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辽宁省五校协作体2014届高三上学期期初考试数学(理)试题

辽宁省五校协作体 2014 届高三上学期期初考试数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1、已知集合 M ? ? x A、 ? 2、已知复数 z ?

? x2 y2 ? ? x y ? ? ? 1? , N ? ? y ? ? 1? ,则 M ? N ? 4 ? 3 2 ? ? 9 ? B、 ?(3,0), (2,0)? C、 [?3,3] D、 ?3,2?





i 2013 ,则复数 z 在复平面内对应的点位于 1? i





A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍。为了解 职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工 人数为( )

A、9 C、27

B、18 D、36

4、已知 {a n } 为等比数列,若 a 4 ? a6 ? 10 , 则 a1 a 7 ? 2a3 a 7 ? a3 a9 ? ( A、10 B、20 ) C、60 D、100

5、右图的算法中,若输入 A=192,B=22,输出的是( A、0 B、1 C、2

) D、4

6、把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下,第二次抛出的也是偶数点的概率为 ( )

1 2 ? 3? 7 、 给 定 命 题 p : 函 数 y ? sin( 2 x ? ) 和 函 数 y ? cos(2 x ? ) 的图象关于原点对称;命题 q :当 4 4
A、 B、 C、 D、

1 6

1 4

1 3

x ? k? ?

?

2

, (k ? Z ) 时,函数 y ? 2 (sin 2 x ? cos 2 x) 取得极小值.下列说法正确的是





A、 p ? q 是假命题 B、 ?p ? q 是假命题 C、 p ? q 是真命题 D、 ?p ? q 是真命题 8、半径为 1 的球面上的四点 A,B,C,D 是正四面体的顶点,则 A 与 B 两点间的球面距离为(
页 1第



A、 arccos(? 9、函数 f ? x ? ? e

3 ) 3
? ?x4

B、 arccos(?

6 ) 3

C、 arccos(? )

1 4

D、 arccos(? ) ( )

1 3

的部分图象大致是

10、集合 P ? ?0,2,4,6,8? , Q ? m m ? 100a1 ? 10a 2 ? a3 , a1 , a 2 , a3 ? P ,将集合 Q 中的所有元素排成一个 递增数列,则此数列第 68 项是 A、464 B、466 ( C、468 D、666 )

?

?

11、已知函数 f (x)的定义域为 [?2,??) ,且 f (4) ? f (?2) ? 1 ,
f ?( x)为f ( x) 的导函数,函数 y ? f ?(x) 的图象如图所示.则

a?0 ? ? b?0 平面区域 ? 所围成的面积是( ? f ( 2a ? b) ? 1 ?
A、2 B、3



C、4

D、5

12、如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2AD,设 ?DAB ? ? , ? ? 0, ) ,以 A,B 为焦点 (

?

2

且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 ,则( A、随着角度 ? 的增大, e1 增大, e1e2 为定值 B、随着角度 ? 的增大, e1 减小, e1e2 为定值 C、随着角度 ? 的增大, e1 增大, e1e2 也增大



D、随着角度 ? 的增大, e1 减小, e1e2 也减小 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13、已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? ), p (? ? 3) ? 0.8413, 则P (? ? 1) =
2

。.

14、若一个几何体的三视图如图所示, 则此几何体的体积为 . 15、已知 ? ? {( x, y ) || x |? 1,| y |? 1} , A 是曲线 y ? x 与 y ? x 2 围成的区域,
2
1

若在区域 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为__________。 16、点 P ? x, y ? 在函数 y ? 3 1 ?

x2 的图象上运动,则 2x﹣y 的最大值与最小值之比为 4



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、18、19、20、 21 每题 12 分,22、23、24 每题 10 分。
页 2第

17、已知 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,向量 m ? (sin A ? sin B, sin C ) , 向量 n ? ( 2 sin A ? sin C , sin A ? sin B) ,m//n 共线. (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 sin A ?

