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2015年浙江省高考数学模拟试卷(理科)(一)


2015 年浙江省高考数学模拟试卷(理科)(一)
一.选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.设全集为 R,集合 A={x|x ﹣9<0},B={x|﹣1<x≤5},则 A∩ (CRB)=( ) A. (﹣3,0) B. (﹣3,﹣1) C. (﹣3,﹣1] D. (﹣3,3) 2.已知 a、b∈R,a+bi 是虚数的充分必要条件是( ) A.ab≠0 B.a≠0 C.b≠0 D.a=0 且 b≠0 3.如图,三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1⊥ 底面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,俯视图为一 个等边三角形,则该三棱柱的侧视图的面积为( ) A. B.2 C.4 D.4 4.关于函数 f(x)=sinx(sinx﹣cosx)的叙述正确的是( A.f(x)的最小正周期为 2π C.f(x)的图象关于(﹣ B.f(x)在[﹣ ,
2



]内单调递增 对称
2m+1

,0)对称 D.f(x)的图象关 x=
2m

5.设 m 为正整数, (x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a, (x+y) 若 13a=7b,则 m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时, (x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( A.2 ﹣1 B.2 ﹣1 C.1﹣2 7.若 0<x1<x2<1,则( ) A. C.x2 ﹣ >x1 >lnx2﹣lnx1 B. D.x2
a
﹣a ﹣a

展开式的二项式系数的最大值为 b,

,则关于 x 的函数 F(x)=f )
a

D.1﹣2

﹣ <x1

<lnx2﹣lnx1

8.定义平面向量之间的一种运算“⊙ ”如下:对任意的 错误的是( A.若 C.
2



,令

.下面说法

) 共线,则 B. D.对任意的
2

9. 0<b<1+a,若关于 x 的不等式(x﹣b) >(ax) 的解集中的整数恰有 3 个,则( A.﹣1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.2<a<3
3 2



10.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,给出定义:设 f′ (x)是函数 y=f(x)的导数,f″ (x)是 f′ (x) 的导数,若方程 f′ ′ (x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数 g(x) = ,则 g( )+ =( )

A.2011 B.2012 C.2013 D.2014

二.填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
11.如图,是一程序框图,则输出结果为 _________ .

12.已知随机变量 X 的分布列,则随机变量 X 的方差 D(X)= _________ . X P 0 2a 1 a

13.已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x+4y 的

最大值为 _________ . 14.某班有 38 人,现需要随机抽取 5 人参加一次问卷调查,抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 _________ 种. (结果用数值表示) 15.已知函数 f(x)= ,若 f(f(1) )>4a 则实数 a 的取值范围是 _________
2



16.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,A1,A2,B1,B2 为椭圆



四个顶点,F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰 为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 _________ . 17.如图所示,正方体 ABCD﹣A′ B′ C′ D′ 的棱长为 1,E,F 分别是棱 AA′ ,CC′ 的中点,过直线 E,F 的平面分 别与棱 BB′ 、DD′ 交于 M,N,设 BM=x,x∈[0,1],给出以下五个命题: ① 当且仅当 x=0 时,四边形 MENF 的周长最大; ② 当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; ③ 多面体 ABCD﹣MENF 的体积为 ④ 四棱锥 C′ ﹣MENF 的体积 V=V(x)为常函数; ⑤ 直线 MN 与直线 CC′ 的夹角正弦值的范围是[ ,1]

以上命题中正确的有 _________ (天上所有正确命题的序号)

三.解答题(共 5 小题,18、19、22 题每题 14 分,20、21 题每题 15 分,共 72 分)
18. (本题满分 14 分) 已知在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a, b, c, 且满足条件: a (sinA﹣sinC) +csinC=bsinB. (Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )求函数 f(x)=sinx?cos(x+B)+ (x∈[0, ])的值域.

19. (本题满分 14 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=10,a2 为整数,且在前 n 项和中 S4 最大. (1)求{an}的通项公式;

(2)设 bn=

,n∈N .

+

① 求证:bn+1<bn≤ ; ② 求数列{b2n}的前 n 项和 Tn.

20. (本题满分 15 分) 已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1, A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D, ∠ BCA=90°, AC=BC=2, 又知 BA1⊥ AC1 (1)求证:AC1⊥ 平面 A1BC; (2)求二面角 A﹣A1B﹣C 的余弦值的大小.

