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3.定积分与微积分的基本定理(教师版)含详解


课次教学计划(教案)

课题

微积分与定积分的基本原理 知识目标 1.熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。 能力目标 通过例题和练习使学生学会利用定积分的几何意义解释实际生活问题, 加深对导 数内涵的理解。在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思 想方法。 态度目标

教学目标

(1)通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想,使学生了解近似与精确间的辨 证关系;通过有限来认识无限,体验数学中转化思想的意义和价值; (2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会,如:探究活动,让学生自 主探究新知,例题则采用练在讲之前,讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜 能,促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法,获得广泛的 数学活动经验,提高综合能力,学会学习,进一步在意志力、自信心、理性精神 等情感与态度方面得到良好的发展。

教学重点、难点 1、微积分基本定理的内容
教学策略

2、用微积分基本定理的求简单的定积分 教学方法:讲练结合。 教学准备:课堂例题和练习的准备

一、 教学温故:
一些基本初等函数的导数表
1

(1) (c)' ? 0 ; (2) ? x? ? ? ? ? x
? ?1

1 1 ?? ? 0? ;与此有关的如下: ? x ? ? ? x ?1 ? ? ? ? x 2 , ? ? ? ?
(4) (a x )' ? a x (ln a)(a ? 0, a ? 1) ;

?

? ?

? 1? 1 x ? ? ? x2 ? ? ; ? ? 2 x

?

(3) (e x )' ? e x ; (5) (ln x ) ?
'

1 1 ( x ? 0) ; (6) (log x)' ? (a ? 0, a ? 1, x ? 0) ; x x ln a
(8) (cos x)' ? ? sin x ;

(7) (sin x)' ? cos x ;

导数的运算法则: (1) (cf ( x)) ? cf ( x) ;
' '

(2) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ; (3) ( f ( x) g ( x))' ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ; (4) (

1 ' f ' ( x) ) ? ? 2 ( f ( x) ? 0) ; f ( x) f ( x)

(5) (

f ( x ) ' f ( x) g ' ( x) ? f ' ( x) g ( x) ) ? ( f ( x) ? 0) ; g ( x) ( f ( x))2

' ' (6)若 y ? f (u ), u ? ax ? b, 则 f ( x) ? f (u) ? a 。

二. 新知导航

2

定积分
定 义

?

b

a

f ( x)dx = lim ? f (ξi)△x 其中,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫
n ?? i ?1

n

做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。

几 何 意 义

?

b

a

f ( x)dx 的几何意义:它是介于 x 轴,函数的图形及两条直线 x=a,x=b 之间的各部分

面积的代数和。 ①

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

; f ( x)dx (k 为常数)
b b

性 质 定 积 分 与 微 积 分 曲 边 梯 形 面 积

② ③

? ?

b

a b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。
a c

c

b

(1)由三条直线 x=a,x=b(a<b) 轴及一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0)围 ,x 成的曲边梯的面积 S ?

?

b

a

如一 f ( x)dx 。

图一

图二

(2) 如果图形由曲线 y1=f1(x), 2=f2(x) 不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0) 及直线 x=a, (a<b) y ( , x=b 围成,那么所求图形的面积 S=S 曲边梯形 AMNB-S 曲边梯形 DMNC=

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx 。
a

b

基 本 积 分 公 式

? 0dx =C; ? x

m

dx =

1 x m ?1 +C(m∈Q, m≠-1) ; m ?1

1 ax x x x ? x dx=ln x +C; ? e dx = e +C; ? a dx = ln a +C;
。 ? cos xdx =sinx+C; ? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数))

3

微积分
牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式

(1)定理 ( 微积分基本公式 )

如果 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上 的一个原函数 , 则
(2)微积分基本公式表明:

?

b a

f ( x) dx ? F (b) ? F ( a) .

一个连续函数 在区间 [a, b] 上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间 [a, b] 上的增量 .

