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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编:C单元 三角函数


C 单元 三角函数 目录 C1 角的概念及任意角的三角函数................................................................................................. 2 C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ............................................................................... 3 C3 三角函数的图象与性质......................................................................................................... 19 C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质................................................................................ 29 C5 C6 C7 C8 C9 两角和与差的正弦、余弦、正切......................................................................................... 41 二倍角公式 ............................................................................................................................ 43 三角函数的求值、化简与证明............................................................................................. 46 解三角形 ................................................................................................................................ 49 单元综合 ................................................................................................................................ 49

C1 角的概念及任意角的三角函数
【 文 · 浙 江 效 实 中 学 高 二 期 末 · 2014 】 1 . 已 知 角 ? 的 终 边 与 单 位 圆 相 交 于 点

11? ? 11? P ? sin , cos 6 6 ?
(A) ?

? ? ,则 sin ? ? ?
(B) ?

3 2

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

【知识点】三角函数的定义 【答案解析】D 解析:解: sin ? ? cos

11? 3 ,所以选 D. ? 6 2

【思路点拨】一般知道角的终边位置求角的三角函数值,可用定义法解答.

【理·浙江效实中学高二期末`2014】11.若 ? 的终边所在直线经过点 P (cos 则 sin ? ? __ ▲ _.

3? 3? ,sin ) , 4 4

【知识点】三角函数定义 【答案解析】 ?

2 解析:解:由已知得直线经过二、四象限,若 ? 的终边在第二象限,因 2

为点 P 到原点的距离为 1,则 sin ? ? sin

3? 2 ,若 ? 的终边在第四象限,则 ? 的 ? 4 2

终边经过点 P 关于原点的对称点 ?

? 2 2? 2 , ? ,所以 sin ? ? ? ,综上可知 ? ? 2 ? 2 ? 2 ?

sinα = ?

2 . 2

【思路点拨】 一般已知角的终边位置求角的三角函数值通常利用三角函数的定义求值, 本题 应注意所求角终边所在的象限有两个.21 教育名师原创作品

【吉林一中高一期末·2014】21. 利用三角函数线证明:|sinα |+|cosα |≥1.

【知识点】三 角 函 数 线的 定 义 和 应 用 . 【答案解析】见解析 解析 : 解:证明: 当角 α 的终边在坐标轴上时, 正弦线(余弦线)变成一个点, 而余弦线(正 弦线)的长等于 r(r=1), 所以|sinα |+|cosα |=1.当角 α 的终边落在四个象限时, 设角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时,过 P 作 PM⊥x 轴于点 M(如图),

则|sinα |=|MP|,|cosα |=|OM|,利用三角形两边之和大于第三边有:|sinα |+|cosα | =|MP|+|OM|>1, 综上有|sinα |+|cosα |≥1. 【思路点拨】分两种情况:当角α 的终边在坐标轴上时,|sinα |+|cosα |=1. 当角α 的 终边落在四个象限时, 利用三角形两边之和大于第三边可得|sinα |+|cosα |>1, 综合两种 情况即可得到证明.

C2 式

同角三角函数的基本关系式与诱导公

【重庆一中高一期末·2014】【学生时代让人头疼的各种符号】 α 阿尔法 β 贝塔 γ 伽玛 δ 德尔塔 ε 伊普西隆 δ 泽塔 ε 伊塔 ζ 西塔 η 约塔 θ 卡帕 ι 兰姆达 κ 米欧 λ 纽 μ 克西 ν 欧米克隆 π 派 ξ 柔 ζ 西格玛 η 陶 υ 玉普西隆 θ 弗爱 χ 凯 ψ 普赛 , 大家还 能读出多少呢?读不出来的请默默转回去复习。 【重庆一中高一期末· 2014】11. 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知

. 【知识点】余 弦 定 理 ; 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 .
【答案解析】 7 解析 :解:∵ a ? 2 , c ? 3 , B ? 60? ,

a ? 2 , c ? 3 , B ? 60? .则 b =

? ∴ 由 余 弦 定 理 得 : b2 ? a 2 ? c2 ? 2 a c c o s B
故答案为:

? 4 ? 9 ? 6, 7 则 b= 7 .

7

【思路点拨】利 用 余 弦 定 理 列 出 关 系 式 , 将 a , c 及 cosB 代 入 计 算 即 可 求 出 b 的 值 .