21. (本题满分 15 分)如图,设 F 是椭圆

的左焦点,直线 l 为左准线,直线 l 与 x 轴交于

P 点,MN 为椭圆的长轴,已知

,且



(Ⅰ )求椭圆的标准方程; (Ⅱ )过点 P 作直线与椭圆交于 A、B 两点,求△ ABF 面积的最大值.

22. (本题满分 14 分)设函数 f(x)=(x﹣1)e ﹣kx (k∈R) . (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 时,求函数 f(x)在[0,k]上的最大值 M.

x

2

参考答案与试题解析
一.选择题(共 10 小题) 2 1.设全集为 R,集合 A={x|x ﹣9<0},B={x|﹣1<x≤5},则 A∩ (?RB)=( A.(﹣3,0) B.(﹣3,﹣1) C.(﹣3,﹣1] 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合.

) D.(﹣3,3)

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根据补集的定义求得?RB,再根据两个集合的交集的定义,求得 A∩ (?RB) . 2 解:∵ 集合 A={x|x ﹣9<0}={x|﹣3<x<3},B={x|﹣1<x≤5},∴ ?RB={x|x≤﹣1,或 x>5}, 则 A∩ (?RB)={x|﹣3<x≤﹣1}, 故选:C. 点评: 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题. 2.已知 a、b∈R,a+bi 是虚数的充分必要条件是( A.ab≠0 B.a≠0 考点: 专题: 分析: 解答: ) C.b≠0

D.a=0 且 b≠0

复数的基本概念. 计算题;数系的扩充和复数. 根据虚数的定义可得答案. 解:由虚数的定义可知 a、b∈R,a+bi 是虚数的充分必要条件是 b≠0, 故选:C. 点评: 该题考查复数的基本概念,理解虚数的定义是解题关键.
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3.如图,三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1⊥ 底面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,俯视图为一个 等边三角形,则该三棱柱的侧视图的面积为( )

A.

B.2

C .4

D.4

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据俯视图为边长为 2 的等边三角形,求出三角形的高即为侧视图的宽,再根据正视图为边长为 2 的正方 形,可知侧视图的高为 2,计算可求侧视图的面积. 解答: 解:三棱柱的底面为等边三角形,边长为 2,作出等边三角形的高后,组成直角三角形, ∵ 底边的一半为 1,∴ 等边三角形的高为 , 由题意知左视图是一个高为 2,宽为 的矩形, ∴ 三棱柱的侧视图的面积为 2 . 故选:B. 点评: 本题考查三视图的识别能力,作图能力,三视图的投影规则是主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左 视、俯视宽相等.
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4.关于函数 f(x)=sinx(sinx﹣cosx)的叙述正确的是(



A.f(x)的最小正周期为 2π C. f(x)的图象关于(﹣ ,0)对称

B.

f(x)在[﹣



]内单调递增 对称

D. f(x)的图象关 x=

考点: 专题: 分析: 解答:

三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 三角函数的图像与性质. 首先,化简函数解析式,然后,结合三角函数的图象与性质进行求解. 解:∵ f(x)=sinx(sinx﹣cosx)
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=sin x﹣sinxcosx = ﹣

2

=﹣ (sin2x+cos2x)+ =﹣ sin(2x+ )+ ,

对于选项 A: ∵ T= =π,

∴ 选项 A 错误; 对于选项 B: 令﹣ ∴ ﹣ ∴ ﹣ +2kπ≤2x+ +2kπ≤2x≤ +kπ≤x≤ ≤ +2kπ,k∈Z,

+2kπ, +kπ, , ],

令 k=0,得其增区间为:[﹣ 故选项 B 错误; 对于选项 C:f(﹣ )= ≠0,

故选项 C 错误; 故选:D. 点评: 本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法,二倍角公式、三角函数的图象与性质等知识,考查综合 求解能力,属于中档题. 5.设 m 为正整数, (x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a, (x+y) 若 13a=7b,则 m=( ) A .5 B.6 C .7 考点: 专题: 分析: 解答:
2m 2m+1

展开式的二项式系数的最大值为 b, D.8

二项式定理的应用;二项式系数的性质. 二项式定理. 根据二项式系数的性质求得 a 和 b,再利用组合数的计算公式,解方程 13a=7b 求得 m 的值.
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解:∵ m 为正整数,由(x+y) 同理,由(x+y)
2m+1

2m

展开式的二项式系数的最大值为 a,以及二项式系数的性质可得 a= = .