常 见 的 凑 微 分 形 式

1 f ( ax ? b) d ( ax ? b)(a ? 00) ) a 1 xf ( ax 2 ? b) dx ? f ( ax 2 ? b) d ( ax 2 ? b)(a ? 0) ) 2a f (cos x ) sin xdx ? ? f (cos x ) d (sin x ) f (ln x ) dx ? f (ln x ) d (ln x ) x 1 f( ) x dx ? ? f ( 1 ) d ( 1 ) 2 x x x f ( ax ? b) dx ? f

f e x e x dx ? f e x d e x f ?t an x ? ? f ?t an x ?d ?t an x ? cos2 x

? ?

? x ? dx ? 2 f ? x ?d ? x ? x
? ? ? ?

4

三、经典范例:

热点一 定积分的基本计算
1. (2012 年高考江西卷理科 11)计算定积分

?

1

?1

( x 2 ? sin x)dx ? ___________

【方法总结】1.
计算简单定积分的步骤: (1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差; (2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差; (3)分别用求导公式求出 F(x),使得 F′(x)=f(x); (4)利用牛顿-莱布尼兹公式求出各个定积分的值; (5)计算所求定积分的值. 2.求定积分的常用技巧: (1)求被积函数,要先化简,再求积分. (2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性” ,分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号才能积分.

热点二 微积分基本定理的应用

3.(2012 年高考山东卷理科 15)设 a>0.若曲线 y = x 与直线 x=a, 所围成封闭图形的面积为 a, a=______。 y=0 则 【答案】

9 4

【解析】 S ?

?

a

0

2 x dx ? x 2 3

3 a 0

2 9 ? a 2 ? a ,解得 a ? . 3 4
1 2

3

4.(2012 年高考上海卷理科 13)已知函数 y ? f (x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A(0,0) 、 B ( ,5) 、 C (1,0) , 函数 y ? xf (x) ( 0 ? x ? 1 )的图象与 x 轴围成的图形的面积为 .

5

【方法总结】求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤
(1)画出图形,确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标.定出积分的上、下限;(2) 确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置;(3)写出平面图形面积的定积分的表达 式;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.

【考点剖析】

二.命题方向
定积分的考查频率不是很高,本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义,使用微积分基本定 理计算定积分,使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等。一般以客观题形 式出现.

三.规律总结
一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”,用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题,其方法 是“分割求近似,求和取极限”,利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等.恩格斯曾经 把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为 17 世纪数学的三大成就.

一个公式

6

由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆 运算.
五、课外作业(2-3 页) 题组一 1.已知 f(x)为偶函数且 A.0 B.4 定积分的计算 f(x)dx 等于 ( )

?

6

0

f(x)dx=8,则 C.8

?

6

?6

D.16

解析:原式=

?

0

?6

f(x)dx+

?

6

0

f(x)dx,

∵原函数为偶函数, ∴在 y 轴两侧的图象对称, ∴对应的面积相等,即 8×2=16. 答案:D
?x2, x∈[0,1], ? 2.设 f(x)=? 则 ? ?2-x,x∈[1,2],

?

2

0

f(x)dx 等于 D.不存在

(

)

3 A. 4

4 B. 5

5 C. 6

解析:数形结合,

?
=

2

0

f(x)dx=

?

1

0

x2dx+

?

2

1

(2-x)dx

2 1 31 1 x ? (2 x ? x 2 ) 3 0 2 1
1 3 1 5 x ? (4 ? 2 ? 2 ? ) ? . 3 2 6

=

答案:C 3.计算以下定积分: (1) (2)

?
?
?
2

2

1

1 (2x2- )dx; x ( x+ 1 2 ) dx; x

3

?
3 0

(3)

(sinx-sin2x)dx;

解:(1)

?

2

1

2 1 2 (2x2- )dx=( x3-lnx) x 3 1

16 2 14 = -ln 2- = -ln 2. 3 3 3 (2)

?

3 2

( x+

1 2 ) dx= x

?

3 2

1 (x+ +2)dx x

7

3 1 =( x2+lnx+2x) 2 2
9 =( +ln 3+6)-(2+ln 2+4) 2 3 9 =ln + . 2 2

(3)

?

?
3 0

1 (sinx-sin2x)dx=(-cosx+ cos2x) 3 2

?