【浙江宁波高一期末·2014】18.(本题满分 14 分)

1 ,求 cos 2? 的值; 3 ? ? 3 5 (Ⅱ)已知 ? ? ? ? 0 ? ? ? , cos(a ? ? ) ? , sin ? ? ,求 tan ? 的值. 2 2 5 13
(Ⅰ)已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos ? ? 【知识点】同角三角函数基本关系;三角恒等变形. 【答案解析】(Ⅰ) -

33 17 ;(Ⅱ) . 56 9

1 8 ,两边平方得, 2sin q cos q = - ……3 分 3 9 17 2 2 ∴ ( sin q - cos q ) = ( sin q + cos q ) - 4sin q cos q = …..4 分 9 17 又∵ 0 < q < p ,∴ sin q > 0 , cos q < 0 ,∴ sin q - cosq = ,……………6 分 3 17 ∴ cos 2q = cos 2 q - sin 2 q = ( cos q + sin q ) ( cos q - sin q ) = ; 7分 9 1 8 法 2:∵ sin q + cos q = ,两边平方得, sin 2q = - ……………3 分 3 9 ? 3? 3? 因为 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos? ? 0 ,所以 ? ? ? , ? ? 2? ? , ……5 分 2 4 2 8 17 cos 2? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? . ………………………………………………7 分 9 9 5 ? 5 (2)因为 0 ? ? ? 且 sin ? ? ,所以 tan ? ? , ……………………………9 分 2 12 13
解析 :解:(1)法 1∵ sin q + cos q = 因为 ?

?

3 ? 4 ? 0 ,所以 ? ? ? ? ? ? 0 ,所以 tan(? ? ? ) ? ? ,……11 分 5 2 3 4 5 ? ? 33 所以 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? 3 12 ? ? .……………………………14 分 4 5 56 1? ? 3 12
又 cos(? ? ? ) ? 【思路点拨】(1)根据 cos 2q = cos q - sin q = cosq +sinq
2 2

2

?? ? 0? ? ?

?

2

,所以 ? ? ? ? ? ? ? 0 ,

(

)( cosq - sinq ) 结合已知
1 两 3

条件可知,只需求得 cos q - sin q 的值即可,因此可以考虑将已知等式 sin q + cos q = 边平方,得到 2sin q cos q = 2

8 ,从而 9
2

( sin q - cosq ) = ( sin q + cosq )
sin q - cosq =

- 4sin q cosq =

17 ,再由 0 < q < p 可知 9

17 ,从而得到结果;(2)已知条件中给出了 a - b 与 b 的三角函数值, 3

结合问题,考虑到 a = (a - b ) + b ,因此考虑采用两角和的正切公式进行求解,利用同角三 角函数的基本关系,结合已知条件中给出的角的范围 ?

?
2

?? ? 0? ? ?

?
2

易得

tan ? ?

5 4 , tan(? ? ? ) ? ? ,进而求得结果.21cnjy.com 12 3

【文·浙江效实中学高二期末·2014】21.在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为内角 A、B、C 所对的边,且满足:

sin B ? sin C 2 ? cos B ? cos C ? . sin A cos A (1) 证明: b ? c ? 2a ;
(2) 如图,点 O 是 ?ABC 外一点,设 ?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) ,

C

B

o

?

A
第 21 题图

OA ? 2OB ? 2 ,当 b ? c 时,求平面四边形 OACB 面积的最大值.
【知识点】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 【答案解析】B 解析:解: (1)证明:由已知得: cos A sin B ? cos A sin C ? 2sin A ? cos B sin A ? cos C sin A

? sin C ? sin B ? 2sin A , b ? c ? 2a
2 (2)由余弦定理得 a ? 5 ? 4cos ? ,则

1 3 2 5 3 ? 5 3 S ? ?1? 2 ? sin ? ? a = sin ? ? 3 cos ? ? ? 2sin(? ? ) ? 2 4 4 3 4
0 ? ? ? ? ,当 ? ?

?
3

?

?
2

即? ?

5 3 5? 时, S max ? ?2 4 6

【思路点拨】 再解三角形问题时, 恰当的利用正弦定理或余弦定理进行边角的转化是解题的 关键.在求三角形的面积时,若已知内角,可考虑用含夹角的面积公式进行计算.