3 ,求 cos C 的值. 5

18、某大学高等数学老师上学期分别采用了 A, B 两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进行教改试 验(两个班人数均为 60 人,入学数学平均分数和优秀率都相同;勤奋程度和自觉性都一样) 。现随机抽取 甲、乙两班各 20 名同学的上学期数学期末考试成绩,得到茎叶图如下: 甲 2 66321 83221 98776 9988 乙 01568 01256689 368 5799

9 8 7 6 5

(Ⅰ) 从乙班这 20 名同学中随机抽取两名高等数学成绩不得低于 85 分的同学, 求成绩为 90 分的同学被抽 中的概率; (Ⅱ)学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,请填写下面的 2 ? 2 列联表,并判断“能否在犯错误的概率不 超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?” 甲班 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考: 乙班 合计

P( K 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K ?

n(ad ? bc) 2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(Ⅲ)从乙班高等数学成绩不低于 85 分的同学中抽取 2 人,成绩不低于 90 分的同学得奖金 100 元,否则 得奖金 50 元,记 ? 为这 2 人所得的总奖金,求 ? 的分布列和数学期望。 望。

19、 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为梯形, ?DAB ? 60? , AB ∥ CD , AD ? CD ? 2 AB ? 2 , PD ? 底面 ABCD , M 为 PC 的中点. (Ⅰ)证明: BD ? PC ; (Ⅱ)若 PD ?

2 AD ,求二面角 D ? BM ? P 的余弦值. 2
3第



20、在直角坐标系 xOy 上取两个定点 A1 (?2,0), A2 (2,0) , 再取两个动点 N 1 (0, m)、N 2 (0, n) 且 mn ? 3 . (Ⅰ)求直线 A1 N 1 与 A2 N 2 交点的轨迹 M 的方程; (II)已知 F2 (1,0) ,设直线 l : y ? kx ? m 与(I)中的轨迹 M 交于 P 、 Q 两点,直线 F2 P 、 F2 Q 的 倾斜角分别为 ?、? ,且 ? ? ? ? ? ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标. 21、函数 f ( x) ? 1 ? a ln x(a ? 0) .

1 ); x (II)在区间 (1, e) 上 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的范围; 1 (Ⅲ)当 a ? 时,求证: f (2) ? f (3) ? … ? f (n ? 1) ? 2(n ? 1 ? n ? 1) ( n ? N * ) 2
(Ⅰ)当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? 1 ? a (1 ? 请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目对应的标号涂黑. E 22、如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB, ⊙O 交直线 OB 于 E、D,连结 EC、CD. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线;
(Ⅱ)若 tan∠CED=

O D A C
第 22 题图

1 ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

B

23、在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为

? x ? ?1 ? cos ? ? 2 , ? 为参数, 0 ? ? ? ? ) ( 。 ? sin(? ? ) ? a ,曲线 C2 的参数方程为 ? 4 2 ? y ? ?1 ? sin ?
(Ⅰ)求 C1 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 C1 与 C2 有两个公共点时,求实数 a 的取值范围。 24、已知函数 f ( x) ? log 2 (| x ? 1 | ? | x ? 5 | ? a ). (Ⅰ)当 a ? 5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)当函数 f ( x) 的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围。



4第

高三期初考试数学试题(理科)

………………………………11 分
页 5第

2 5 2 E? ? 100 ? ? 150 ? ? 200 ? ? 150 (元) 9 9 9
2 2

………………………………12 分

19、解: (Ⅰ)由余弦定理得 BD ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 cos 60? ? 3 ,∴ BD 2 ? AB 2 ? AD 2 , ∴ ?ABD ? 90? , BD ? AB,? AB // DC , ∴ BD ? DC . ∵ PD ? 底 面 ABCD , BD ? 底 面

ABCD ,∴ BD ? PD .又∵ PD ? DC ? D ,∴ BD ? 平面 PDC , 又 PC ? 平面 PDC ,∴ BD ? PC .·························· 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· 6
z

P M D A B
y

C
x

(Ⅱ)已知 AB ? 1, AD ? CD ? 2 , PD ?

2 ,由(Ⅰ)可知 BD ? 平面 PDC ,

如图,以 D 为坐标原点,射线 DB 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D ? xyz ,

则 D (0,0,0), B ( 3,0,0), C (0,2,0), P (0,0, 2 ) , M (0,1,

2 ). 2

??? ? ??? ? 2 ····· ···· 8 ) , CP ? (0,?2, 2 ) , CB ? ( 3, ?2, 0) . ····· 分 DB ? ( 3, 0, 0) , DM ? (0,1, 2 ?? ??? ? ?? ?m ? DB ? 0 ? 设平面 BDM 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则 ? ?? ???? , ? ?m ? DM ? 0 ?
∴ x ? 0, y ?

