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2014年北约自主招生数学试题及解答 (完美word版)

2014 年北约自主招生数学试题
1.圆心角为 60? 的扇形面积为 6? ,求它围成的圆锥的表面积.

2.将 10 个人分成 3 组,一组 4 人,两组各 3 人,有多少种分法.

3.如果 f ( x) ? lg( x 2 ? 2ax ? a) 的值域为 R ,求 a 的取值范围.

4.设 f (

a ? 2b f (a) ? 2 f (b) ,且 f (1) ? 1, f (4) ? 7 ,求 f (2014) . )? 3 3

5.已知 x ? y ? ?1 且 x, y 都是负数,求 xy ?

1 的最值. xy

6.已知 f ( x) ? arctan

2 ? 2x 1 1 ? c 在 (? , ) 上是奇函数,求 c . 1 ? 4x 4 4

2014 年\北约自主招生·数学试题-1

7.证明 tan 3? 是无理数.

8.已知实系数二次函数 f ( x) 与 g ( x) 满足 3 f ( x) ? g ( x) ? 0 和 f ( x) ? g ( x) ? 0 都有双重实根, 如果已知 f ( x) ? 0 有两个不同的实根,求证 g ( x) ? 0 没有实根.

9. a1 , a2 ,?, a13 是等差数列, M ? {ai ? a j ? ak |1 ? i ? j ? k ? 13} ,问: 0, ,

7 16 是否可以同时在 2 3

M 中,并证明你的结论.

10.已知 x1 , x2 ,?, xn ? R? ,且 x1 x2 ? xn ? 1 ,求证: ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )?( 2 ? xn ) ? ( 2 ? 1)n .

2014 年\北约自主招生·数学试题-2

2014 年北约自主招生试题参考答案 1.【解】设扇形的半径为 r ,则由 6? ? 于是扇形的弧长为 l ?

? 6 ? 2? ,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为 1, 3 所以底面面积为 ? ? 12 ? ? ,也所以圆锥的表面积为 S ? 6? ? ? ? 7? . C 3 C 3C44 2.【解】由题知所有分组方法有 N ? 10 7 ? 2100 种. A22
3.【解】由题意 u ? x 2 ? 2ax ? a 的值域包含区间 (0, ??) ,则 u ? x 2 ? 2ax ? a 与 x 有交点, 故 ? ? (?2a)2 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? 0 .

?

1 ? 2 ? r ,得 r ? 6 . 2 3

4 ? 2 ?1 f (4) ? 2 f (1) )? ?3; 3 3 1 ? 2? 4 f ( ? 1) f 2 ( 4 ) f (n) ? 2n ? 1, n ? N * , f(3) ?f ( ?) ? ,由数学归纳法可推导得 5 3 3 所以 f (2014) ? 4027 . 5.【解】由 x ? 0, y ? 0 可知, x ? y ? ?1 ?| x ? y |? 1 ?| x | ? | y |? 1 ,
4.【解】由 f (1) ? 1, f (4) ? 7 得 f (2) ? f (

(| x | ? | y |) 2 1 1 ? ,即 xy ? (0, ] , 4 4 4 1 1 1 令 t ? xy ? (0, ] ,则易知函数 y ? t ? 在 (0,1] 上递减,所以其在 (0, ] 上递减, 4 t 4 1 1 17 于是 xy ? 有最小值 4 ? ? ,无最大值. xy 4 4 6.【解】奇函数 f (0) ? 0 ,故 c ? ? arctan 2 . 2 tan ? tan ? ? tan ? , tan(? ? ? ) ? 7.【证明】由三角公式 tan 2? ? , 2 1 ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?
所以 | xy |?| x | ? | y |? 若 tan 3? 是有理数,则 tan 6? , tan12? , tan 24? 为有理数,再由 tan 6? 和 tan 24? 可得 tan 30? 为有

3 为无理数矛盾!因此, tan 3? 是无理数. 3 8.【证】由题可设 3 f ( x) ? g ( x) ? a1 ( x ? b1 )2 , f ( x) ? g ( x) ? a2 ( x ? b2 ) 2 ,其中 a1 ? 0, a2 ? 0 , 1 1 则 f ( x) ? [a1 ( x ? b2 )2 ? a2 ( x ? b2 )2 ], g ( x) ? [a1 ( x ? b1 )2 ? 3a2 ( x ? b2 ) 2 ] , 4 4 由 f ( x) ? 0 有两个不同的实根,则必有 a1 , a2 异号,且 a1 ? a2 ? 0 , 1 此时 f ( x) ? [(a1 ? a2 ) x2 ? 2(a1b1 ? a2b2 ) x ? a1b12 ? a2b22 ] , 4 即 ? ? 4(a1b1 ? a2b2 )2 ? 4(a1 ? a2 )(a1b12 ? a2b22 ) ? ?4a1a2 (b1 ? b2 )2 ? 0 ,所以 b1 ? b2 , 1 故此时观察 g ( x) ? [a1 ( x ? b1 )2 ? 3a2 ( x ? b2 )2 ] 可知, 4 a1 , ?3a2 同号,且 a1 ? 3a2 ? 0 , b1 ? b2 ,故 g ( x) ? 0 恒成立,即证明 g ( x) ? 0 没有实根. 7 16 9.【解】不可以同时在 M 中,下面给予证明.假设 0, , 同时在 M 中, 2 3
理数,这与 tan 30? ?
2014 年\北约自主招生·数学试题-3