【文·浙江效实中学高二期末·2014】19. ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 已知 a ? 6, A ? 60 , b ? c ? 3 ?1 ,求 b, c 和 B, C . 【知识点】余弦定理、正弦定理 【答案解析】 b ? 1 ? 3, c ? 2 ; B ? 75 , C ? 45 解析:解:由余弦定理得

6 ? b 2 ? c 2 ? bc ? ? b ? c ? ? bc ? 4 ? 2 3 ? bc ,
2

3 sin A 2 ?c ? 2 ?2 ? 即 bc ? 2 ? 2 3与b-c= 3 ?1联立得b ? 1 ? 3, c ? 2 , 又 sinC= , a 2 6
由 c<a,得 C<A,所以 C 为锐角,则 C ? 45 ,所以 B=180°-C-A=75°. 【思路点拨】 在解三角形问题中, 结合已知条件恰当的选择余弦定理或正弦定理进行转化是 解题的关键.

【文·浙江效实中学高二期末· 2014 】 2 .若 ? 是第二象限角,且 tan(? ? ? ) ?

3? cos( ? ? )? 2
(A)

1 ,则 2

3 2

(B) ?

3 2

(C)

5 5

(D) ?

5 5

【知识点】诱导公式,同角三角函数基本关系式 【答案解析】D 解析:解:因为 tan(? ? ? ) ?

cos(

3? 2? ? ? ) ? -sinα <0,所以排除 A、C,由正切值可知该角不等于 ,则排除 B,所 2 3

1 1 ,得 tanα =- ,而 2 2

以选 D 【思路点拨】遇到三角函数问题,有诱导公式特征的应先用诱导公式进行化简,能用排除法 解答的优先用排除法解答.

【文·浙江绍兴一中高二期末`2014】11. cos 【知识点】诱导公式. 【答案解析】-

5? 的值等于__________; 6

骣 p 3 p 3 5? 解析 :解:由诱导公式可得:cos , = cos 琪 p= - cos = 琪 6 2 6 2 桫 6
3 . 2

故答案为: -

【思路点拨】直接使用诱导公式化简在求值即可.

【文· 四川成都高三摸底· 2014】 11. 已知 a∈ ? 0,

? ?

??

4 s i ( 则n ? , cos ? ? , 2? 5

?) ?? ?



【知识点】诱导公式、同角三角函数基本关系式.

【答案解析】

3 3 ? ?? 2 解析:解:因为 ? ? ? 0, ? ,所以 sin ?? ? ? ? ? sin ? ? 1 ? cos ? ? . 5 5 ? 2?

【思路点拨】 在三角求值中有诱导公式特征的应先用诱导公式化简, 本题先化简再利用同角 三角函数中的余弦和正弦的平方关系计算,注意开方时要结合角所在的象限确定开方的符 号.

【理·浙江效实中学高二期末`2014】20.已知函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 sin x cos x . (Ⅰ)求 f (

?

12

) 的值;
π 4

(Ⅱ)记函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? f ( x ?

? ? π ) ,若 x ? [ , ] ,求函数 g ( x) 的值域. 12 3 4

【知识点】三角恒等变换、正弦函数的性质的应用 【答案解析】(Ⅰ) 解析:解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x ,所以 f (

3 3 3 ? (Ⅱ) [? ,1] 2 2 2

1 3 3 3 ; ) ? 1? ? ? ? 12 2 2 2 2

?

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) ? (1 ? sin 2 x ? cos 2 x) ? (1 ? sin 2 x ? cos 2 x)

π 4

π 4

g ( x) ? 1 ? (sin 2x ? cos 2 x)2 ? 2sin 2 x cos 2 x ? sin 4 x
∵ x ?[

, ] 12 3

? ?

∴ 4x ?[

? 4?
3 , 3

]

∴ g ( x) ? sin 4 x ? [?

3 ,1] 2

所以 g ( x) 的值域为 [?

3 ,1] 2

【思路点拨】 研究三角函数的性质, 一般先利用三角恒等变换把函数化成一个角的三角函数, 再进行解答.

