? 2a ? 0.
y D F P G A C E

?1? ? 2?

x O
B

?2 从?1?, ? 消去参数k , 得点P ( x, y )坐标满足方程2a 2 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0, x 2 ( y ? a) 2 整理得 ? ? 1. 2 1 a 2 1 当a 2 ? 时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点 . 2 1 2 当a ? 时,点P的轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的 和为定长. 2

1 1 1 2 2 时,点到椭圆两个焦点 ? ( ? a 2 , a)( ? a 2 , a)的距离之和为定值 2 . 2 2 2 1 1 1 2 2 2 当a 2 ? 时,点到椭圆两个焦点 0, a ? a 2 ? )(0, a ? a 2 ? )的距离之和为定值2a. ( 2 2 2
2 当a 2 ?

(2)算理:算理就是运算的依据, 主要指运算性质、法则及 方法、技巧等. 算理确保每一运算步骤的合理性、整体运算的 准确性、深刻性和灵活性. 对于算法而言,一步一步的程序化 步骤,是“算理”的表现.“算理”是“算法”的基础,“算法” 确保运算的熟练性。

分析:本题在常见恒成立问题模式上有所创新(由求解参数变为 求参数的最值).学生的思维品质层次体现在算法的优劣, 其本 质体现在对问题中数学 信息的驾驭和把握. 算法一:算法关注点在二次函数的图象和性质:小题大做

算法二:算法关注点在二次不等式进行参数分离:小题大做

三、运算能力的基本要素:合理性、准确性、 熟练性、简捷性

中学对运算能力的考查,不仅包括对数的运算,还包括对式 的运算,兼顾对算理和逻辑推理的考查。对考生运算能力的考查 主要是以含字母的式的运算为主,包括数字的计算、代数式和某 些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、恒等变形、 数列的计算、求导运算、概率计算、向量运算和几何图形中的计 算等.运算结果具有存在性、确定性和最简性.

(1)运算的合理性.运算的合理性是运算能力的核心. 运算的合理性表现在运算要符合算理,运算过程中的每一步 变形都要有依据,或依据概念,或依据公式,或依据法则,可以 说运算的每一步变形都是演绎法的体现,运算能力的考查中包括 了对思维能力的要求以及对思维品质(如思维的灵活性、敏捷性、 深刻性)的考查.运算的目标,变形的方向,运算的路径,它们 之间是密切相关的.要从运算的目标出发,研究变形方向,最终 产生判断,确定运算路径.这一系列的活动都是运算过程中的思 维活动,是运算合理性的表现.

本题的解答是一种返璞归真的解答, 式中的各个未知数都可 解出其可能的取值, 结果组合可以取到ab+bc+ca的最小值,本题 提醒我们不要片面追求解题套路和技巧. 在解题中出现了取不到 最小值的情况和各种各样的误解。

(C)引入三个辅助角可得 (ab ? bc ? ca)min ? ?1 ? 2

①算理分析. 以上错解的根源都是一致的, 即没有注意到其中的“=”成立

的条件, 其中的不等号是成立的,但等号并不一定成立, 即错解中的最小值都 是取不到的.这就警示我们在解题时要具体问题具体分析,在代数变形过程中 要注意题目的条件和所应用的公式、定理成立的条件。
②运算的合理性表现在运算目标的确定. 运算的目的是要得到化简的数值 结果或代数式等,有时还是完成推理和判断的工具.对一些比较直接、简单的 运算目标一般比较容易把握,但对一些比较复杂的运算目标,需要经过多步运 算才能得到最后结果.

③运算的合理性还表现在运算途径的选择. 合理选择运算途径不仅是迅速 运算的需要,也是运算准确性的保证,运算的步骤越多,越繁琐,出错的可能 性也就越大.因而,根据问题的不同条件和特点,合理选择运算途径是提高运 算能力的关键.灵活地运用公式、法则和有关的运算律,掌握同一个问题的多 种运算方法和途径,善于通过观察、分析、比较,将有助于作出合理的选择.