设 ak ? a ? kd (1 ? k ? 13, k ? N * ) ,其中 d 为公差,则

M ? {3a ? (i ? j ? k )d |1 ? i ? j ? k ? 13} ? {3a ? md | 6 ? m ? 36, m ? N *}
? ?3a ? xd ? 0, 7 ? ( y ? x)d ? , ? ? 7 ? ? 2 于是存在正整数 6 ? x, y, z ? 36 ,使得 ?3a ? yd ? , 从而 ? 2 16 ? ?( z ? x ) d ? 16 ? ? 3 ? 3a ? zd ? ? 3 ? y ? x 21 也所以 ? ,由于 21,32 互质,且 y ? x, z ? x 为整数,则有 | y ? x |? 21,| z ? x |? 32 , z ? x 32 7 16 但 | z ? x |? 36 ? 6 ? 30 ,矛盾!假设错误,即证明 0, , 不可以同时在 M 中. 2 3 10.【证】(一法:数学归纳法)①当 n ? 1 时,左边 2 ? x1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 右边,不等式成立;
②假设 n ? k (k ? 1, k ? N * ) 时,不等式 ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )?( 2 ? xk ) ? ( 2 ? 1)k 成立. 那么当 n ? k ? 1 时,则 x1 x2 ? xk xk ?1 ? 1 ,由于这 k ? 1 个正数不能同时都大于 1,也不能同时 都小于 1,因此存在两个数,其中一个不大于 1,另一个不小于 1,不妨设 xk ? 1,0 ? xk ?1 ? 1 , 从而 ( xk ? 1)( xk ?1 ? 1) ? 0 ? xk ? xk ?1 ? 1 ? xk xk ?1 ,所以

( 2? x1 ) ( ? 2x 2 ? )

(? x 2 k
k

)? ( xk ? 21 x2 ? ( kx ? ? 1

)
k ?k 1

? ( 2? x1 ) ( ? 2 x2 ? ) ?[ 2

x ) x

]
k

?1 ? ( 2? x1 ) ( ? 2x 2 ? ) (? x 2 x )? ( ? 2 1 )? ( 2 ?1 )? ( 2 ? 1k) ( 2 1) k k? 1 其中推导上式时利用了 x1 x2 ? xk ?1 ( xk xk ?1 ) ? 1 及 n ? k 时的假设,故 n ? k ? 1 时不等式也成 立. 综上①②知,不等式对任意正整数 n 都成立. (二法)左边展开得 ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )?( 2 ? xn )

? ( 2) n ? ( 2) n ?1 ? xi ? ( 2) n ? 2 (
i ?1

n

1? i ? j ? n

?

xi x j ) ? ? ? ( 2) n ? k (
1

1? i1 ? i2 ??? ik ? n

?

xi1 xi2 ? xik ) ? x1 x2 ? xn
1

由平均值不等式得

1? i1 ? i2 ??? ik ? n

?

xi1 xi 2? xik ? Cnk (

1? i1 ? i2 ??? ik ? n

?

xi x ? xik ) Cn ? Cnk (( x1 x2 ? xn ) 1i 2

k

k ?1 Cn ?1

) Cn ? Cnk

k

故 ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )?( 2 ? xn )
n ?1 ? 2 ? k k 即证 .) ? ? 2) ? ( 2n )Cn1 ? ( n 2 C )n 2? ? ? ( n 2 C) ? ? C ?n n ? ( ,2 ?n1 n (三法)由平均值不等式有 1 n n n n xk xk 2 2 1 n n ? n ( ) ……① ; ……② ? n ( ) ? ? ? ? 2 ? xk 2 ? xk k ?1 k ?1 2 ? xk 2 ? xk k ?1 k ?1

①+②得 n ? n ?

2 ? ( x1 x2 ? xn ) n (? 2 ? xk )
k ?1 n 1 n

1

,即 ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )?( 2 ? xn ) ? ( 2 ? 1)n 成立.

2014 年\北约自主招生·数学试题-4


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