展开式的二项式系数的最大值为 b,可得 b=

再由 13a=7b,可得 13 即 13=7×

=7

,即 13×

=7×



,即 13(m+1)=7(2m+1) ,解得 m=6,

故选:B. 点评: 本题主要考查二项式系数的性质的应用,组合数的计算公式,属于中档题.

6.定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时, (x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( ﹣ a A . 2 ﹣1 B.2 a﹣1 ) C.1﹣2
﹣a

,则关于 x 的函数 F(x)=f

D.1﹣2

a

考点: 函数的零点. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的零点转化为:在同一坐标系内 y=f(x) ,y=a 的图象交点的横坐标.作 出两函数图象,考查交点个数,结合方程思想,及零点的对称性,为计算提供简便. 解答: 解:当﹣1≤x<0 时?1≥﹣x>0,x≤﹣1?﹣x≥1,又 f(x)为奇函数
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∴ x<0 时, 的图象,

画出 y=f(x)和 y=a(0<a<1)

如图 共有 5 个交点,设其横坐标从左到右分别为 x1,x2,x3,x4,x5,则 ?log2(1﹣x3)=a?x3=1﹣2 , 可得 x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2 , 故选 D. 点评: 本题考查函数的图象,函数零点知识,考查函数与方程,数形结合的思想,准确画好图,把握图象的对称 性是关键. 7.若 0<x1<x2<1,则( A. ﹣ >lnx2﹣lnx1 C. x2 >x1 ) B. D. x2 ﹣ <x1 <lnx2﹣lnx1
a a

考点: 对数的运算性质. 专题: 导数的综合应用. 分析: x 分别设出两个辅助函数 f(x)=e +lnx,g(x)=
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,由导数判断其在(0,1)上的单调性,结合已知条件

0<x1<x2<1 得答案. x 解答: 解:令 f(x)=e +lnx,

, 当 0<x<1 时,f′ (x)>0, ∴ f(x)在(0,1)上为增函数, ∵ 0<x1<x2<1, ∴ 即 由此可知选项 A,B 不正确. 令 g(x)= , , .

, 当 0<x<1 时,g′ (x)<0. ∴ g(x)在(0,1)上为减函数, ∵ 0<x1<x2<1, ∴ ,





∴ 选项 C 正确而 D 不正确. 故选:C. 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,考查了函数构造法,解答此题的关键在于想到构造两个函数,是中 档题.

8.定义平面向量之间的一种运算“⊙ ”如下:对任意的 错误的是( ) A. 若 共线,则 C.



,令

.下面说法

B. D. 对任意的

考点: 平面向量坐标表示的应用. 专题: 压轴题;新定义;平面向量及应用. 分析: 根据令 ,利用两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算法则,判断各个选项是否正
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确,从而得出结论. 解答: 解:∵ A 正确. 由于 由于 ,∴ ,∴
2 2 2





,若

共线,则有 mq﹣np=0,即

,故

,故 B 不正确.
2 2 2

=(mq﹣np) +(mp+nq) =(m +n ) (p +q )=

,故 C 正确.

由于 λ 为实数, ∴

=λmq﹣λnp, ,故 D 正确.

=λ(mq﹣np)=λmq﹣λnp,

故选 B. 点评: 本题主要考查两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,运算“⊙ ”的定义,属于中档题. 9. 0<b<1+a,若关于 x 的不等式(x﹣b) >(ax) 的解集中的整数恰有 3 个,则( ) A.﹣1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.2<a<3 考点: 其他不等式的解法. 专题: 综合题;压轴题;选作题. 分析: 要使关于 x 的不等式(x﹣b)2>(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个,那么此不等式的解集不能是无限区间, 从而其解集必为有限区间, 解答: 解:由题得不等式(x﹣b)2>(ax)2 2 2 2 即(a ﹣1)x +2bx﹣b <0,它的解应在两根之间, 2 因此应有 a ﹣1>0,解得 a>1 或 a<﹣1,注意到 0<b<1+a,从而 a>1, 2 2 2 2 2 故有△ =4b +4b (a ﹣1)=4a b >0,
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2

2

不等式的解集为 不等式的解集为 又由 0<b<1+a 得 故 ,

或 , ,

(舍去) .