【理·浙江效实中学高二期末`2014】19. ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,已 知 a ? 6, A ? 60 , b ? c ? 3 ?1 ,求 b, c 和 B, C . 【知识点】余弦定理、正弦定理 【答案解析】 b ? 1 ? 3, c ? 2 ; B ? 75 , C ? 45 解析:解:由余弦定理得

6 ? b 2 ? c 2 ? bc ? ? b ? c ? ? bc ? 4 ? 2 3 ? bc ,
2

3 sin A 2 ?c ? 2 ?2 ? 即 bc ? 2 ? 2 3与b-c= 3 ?1联立得b ? 1 ? 3, c ? 2 , 又 sinC= , a 2 6
由 c<a,得 C<A,所以 C 为锐角,则 C ? 45 ,所以 B=180°-C-A=75°. 【思路点拨】 在解三角形问题中, 结合已知条件恰当的选择余弦定理或正弦定理进行转化是 解题的关键.

【理· 浙江效实中学高二期末`2014】 6. 已知 ? 的值为 (A) ?3 (B) 3 或

?
2

?? ?

?
2

, 且 sin ? ? cos ? ?

10 tn ? , 则a 5

1 3

(C) ?

1 3

(D) ?3 或 ?

1 3

【知识点】同角三角函数基本关系式、三角函数的性质 【答案解析】 C 解析: 解: 因为 0< sin ? ? cos ? ? 所以 ?1 ? tan ? ? 0 ,则选 C 【思路点拨】 熟悉 sin ? ? cos ? 的值与其角ζ 所在象限的位置的对应关系是本题解题的关键.

? ? ? 10 ? <1, 而? ?? ? , 得? ? ? 2 2 4 5

0,

【理·浙江效实中学高二期末 `2014 】 2 .若 ? 是第二象限角,且 tan(? ? ? ) ?

3? cos( ? ? )? 2
(A)

1 ,则 2

3 2

(B) ?

3 2

(C)

5 5

(D) ?

5 5

【知识点】诱导公式,同角三角函数基本关系式 【答案解析】D 解析:解:因为 tan(? ? ? ) ?

cos(

3? 2? ? ? ) ? -sinα <0,所以排除 A、C,由正切值可知该角不等于 ,则排除 B,所 2 3

1 1 ,得 tanα =- ,而 2 2

以选 D 【思路点拨】遇到三角函数问题,有诱导公式特征的应先用诱导公式进行化简,能用排除法 解答的优先用排除法解答.www-2-1-cnjy-com

【理·浙江绍兴一中高二期末·2014】11. cos

5? 的值等于 6





【知识点】诱导公式. 【答案解析】-

骣 p 3 p 3 5? 解析 :解:由诱导公式可得:cos , = cos 琪 p= - cos = 琪 6 2 6 2 桫 6
3 . 2

故答案为: -

【思路点拨】直接使用诱导公式化简在求值即可.

【 理 · 浙 江 宁 波 高 二 期 末 `2014 】 18.( 本 题 满 分

14 分 ) 已 知 函 数

?? ? ?? ? f ? x ? ? 2sin ? x ? ? sin ? x ? ? , x ? R . 6? ? 3? ?
(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)在 ?ABC 中,若角 A ?

?
4

, 锐角C满足f (

C ? 1 BC 的值. ? ) ? ,求 2 6 2 AB

【知识点】诱导公式;最小正周期;正弦定理. 【答案解析】(I) p (II) 2 解析 :解:(I)因为 f x = 2sin 琪 x琪

( )

骣 p 骣 p p p p sin 琪 x + = = 2sin( x - ) sin[ + ( x - )] 琪 6 2 6 桫 6 桫 3

= 2sin( x -

骣 p p p ) cos( x - ) = sin 琪 2x , ………………………5 分 琪 6 6 3 桫

2p =p , 2 c p c p p (Ⅱ)由(I)得, f ( + ) = sin[2( + ) - ] = sin C, 2 6 2 6 3 1 p 由已知, sin C = ,又角 C 为锐角,所以 C = ……………11 分 6 2
所以函数 f ? x ? 的最小正周期为 有正弦定理得

π 2 BC sin A 4 ? 2 ? 2. ? ? 1 AB sin C sin π 6 2 sin

……………14 分

【思路点拨】(I)先把原函数式化简整理得 f ( x) = sin 琪 2x 琪

骣 桫

p , 再利用公式即可;(Ⅱ) 3

先解出 f ( + ) = sin C ,进而可得C的值,再利用正弦定理可求的结果.

c p 2 6

【理· 四川成都高三摸底· 2014】 11. 已知 a∈ ? 0,

? ?