四、培养运算能力的整体化设计的建议
1、关注发展运算能力的阶段性
(1)从理解到形成运算技能的阶段
这一阶段要完成从知识到技能的过渡,核心是准确理解有关知识,熟练 有关运算的方法、步骤.要本着“先慢后快”,“先模仿后创新”的原则,开 始时,运算步骤不宜跳跃. 每一步运算的依据必须明确、清晰, 运算过程的 表述必须规范、条理, 训练时, 不仅要注意适当的数量,还要注意一定的层 次。这就要求教师能够根据不同运算的不同特点, 不同学生的不同水平,因 材施教,分层递进。

(2)从运算技能上升到运算能力的阶段
教学实践表明,随着运算技能的形成,逐渐简化运算步骤, 灵活运用运算 法则、公式是从技能向能力过渡的开端。培养运算能力的中心环节, 是培养 学生运算的目标意识(清楚理解运算的目标),目标意识的培养,要落到算理、 运算途径的判断、选择、设计及相关的字母和代数式的运算的过程中,引导学 生充分认识实施运算的途径的多样性,培养学生合理选择简捷运算途径的意 识和习惯。

3)在建模、算理、算法的应用中,提高运算能力的阶段
技能和能力的形成与发展,必须在应用中,才能得到巩固、发展和深化, 在应用的过程中,要引导学生体会运算的工具性和运算过程的思维性。让学 生充分认识到运算的目标不一定是追求一个简化的结果,而要为一定的推理、 演绎、判断服务,在应用中,对于从问题的产生,运算目标的确定,运算种 类的选择,运算技能的发挥到各种运算的配合,是具有综合性要求的。 发展运算能力的三个阶段是相辅相成的,不存在时空上明显的界限,它 们是交叉进行,互相促进的。

2、培养运算能力的心理学依据
现代认知心理学把知识区分为陈述性知识和程序性知识。进一步的, 认 知心理学家认为, 思维技能或认知策略属于程序性知识范畴, 这类知识被称 为“有控制的程序性知识”。这样的知识在运用时具有运行速度慢、有顺序、 能有意识地监控、能准确表述等特点。 因此,在发展学生的运算能力过程中, 教师应当注意:要以相应的知识 为载体, 使学生理解有关知识、熟悉运算程序;经过一定量的、有层次的、 按部就班的训练以后, 逐渐要求学生简化运算步骤,灵活运用公式、法则, 以培养学生的运算策略。

对常规运算能力的培养,应按行为主义心理学的“刺激、 同化、顺应”程序加强形式化训练, 循序渐进,让学生对 常规运算方法熟能生巧,最好能达到“自动化”程度,从 “思路会、算不对”的阴影中走出来——由懂(算法算理)

到会(算),由会到对,由对到熟,由熟到变,由变到通,
由通到用.

(二)培养学生的运算能力要依托教学的整体设计
培养学生的运算能力,要落实到教学的全过程,加强运算教学力度,引导 学生归纳总结运算的基本方法, 同时促进学生建构并完善基础知识系统, 使 基础知识和基本方法熟练化和系统化, 使学生对运算由懂到会, 由会到对, 由对到熟, 由熟到变, 由变到通。 1、打牢基础,完善知识和方法体系(不能留漏洞,留死角) 2、教师的教学不能局限在数学的知识和方法上,要优化认知结构 3、强化自主学习,优化学习行为 ?重视学习过程的指导,持续优化学习行为。 ?重视知识系统化的心理操作,熟练到自动化程度。 标志:定义,概念理解准确无误。公式记忆准确无误。定理,法则应用准 确无误。思想,方法灵活应用。 ?构建和完善数学思想方法体系,构建观念指导下的学习行为系统。 4、立足课堂,强化运算教学的联系性与综合性(尤其是算法和算理) ① 教师示范——揭示算法,算理,培养步步有据的习惯。 ② 通过反馈、讲评、改进,强化作业,训练和考试对运算能力的培养。 ③ 加强数学阅读教学与审题教学。