,这三个整数解必为﹣2,﹣1,0

2(a﹣1)<b≤3 (a﹣1) , 注意到 a>1,并结合已知条件 0<b<1+a. 故要满足题设条件,只需要 2(a﹣1)<1+a<3(a﹣1) ,即 2<a<3 即可,则 b>2a﹣2 b<3a﹣3 又 0<b<1+a 故 1+a>2a﹣2 3a﹣3>0 解得 1<a<3,综上 2<a<3. 故选:D. 点评: 本小题考查解一元二次不等式解法,二次函数的有关知识,逻辑思维推理能力,含有两个变量的题目是难 题. 10.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,给出定义:设 f′ (x)是函数 y=f(x)的导数,f″ (x)是 f′ (x) 的导数,若方程 f′ ′ (x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数 g(x) = A.2011 ,则 g( B.2012 )+ C.2013 =( ) D.2014
3 2

考点: 导数的运算;函数的值;数列的求和. 专题: 压轴题;导数的概念及应用. 分析: 正确求出对称中心,利用对称中心的性质即可求出.
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2 ″ 解答: 解:由题意,g′ (x)=x ﹣x+3,∴ g (x)=2x﹣1,

令 g (x)=0,解得 又 ∴ ∴ g( )+



, . ,… =2012.

,∴ 函数 g(x)的对称中心为 ,

故选 B. 点评: 正确求出对称中心并掌握对称中心的性质是解题的关键. 二.填空题(共 7 小题) 11.如图,是一程序框图,则输出结果为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

循环结构. 压轴题;阅读型. 按照框图的流程写出前 5 次循环的结果,直到满足判断框中的条件为止,执行输出结果即可. 解:按照框图的流程得到
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经过第一次循环得到的结果为 过第二次循环得到的结果为 经过第三次循环得到的结果为 经过第四次循环得到的结果为 经过第五次循环得到的结果为 故答案为: . 此时输出 s

点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试 题型,这种题考试的重点有:① 分支的条件② 循环的条件③ 变量的赋值④ 变量的输出.其中前两点考试的概率 更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.

12.已知随机变量 X 的分布列,则随机变量 X 的方差 D(X)=



X P

0 2a

1 a

考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题. 分析: 先根据概率之和为 1,可求出 a,再使用公式求期望,然后根据离散型随机变量的方差公式进行求解即可. 解答: 解:∵ 2a+a=1,∴ a= ,2a= ,
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∴ Eξ=0× +1× = , Dξ=(0﹣ ) × +(1﹣ ) × = , 故答案为: . 点评: 本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识,注意概率之和为 1,熟记期望、方差的 公式是解题的关键,属于基础题.
2 2

13.已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x+4y 的最大值为 18 .

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解 的坐标,代入目标函数得答案. 解答:
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解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得



∴ C(2,3) . 化目标函数 z=3x+4y 为直线方程的斜截式,得: 由图可知,当直线 .

过点 C 时,直线在 y 轴上的截距最大,即 z 最大.

∴ zmax=3×2+4×3=18. 故答案为:18. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 14.某班有 38 人,现需要随机抽取 5 人参加一次问卷调查,抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 58905 种. (结果用数值表示) 考点: 组合及组合数公式. 专题: 排列组合. 分析: 除了甲乙外还有 36 人, 故从这 36 人中选出 4 个人, 再把甲选上, 即可满足条件, 故所有的情况共有
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?

种,计算可得结果. 解答: 解:除了甲、乙外还有 36 人,故从这 36 人中选出 4 个人,再把甲选上,即可满足条件, 故所有的情况共有 ? =58905 种,

故答案为:58905. 点评: 本题主要考查排列组合、两个基本原理的实际应用,属于中档题.

15.已知函数 f(x)=

,若 f(f(1) )>4a 则实数 a 的取值范围是 (﹣1,4) .