2 ··········· · ·········· · 9 z ? 0 ,令 z ? 2 ,∴可取 m ? (0,?1, 2 ) . ············ 分 2 ? ??? ? ? ?n ? CP ? 0 ? 同理设平面 BMP 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? ? ??? , ? ?n ? CB ? 0 ? 2 3 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·· ,1, 2 ) . ·································· 10 分 3

∴n ? (

∴ cos ? m, n ??

1 3 13 3

?

13 13

∴二面角 D ? BM ? P 的余弦值大小为

13 . ···················· 12 分 ··········· ········· ·········· ·········· 13
6第



? 8km ? ? x ? x 2 ? 3 ? 4k 2 kx ? m kx ? m ? 1 , k F2Q ? 2 ,且 k F2 P ? 1 ………7分 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 x 2 ? 4m ? 12 ? 3 ? 4k 2 ? kx ? m kx 2 ? m ? ?0 由已知 ? ? ? ? ? ,得 k F2 P ? k F2Q ? 0 , ? 1 ……8分 x1 ? 1 x2 ? 1 化简,得 2kx1 x 2 ? (m ? k )( x1 ? x 2 ) ? 2m ? 0
代 入 , 得 2k

4m 2 ? 12 8mk (m ? k ) ? ? 2m ? 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴ 整理得 ……10 分

m ? ?4k .

∴直线 PQ 的方程为 y=k(x-4) ,因此直线 PQ 过定点,该定点的坐标为(4,0). ……12 分 21、 (Ⅰ)证明:设 ? ?x ? ? f ?x ? ? 1 ? a?1 ? 1 ? ? a ln x ? a?1 ? 1 ?, ?x ? 0? ? ? ? ?
? x? ? x?

则 ? ?? x ? ? a ? a2 ? 0 ,则 x ? 1 ,即 ? ? x ? 在 x ? 1 处取到最小值, 则 ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 , x x 即原结论成立. (Ⅱ)解: 由 f ? x ? ? x 得 a ln x ? 1 ? x 即 a ? ………3 分

x ?1 , ln x

x ?1 ln x ? x ?1 x 另 h? x ? ? ln x ? x ? 1 , h ?? x ? ? 1 ? 1 ? 0 另 g ?x ? ? , ? x ? 1? , g ?? x ? ? 2 x x x2 ln x ?ln x ?

则 h? x ? 单调递增,所以 h? x ? ? h?1? ? 0 因为 h? x ? ? 0 ,所以 g ?? x ? ? 0 ,即 g ? x ? 单调递增,则 g ? x ? 的最大值为 g ?e ? ? e ? 1 所以 a 的取值范围为 ?e ? 1,?? ? . ………7 分



7第

(亦可新建函数 y ? a ln x ? x ? 1 ,分 0 ? a ? 1,1 ? a ? e, a ? e 三种情况讨论,得到 a 的取值范围为

?e ? 1,?? ? )
(Ⅲ)证明: 由第一问得知 ln x ? 1 ?

1 x

则 ln n ? 1 ?

1 n

………9 分

则 f ?2 ? ? f ?3? ? ? ? f ?n ? 1? ?

1 ?ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln?n ? 1?? ? n 2
1 n ?1 ?n

? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 1 ? n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ?
2 3

? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 1 ? 2n ? 2? ? ??? ? ? 2n ? 2? ? ??? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2? 3 n ? n ?1 ? ?2 2 2 3 ?1? 2

? 2 n ?1? n ?1

?

?

……12 分

23、解: (Ⅰ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? (

2 2 2 sin ? ? cos ? ) ? a, 2 2 2
……………………………………4 分
2

∴曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? y ? a ? 0 .
2

(Ⅱ)曲线 C2 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1( ?1 ? y ? 0) ,为半圆弧, 如下图所示,曲线 C1 为一族平行于直线 x ? y ? 0 的直线,

当直线 C1 过点 P 时,利用

?1 ? 1 ? a 2

? 1 得 a ? ?2 ? 2 ,
B ?1

y
O

舍去 a ? ?2 ? 2 ,则 a ? ?2 ? 2 , 当直线 C1 过点 A 、 B 两点时, a ? ?1 ,

P

x

?1 A

∴由图可知,当 ?1 ? a ? ?2 ? 2 时,曲线 C1 与曲线 C2 有两个公共点. ………10 分
页 8第



9第


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