④ 加强学法指导:导——悟。加强运算中的数学思想方法 的积累,归纳与总结。 学生不要一味算题,即使算过很多题, 如果没有真正掌握 其中所蕴涵的数学思想和数学方法,以后碰到相同或相似的题 时,仍然不会做。因此,要掌握好知识,须深入挖掘题目中的

思想和方法,概括出某一类题的解题方法,归纳总结算法、算
理,才能从容应对新的问题。切莫动脑不动手,动手不动脑。教 学中要引导学生重视总结例题和习题中的算法。培养“做10道

题会解100道题”的能力。

⑤ 强化数学思想方法与运算的整合

要重视“多思少算”的原则。2003年社会各界普遍反映高
考数学试题的运算量过大,但是仔细研讨试题即会发现:运算 量过大并非考试本身所导,是系解题方法不当和学生算法意识

差所致。数学思想方法作为数学的精髓,历来是高考数学考察
的重中之中(一种见解认为它隶属于基础知识)在2003年的高 考选择题中有许多可以借助特殊淘汰或验证、构造等方法迅速

作答;应用数形结合的思想方法也可以得到许多考题的简便解
法。任子朝认为突出方法永远是高考试题的特点,对数学思想 方法要求较高的运算,应注重学生对运算过程和算法算理的充 分体验。 ⑥将运算能力的培养渗透到教学过程的每一个环节

5、根据运算对象的扩充,开设运算专题,热点问 题重点突破 ① 递推数列

② 向量方程(不等式):空间,平面
③ 合情推理与估算??——局部突破整体

④ 不等式恒成立——导数背景。 ⑤ 强化常规运算与常规能力的整合:解析几何中回归定义, 借助平几, 设而不求, 合理引参, 整体代换。立体几何位置关 系与数量关系的熟练转化等。 ⑥ 加强代数推理, 数学三大能力之一逻辑运算离不开运算, 尤其是数量方面的推理,要准确推理离不开准确的运算, 所以 运算是推理的基础 . ⑦ 利用数学思想方法明晰算理简化运算

⑧ 从模仿到创造。 我们要处理好记忆与理解、定势与发散、条件反射与自动化, 模仿与创新的关系。合理建立知识模板和方法模板。 6、加强心理辅导和心理调节,培养运算习惯。 调查发现:很多学生往往具备一定的解决数学问题的知识 储备和技能,但常常由于某些心理因素导致运算失误.如看错题 设、潜意识增加条件或假设、书写丢三落四、慌乱急噪、紧张 焦虑、粗心大意等非智力因素造成过失性失误. (1)培养运算信心:使学生敢于动手 学数学就像游泳,不下水是学不会的.要通过教学设计,使 学生动手,引导他们从一些简单题入手, 不断提高运算的速度、 准确性, 让每个学生相信“只要基础扎实, 基本功熟练”就不 怕运算, 在平时的教学中, 要有意识地培养学生积极的态度, 良好的心态, 锲而不舍的精神, 吃苦耐劳的意志品质, 让学生 树立战胜运算困难的信心, 让学生感受到只要积极面对,就能 享受到运算的乐趣。

(2)激励学生培养耐心 如:要解决2012江苏高考试卷第19题,除了需要较强的 思维能力,解题能力,还需要运算的耐心。

鼓励学生坚持到最后一步,教师应做一个善 于算,敢于算的人, 着重算的过程, 让学生充 分体验成功的喜悦。学生缺乏耐心就意味着放 弃,缺乏信心就意味着与成功无缘。对很多学 生而言, 运算问题是一听就懂,一算就错,有学 生深有体会的说“难题”=“懒算题”或者是思 路会,算不对。事实上众多成功学子的经验表 明,只要冷静,有耐心和信心,驾驭复杂运算 并非是难事。从“不可能”到“可能”只有一 条道——科学而又耐心地运算.