2

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 运用解析式转化不等式为 16+12a>4a2,球即可. 解答: 解:∵ 函数 f(x)= ,
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∴ f(1)=3+1=4,f(f(1) )=f(4)=16+12a, 2 2 若 f(f(1) )>4a ,则 16+12a>4a , 2 即 a ﹣3a﹣4<0,解得﹣1<a<4. 故答案为: (﹣1,4) . 点评: 本题考查了分段函数的运用,不等式的求解即可,属于中档题.

16.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,A1,A2,B1,B2 为椭圆

的四个顶点,F 为其右焦点,

直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 解法一:可先直线 A1B2 的方程为
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,直线 B1F 的方程为

,联立两直线的方程,解出点 T

的坐标,进而表示出中点 M 的坐标,代入椭圆的方程即可解出离心率的值; 解法二:对椭圆进行压缩变换, , ,椭圆变为单位圆:x +y =1,F'( ,0) .根据题设条件
'2 '2

求出直线 B1T 方程,直线直线 B1T 与 x 轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率. 解答: 解法一:由题意,可得直线 A1B2 的方程为 两直线联立则点 T( ) ,则 M(
2 2

,直线 B1F 的方程为 ) ,由于此点在椭圆上,故有

,整理得 3a ﹣10ac﹣c =0 即 e +10e﹣3=0,解得 故答案为 解法二:对椭圆进行压缩变换,
'2 '2 2





椭圆变为单位圆:x +y =1,F'( ,0) . 延长 TO 交圆 O 于 N,易知直线 A1B2 斜率为 1,TM=MO=ON=1, 设 T(x′ ,y′ ) ,则 ,y′ =x′ +1, , ,

由割线定理:TB2×TA1=TM×TN, (负值舍去) ,

易知:B1(0,﹣1) ,直线 B1T 方程: 令 y′ =0 ,即 F 横坐标 即原椭圆的离心率 e= .

故答案: . 点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.

17.如图所示,正方体 ABCD﹣A′ B′ C′ D′ 的棱长为 1,E,F 分别是棱 AA′ ,CC′ 的中点,过直线 E,F 的平面分 别与棱 BB′ 、DD′ 交于 M,N,设 BM=x,x∈[0,1],给出以下五个命题: ① 当且仅当 x=0 时,四边形 MENF 的周长最大; ② 当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; ③ 多面体 ABCD﹣MENF 的体积为 ④ 四棱锥 C′ ﹣MENF 的体积 V=V(x)为常函数; ⑤ 直线 MN 与直线 CC′ 的夹角正弦值的范围是[ ,1]

以上命题中正确的有 ② ③ ④ ⑤ (天上所有正确命题的序号)

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;多面体和旋转体表面上的最短距离问题. 专题: 压轴题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: ① 判断周长的变化情况.② 四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的,所以要使面积最小,则只需 MN 的长度最 小即可.③ 计算两个多面体的体积关系.④ 求出四棱锥的体积,进行判断.⑤ 当 x=0 或 x=1 时,直线 MN 与直
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线 CC′ 的夹角最小,x= 时,直线 MN 与直线 CC′ 的夹角最大. 解答: 解:① 因为 EF⊥ MN,所以四边形 MENF 是菱形.当 x∈[0, ]时,EM 的长度由大变小.当 x∈[ ,1]时, EM 的长度由小变大.所以当 x=0 或 x=1 时周长都为最大值.所以① 错误. ② 连结 MN,因为 EF⊥ 平面 BDD'B',所以 EF⊥ MN,四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的,所以要使面积最 小,则只需 MN 的长度最小即可,此时当 M 为棱的中点时,即 x= 时,此时 MN 长度最小,对应四边形 MENF 的面积最小.所以② 正确. ③ 因为 E,F 是固定的中点,所以当 M 在运动时,AM=D'N,DN=B'M,所以被截面 MENF 平分成的两个多 面体是完全相同的,所以它们的体积也是相同的.所以③ 正确. ④ 连结 C'E,C'M,C'N,则四棱锥则分割为两个小三棱锥,它们以 C'EF 为底,以 M,N 分别为顶点的两个 小棱锥.因为三角形 C'EF 的面积是个常数.M,N 到平面 C'EF 的距离是个常数,所以四棱锥 C'﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数,所以④ 正确. ⑤ 当 x=0 或 x=1 时,直线 MN 与直线 CC′ 的夹角最小,正弦值为 夹角最大,正弦值为 1,所以⑤ 正确. 故答案为:② ③ ④ ⑤ . = ,x= 时,直线 MN 与直线 CC′ 的