0
1 1 1 1 =(- - )-(-1+ )=- . 2 4 2 4

题组二

求曲多边形的面积

4.如图,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是 A.1 4 B. 3 C. 3 D.2 ( )

解析:函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积等于 +2x+1-1)dx= 答案:B 5.已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分 4 (如图所示)的面积为 ,则 k=________. 3 解析:直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0,k], 再由

?

2

0

(-x2

?

2

0

4 (-x2+2x)dx= . 3

?

k

0

kx2 x3 k k3 4 (kx-x2)dx=( - ) = = 求得 k=2. 2 3 0 6 3

答案:2

6.如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x2 向点 A(2,4)移动, 记直线 OP、曲线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积 分别记为 S1,S2,若 S1=S2,则点 P 的坐标为________. 解析:设直线 OP 的方程为 y=kx, P 点的坐标为(x,y), 则

?

x

0

(kx-x2)dx=

?

2 x

(x2-kx)dx,

x 1 2 1 1 1 即( kx2- x3) =( x3- kx2) , 2 3 0 3 2 x
8

1 1 8 1 1 解得 kx2- x3= -2k-( x3- kx2), 2 3 3 3 2 4 4 4 16 解得 k= ,即直线 OP 的方程为 y= x,所以点 P 的坐标为( , ). 3 3 3 9 4 16 答案:( , ) 3 9

题组三

定积分在物理中的应用

7.一质点运动时速度与时间的关系为 v(t)=t2-t+2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为 ( 17 A. 6 解析:s= 答案:A 8.若 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm,现在要使弹簧伸长 10 cm,则需要花费的功为( A.0.05 J B.0.5 J C.0.25 J D.1 J ) ) 14 B. 3 13 C. 6 11 D. 6

?

2

1

1 1 17 (t2-t+2)dt=( t3- t2+2t)|2= . 1 3 2 6

解析:设力 F=kx(k 是比例系数),当 F=1 N 时,x=0.01 m,可解得 k=100 N/m,则 F=100x,所以 W=

?

0.1

0.1
100xdx=50x 0 =0.5 J.
2

0

答案:B

9.一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米. 解析:据题意,v 与 t 的函数关系式如下:

?2t,0≤t<20, ? v=v(t)=?50-t,20≤t<40, ?10,40≤t≤60. ?
3 所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为 s=

?

60

0

v(t )dt = ?

20

0

40 60 3 tdt + ? (50 ? t )dt + ? 10dt 40 20 2

20 40 3 1 40 = t2 0 +(50t- t2) +10t 4 2 20 20
=900 米. 答案:900

9

题组四 10.(2010· 烟台模拟)若 y= A.1 解析:y= B.2

定积分的综合应用 ( )

?

x

0

(sint+costsint)dt,则 y 的最大值是 7 C.- 2 D.0 1 (sint+ sin2t)dt 2

?

x

0

(sint+costsint)dt=

?

x

0

x 1 1 5 =(-cost- cos2t) =-cosx- cos2x+ 4 4 4 0
1 5 1 3 =-cosx- (2cos2x-1)+ =- cos2x-cosx+ 4 4 2 2 1 =- (cosx+1)2+2≤2. 2 答案:B 11. (2010· 温州模拟)若 f(x)是一次函数, 且

?

1

0

f(x)dx=5,

?

1

0

17 xf(x)dx= , 那么 6
1

?

2

1

f(x) dx 的值是________. x

解析:∵f(x)是一次函数,∴设 f(x)=ax+b(a≠0),由 ① 由

?

0

1 1 1 (ax+b)dx=5 得( ax2+bx) = a+b=5, 2 0 2

?

1

0

17 xf(x)dx= 得 6

?

1

0

(ax2+bx)dx=

17 ,即 6 ②

1 17 1 1 1 1 17 ( ax3+ bx2) = ,∴ a+ b= , 3 2 6 3 2 6 0
解①②得 a=4,b=3,∴f(x)=4x+3, 于是

?

2

1

f(x) dx= x

?

2

1

4x+3 dx= x

?

2

1

3 (4+ )dx x

=(4x+3lnx)

2 1

=8+3ln2-4=4+3ln2.

答案:4+3ln2

10


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