(3)关注细节优化运算习惯。引导学生 建立“细节决定成败”的观念,关注运算细 节,改进运算习惯. 加强心算能力训练,口算心算促笔算, 要求学生做到:关注细节勤过手,表达书写 要规范. 挖掘估算的教学资源,加强估算的教学 与实践,创设良好的估算平台,培养学生的 估算意识、估算能力.

(5)高中数学课程内容主线——统计概率
收集数据、整理数据、分析数据、从数据中提取 有用信息、利用数据中的信息说明问题等等,这些已 经成为人们的基本素质和能力。现在中小学的课程中 统计概率的内容大大的增加, 这已经成为国际中小学 数学课程发展的趋势。 整体审视高中统计与概率的教学, 我们应采用案例 的教学方式, 通过统计案例的学习, 引导学生经历统计 所具有的带有随机特点的归纳思维过程, 引导学生学 习统计中的随机思想, 学习统计思维的方式,培养学 生数据处理的能力。

3、整体把握数学教学过程设计的几个策略 (1)练习的巩固性 以下5个题,“形异质同”均为求范围问 题,具有“通性通法”放在一起进行练习,可 以巩固和加深对求范围问题的理解。

案例7 2012年江苏靖江高级中学三月份调 研试卷(节选) (1)已知集合 A ? [1,4), B ? (??, a], 若 A ? B, 则 实数 a 的取值范围是 .

(2)已知在等差数列 {an } 中,满足a1 ? ?11,7a11

?9a3 ? 0, 则该数列前 n 项和 S 的最小值 n
是 .

(7)方程 x3 ? 12 x ? a ? 0 有三个不同的实数根,

?x ? y ? 2 ? 0 ? , (9)动点 P (a , b) 在不等式组 ? x ? y ? 0 ?y ? 0 ?
表示的平面区域内部及其边界上运动, 则
n

则实数 a 的取值范围是

.

(10)对一切实数 x, 不等式 x2 ? a | x | ?1 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 .

b?2 的取值范围是 ?? a ?1

.

(2)思想的递进性
案例 运算思想及其它数学思想方法随运

算对象的丰富而呈现出递进性。

(3)方法的拓展性 案例8 (苏教版选修2-2 2.1.2 例2)已知

a, b, m 均为正实数, ? a ,求证:b ? b ? m . b
a a?m

(4)认知的循环性
案例9 函数概念的学习。

案例10 数学思想方法在不断应用的过程
中,经过数学认知的循环往复,数学思想方

法就会掌握的越来越好。
案例11 数学活动经验。

(5)知识的联系性与化归转化思想 案例12 已知正数a , b, c 满足5c ? 3a ? b ? 4c ? a , b c ln b ? a ? c ln c, 则 的取值范围是 . a 分析:条件 5c ? 3a ? b ? 4c ? a,

c ln b ? a ? c ln c, ? 3 ? a ? b ? 5 ? c c 可化为: ? ?a b ? ? ?4 . ?c c a ?b ? ec ? ?c

a b 设 ? x , y ? , 则问题转化为: c c
已知 x , y 满足 ? 3 x ? y ? 5

?x ? y ? 4 ? , ? x ?y ? e ? x ? 0, y ? 0 ?
.

y 则 的取值范围 x

y ? y0 ? e ( x ? x0 ), x0 ? 0 ? y0 ? e (0 ? x0 ) ? 则? x0 ? y0 ? e ? 由此解得 x0 ? 1. y ? 的最小值在 P (1, e ) x 处取得,即为 e .
x0

作出( x , y ) 所在平面区域(如图), 设过切点 P( x0 , y0 ) 的切线为

此时,点P( x0 , y0 ) 在 y ? e 上 A, B 之间. 当 ( x, y ) 对应点 C 时,
x

?y ? 4? x ?5 y ? 20 ? 5 x ?? ? 12 ? y ? 5 ? 3 x ?4 y ? 20 ?y x ? y ? 7 x ? ? 7, y ? 在 C 处取得最大值7. x x y b ? 的取值范围为[e , 7], 即 的取 x a 值范围是 [e , 7].