点评: 本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式,本题巧妙的把立体几何问题和函数 进行的有机的结合,综合性较强,设计巧妙,对学生的解题能力要求较高. 三.解答题(共 5 小题) 18.已知在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且满足条件:a(sinA﹣sinC)+csinC=bsinB. (Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )求函数 f(x)=sinx?cos(x+B)+ (x∈[0, ])的值域.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ )△ ABC 中,由正弦定理和余弦定理,求出 cosB,即得 B 的值;
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(Ⅱ )利用三角恒等变换,把 f(x)化为 sin(2x+ 解答: 解: (Ⅰ )△ ABC 中,∵ a(sinA﹣sinC)+csinC=bsinB, ∴ a(a﹣c)+c =b , 2 2 2 即 a +c ﹣b =ac; ∴ cosB= ∴ B= ; )+ = ,
2 2

) ,求出 2x+

的取值范围,得出 f(x)的值域.

(Ⅱ )∵ f(x)=sinx?cos(x+ = sinxcosx﹣ = sin2x+ = sin(2x+ ∵ x∈[0, ∴ 2x+ ∴ ﹣ ∈[ ], , ], )≤1; , ]. sin x+
2

cos2x ) ,

≤sin(2x+

∴ f(x)的值域为[﹣

点评: 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题以及三角恒等变换问题,解题时应根据三角恒等变换公式和正弦、 余弦定理进行解答,是综合题. 19.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=10,a2 为整数,且在前 n 项和中 S4 最大. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,n∈N .
+

① 求证:bn+1<bn≤ ; ② 求数列{b2n}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的通项公式及其性质即可得出; (2)① 利用数列的单调性即可证明; ② 利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)由 a1=10,a2 为整数,等差数列{an}的公差 d 为整数.
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又 Sn≤S4,故 a4≥0,a5≤0,即 10+3d≥0,10+4d≤0, 解得 因此 d=﹣3. 数列{an}的通项公式为 an=10﹣3(n﹣1)=13﹣3n. (2)① 证明:由(1)可知:bn= = , ,

∴ bn+1﹣bn=

<0,

∴ 数列{bn}是单调递减数列,{bn}的最大项为 b1= . ∴ bn+1<bn≤ . ② 解: , ,

两式相减可得

=



=





∴ Tn=



点评: 本题考查了数列的单调性、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式性质及其前 n 项和公式,考查了 推理能力与计算能力,属于难题. 20. 已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1, A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D, ∠ BCA=90°, AC=BC=2, 又知 BA1⊥ AC1 (1)求证:AC1⊥ 平面 A1BC; (2)求二面角 A﹣A1B﹣C 的余弦值的大小.

考点: 直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1) 根据题意可知 BC⊥ AC, 而 A1D⊥ 底 ABC, 所以 A1D⊥ BC, A1D∩ AC=D, 从而 BC⊥ 面 A1AC, 则 BC⊥ AC1, 又因为 BA1⊥ AC1,BA1∩ BC=B, 满足线面垂直的判定定理,从而 AC1⊥ 底 A1BC;
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(2) 设 AC1∩ A1C=O, 作 OE⊥ A1B 于 E, 连 AE, 由 (1) 所以 A1B⊥ AE, 根据二面角的平面角的定义可知∠ AEO 为二面角平面角,在 Rt△ A1BC 中求出 OE,AO,AE,从而求出二面角余弦. 解答: 解: (1)证明:∠ BCA=90°得 BC⊥ AC,因为 A1D⊥ 底 ABC, 所以 A1D⊥ BC,A1D∩ AC=D,所以 BC⊥ 面 A1AC, 所以 BC⊥ AC1(3 分) 因为 BA1⊥ AC1,BA1∩ BC=B, 所以 AC1⊥ 底 A1BC(1 分) (2)设 AC1∩ A1C=O,作 OE⊥ A1B 于 E,连 AE,由(1) 所以 A1B⊥ AE,所以∠ AEO 为二面角平面角, (2 分) 在 Rt△ A1BC 中 所以 ,所以二面角余弦 ,

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及二面角的度量等有关问题,同时考查了数形结合、化归与转 化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,属于中档题.

21.如图,设 F 是椭圆

的左焦点,直线 l 为左准线,直线 l 与 x 轴交于 P 点,MN 为椭圆

的长轴,已知

,且



(Ⅰ )求椭圆的标准方程; (Ⅱ )过点 P 作直线与椭圆交于 A、B 两点,求△ ABF 面积的最大值.

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ )利用椭圆的长轴求得椭圆方程中的 a,利用椭圆的定义和

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求得离心率,进而求得 c,则 b 的值

可得,最后求得椭圆的标准方程. (Ⅱ )设出 AB 的方程,代入椭圆方程整理后利用韦达定理表示出 yA+yB 和 yAyB,进而根据 S△ABF=S△PBF﹣ S△PAF|表示出△ ABF 面积利用基本不等式求得面积的最大值. 解答: 解: (Ⅰ )由题意 又 ,∴ ,得 2a=8,∴ a=4.

∴ c=2,b =a ﹣c =12. ∴ 椭圆的标准方程为 .

2

2

2

(Ⅱ )设过 P 点的直线 AB 方程为 x=my﹣8, 代入椭圆方程整理得(3m +4)y ﹣48my+144=0,
2 2













当且仅当

,即

时等号成立,且满足△ >0.

∴ △ ABF 面积的最大值是 . 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质,直线与椭圆的关系.解题最后注意对所求的 m 的值代入判别式进行验 证.保证答题的严密性. 22.设函数 f(x)=(x﹣1)e ﹣kx (k∈R) . (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 时,求函数 f(x)在[0,k]上的最大值 M.
x 2

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: (1)利用导数的运算法则即可得出 f′ (x) ,令 f′ (x)=0,即可得出实数根,通过列表即可得出其单调区 间; (2)利用导数的运算法则求出 f′ (x) ,令 f′ (x)=0 得出极值点,列出表格得出单调区间,比较区间端点 与极值即可得到最大值. x 2 解答: 解: (1)当 k=1 时,f(x)=(x﹣1)e ﹣x , x x x f'(x)=e +(x﹣1)e ﹣2x=x(e ﹣2) 令 f'(x)=0,解得 x1=0,x2=ln2>0 所以 f'(x) ,f(x)随 x 的变化情况如下表: x (﹣∞,0) 0 (0,ln2) ln2 (ln2,+∞) + 0 0 + f'(x) ﹣ ↗ ↘ ↗ f(x) 极大值 极小值
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所以函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,0)和(ln2,+∞) ,单调减区间为(0,ln2) (2)f(x)=(x﹣1)e ﹣kx ,x∈[0,k],
x x x 2



f'(x)=xe ﹣2kx=x(e ﹣2k) ,f'(x)=0,解得 x1=0,x2=ln(2k) 令 φ(k)=k﹣ln(2k) , 所以 φ(k)在 , 上是减函数,∴ φ(1)≤φ(k)<φ ,∴ 1﹣ln2≤φ(k)< <k.

即 0<ln(2k)<k 所以 f'(x) ,f(x)随 x 的变化情况如下表:

x f'(x) f(x)

(0,ln(2k) ) ln(2k) 0 ﹣ ↘ 极小值
k

(ln(2k) ,k) + ↗
3 k 3 k 3

f(0)=﹣1,f(k)=(k﹣1)e ﹣k f(k)﹣f(0)=(k﹣1)e ﹣k +1=(k﹣1)e ﹣(k ﹣1)=(k﹣1) k 2 k 2 e ﹣(k﹣1) (k +k+1)=(k﹣1)[e ﹣(k +k+1)] 因为 对任意的 ,所以 k﹣1≤0 ,y=e 的图象恒在 y=k +k+1 下方,所以 e ﹣(k +k+1)≤0
k 3 k 2 k 2

所以 f(k)﹣f(0)≥0,即 f(k)≥f(0) 所以函数 f(x)在[0,k]上的最大值 M=f(k)=(k﹣1)e ﹣k . 点评: 熟练掌握导数的运算法则、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键.


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