说明 本题主要考查将问题中不等式的 关系转化为我们熟悉的线性规划问题的 化归、转化意识和能力 . 其关键在于不 等式的等价变形和转化的合理性.

(6)思维的综合性
案例13 (2010湖南理20)为了考察冰川的融 化状况,一支科考队在某冰川上相距8km的 A,B 两点各建一个考察基地. 视冰川面为平面形,以过A,B 两点的直线为x轴, 线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系 (图6).在直线 x=2 的右侧,考察范围为到点B的距离不超过 6 5 km的区域;在直线 x=2 的左侧,考察范围 5 为到A,B两点的距离之和不超过 4 5 km的区域.

(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程; (Ⅱ)如图6所示,设线段P1P2、P2P3是冰 川的部分边界线(不考虑其他边界),当 冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝 考察区域平行移动, 第一年移动0.2km, 以后每年移动的距离 为前一年的2倍,求冰 川边界线移动到考察 区域所需的最短时间.

分析 (Ⅰ) 根据所给已知条件直接建 立等式求轨迹; (Ⅱ) 求直线与椭圆之间的最短距离. 【解题过程】(Ⅰ) 设边界曲线上点P 的 坐标为 , y ). (x 36 2 2 当 x ? 2 时, 由题意知 ( x ? 4) ? y ? . 5 当 x ? 2 时, 由 | PA | ? | PB |? 4 5 知,点 P 在以 A, B 为焦点,长轴长为 2a ? 4 5 的椭圆上.此时短半轴长b ? (2 5)2 ? 42 ? 2. x2 y2 因而其方程为 ? ? 1.
20 4

故考察区域边界曲线(如图)的方程为
36 C1 : ( x ? 4) ? y ? ( x ? 2) 和 5 2 2 x y C2 : ? ? 1( x ? 2). 20 4
2 2

(Ⅱ) 设过点 P1 , P2 的直线为 l1 , 过点 P2 , P3 的直线为 l2 , 则直线 l1 , l2 的方程分别为 y ? 3 x ? 14, y ? 6. 设直线 l 平行于直线 l1 , 其方程为 2 2

y ? 3 x ? m , 代入椭圆方程
2

x y ? ? 1. 20 4

消去 y, 得 16 x ? 10 3 x ? 5( m ? 4) ? 0.
2



? ? 100 ? 3m 2 ? 4 ? 16 ? 5( m 2 ? 4) ? 0,

解得 m ? 8, 或 m ? ?8.

(7)结构的合理性促认知结构的优化 案例14 通过一题多解、多题一解或阶段 性小结,不断调整知识结构、方法结构、思 想结构,以此优化学生的认知结构。

二、高中数学教学的开放性设计
1、教学目标设计的开放性。 它体现在教学目标的设计要与时俱进,螺 旋式上升。 案例15 函数概念的教学设计。

2、开放性数学课堂教学结构的设计。

开放性课堂教学的关键是教师要不断强 化开放式教学理念,尤其要在开放式课堂教 学的设计上下功夫。 开放性数学课堂教学设计,要通过多方 面的设计来体现其开放性。我们在进行教学 目标设计的同时, 不仅重视教师活动的设计, 更重视学生活动的设计。

(1)教师活动的设计 注重教学方法的开放性。教师应树立积 极探索创新的精神,应对旧有的知识不断挖 掘,重新体会教材内容结构,自觉进行教学 理念的更新与教学方法的革新,以开拓进取 的观念抛弃那种封闭的、因循守旧的思维模 式,在实践中不断探索和总结教学规律。

(2)学生活动的设计
要设计好学生的活动,就必须了解学生现有的知 识背景和思维水平,了解学生个体之间的智力、个性 差异以及他们之间的伙伴关系。在开放式教学中,合 理搭配学生,组织学生协作小组,使学生活动有效。 在开放性课堂教学活动的设计中,教师可根据教 学内容有针对性地选择某活动方式,使学生活动更具 开放性。例如:我们可以对一些理解性内容, 让学生观 察、思考、讨论后口答,学生自由发言,相互补充修 正;对一些比较直观的内容,可以让学生在动手操作 体会之后,再要求学生用数学语言来描述;对一些综 合性较强的内容,可先让学生独立探索,然后小组讨 论,最后各组推选一名代表在全班汇报讲解。

案例16 让学生展示,开放学生的言论时空。 案例17 可让学习小组合作准备,推举一名 代表来主讲; 案例18 在学完某一章或某一个内容之后,可 以用专题研究的形式让学生来主讲。 案例19 可就某一个问题, 让学生各抒已见 。

3、开放性数学课堂教学内容的设计
数学课堂教学内容结构的开放,体现在 当前教学内容结构的承上启下或安放可持续 的学习接口,还体现在与其它章节的联系性、 与其它模块的联系性、与其它学科的联系性。

4、引入新课的开放性问题的设计
在实际教学中, 首先要创设一种问题情景, “启其心 扉”, 使学生处在“心求通而未得,口欲言而不能”的 境地, 然后启发学生回忆、联想, 从已经掌握的知识或 经验积累中, 寻找可借鉴的方法或思路来进行尝试, 使 问题得以顺利解决。 开放性问题的设计,从内容上看,不能脱离学生 已有的知识基础,不能脱离教材和课程标准,应遵循 课程标准的要求,与课本相协调。教师应深入钻研课 程标准与教材,精心设计教学程序,在引入新课时将 封闭的概念、公式、法则进行逐层分解,围绕教学内 容设计出一些开放性问题,让学生来探索,使每个学 生都能积极参与,以克服数学学习内容枯燥单调的弱 点,提高教学效率。

5、开放性的作业的设计
实施开放性教学,教师可通过设计开放 性作业,启发引导学生并调控学生的学习活 动。 开放性应用问题需要人们去发现或假定。 (1)设计开放性应用问题的作业。在平时 的教学中可以给学生留一些开放性应用问题 作业,不必限制时间,也不必要求个人独立 完成,允许学生请教别人或查阅资料。

案例20 问题的已知条件开放、隐 蔽或不完备 。

n

n , a ,??, a a1 2 n

a1 , a2 ,??, an

6、例题设计的开放化
布鲁纳提倡发现学习, 他认为“发现并不 限于寻求人类尚未知晓的事物。确切地说, 它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方 法。”在数学教学的解题教学中, 开放型问 题对于培养和考查学生的思维能力与创新能 力具有重要的作用,因而经常出现。开放型 问题可以简单归纳如下:①条件开放题。这 类开放题的结论明确,要求的是使结论成立 的条件,解决这类问题的方法一般是从结论 入手, 逆推其条件, 其解题过程类似于分析法。

② 结论开放题。这类开放题条件明确, 需要求的是相应的结论,根据所求结论情况 又可以分成以下几种类型:

案例21 2012年高考数学(山东)第21题(理)

试题欣赏

本题采用了开放性的设问方式和对新定义的 阅读和理解以及应用,创新意识的考查,注重 对未来继续学习的能力考查.

案例22 2012年高考数学(湖北B卷) 第21题(理)

解法赏析 开放型试题一定要注意其存在性,否则容易 出现错误.

③解题策略开放题。设计使一个人很难 穷尽所有的答案和解题策略,没有现成解题 模式可套用,而又需要学生用创造性策略去 求解的问题,促进学生仁者见仁,智者见智, 形成既有个人的独立思考和积极探索,又有 学生之间、师生之间群体互动的学习与探究 的局面。

综上所述,开放性课堂教学设计,一方 面要通过对教与学的活动进行设计,使课堂 教学为学生创设一个思想见解、情感体验、 意志欲望、行为方式受到尊重,有利于群体 交流的开放的活动环境,通过合作讨论,为 学生创造暴露思维过程的空间;另一方面要 在问题设计和讨论时,保持开放状态,给学 生创新思维提供更广阔的数学天地,使学生 得到更充分的发展。

谢谢


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