??

4 则n s i ( ? , cos ? ? , 2? 5

?) ?? ?



【知识点】诱导公式、同角三角函数基本关系式. 【答案解析】

3 3 ? ?? 2 解析:解:因为 ? ? ? 0, ? ,所以 sin ?? ? ? ? ? sin ? ? 1 ? cos ? ? . 5 5 ? 2?

【思路点拨】 在三角求值中有诱导公式特征的应先用诱导公式化简, 本题先化简再利用同角 三角函数中的余弦和正弦的平方关系计算, 注意开方时要结合角所在的象限确定开方的符号.
【出处:21 教育名师】

【理·吉林长春十一中高二期末·2014】17.(满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所

对的边分别为 a, b, c ,已知

a c , ? 3 cos A sin C

(Ⅰ)求 A 的大小;【来源:全,品…中&高*考*网】 (Ⅱ)若 a ? 6 ,求 b ? c 的取值范围. 【知识点】正 弦 定 理 ; 余 弦 定 理 . p 【答案解析】(Ⅰ) A = (Ⅱ) ( 6,12] 3 解析 :解:(Ⅰ)由已知条件结合正弦定理有:
3 cos A ? sin A, tan A ? 3 ,? 0 ? A ? ? ,? A ?

a c a ,从而: ? ? 3 cos A sin C sin A

?
3

(Ⅱ)由正弦定理得:

b c a ? ? ? 4 3 ,? b ? 4 3 sin B, c ? 4 3 sin C sin B sin C sin A

? ? ? b ? c ? 4 3 sin B ? 4 3 sin C ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B)? 3 ? ?
? 12 sin( B ? ) 6
?

?

?
6

? B?

?
6

?

5? ? ,? 6 ? 12 sin( B ? ) ? 12 ,即: b ? c ? ?6,12? 6 6

【思路点拨】( Ⅰ ) 由 条 件 结 合 正 弦 定 理 得 , 求 得 tan A = 3 , 可 得 A 的 值 .

a c a , ? ? 3 cos A sin C sin A

( Ⅱ ) 由正弦定理得: b = 4 3sin B, c = 4 3sin C ,从 而 得 到 b + c 的解析式,然

后求出其取 值 范 围 .

【理·吉林长春十一中高二期末·2014】5.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为

a, b, c ,若 b ? c ? 2a , 3 sin A ? 5 sin B ,则角 C ? (

) D.
5? 6

A.

2? 3

B.

?
3

C.

3? 4

【知识点】余弦定理;正弦定理. 【答案解析】A 解析 :解:∵ ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,由

b ? c ? 2a , 3 sin A ? 5 sin B ,
ì ? b + c = 2a 结合正弦定理可得 í ,化简可得 ? ? 3a = 5b
骣 5 琪 琪b 3 桫
ì 5 ?a= b ? 3 . í 7 ? ?c= b 3 ?

再由余弦定理可得 cos C =

a 2 + b2 + c2 = 2ab

骣 7 +b - 琪 琪b 3 桫 骣 5 2创 琪 琪b b 3 桫
2

2

2

=-

1 2p ,故 C = , 3 2

故选B.
ì 5 ?a= b ? 3 【思路点拨】由条件利用正弦定理可得 í ,再由余弦定理求得 cos C 的值, 7 ? ?c= b 3 ?

即可求得角C的值. 【典型总结】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,已知三角函数值求角 的大小.

【黑龙江哈六中高一期末·2014】15.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,

a ? 2 ,且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b) sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为
【知识点】正 弦 定 理 的 应 用 ; 基 本 不 等 式 . 【答案解析】 3 解析 :解:△ ABC 中 , ∵ a ? 2 , 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b) sin C
2 2 ∴ 利 用 正 弦 定 理 可 得 4 - b = c - b c, 即 b + c - bc = 4 .

2

(

)

再 利 用 基 本 不 等 式 可 得 4 ? 2bc bc = bc ,∴ bc ? 4 ,当 且 仅 当 b = c = 2 时 取 等 号 , 此 时 , △ ABC 为 等 边 三 角 形 , 它 的 面 积 为

3 1 1 bc ×sinA = ×2×2× = 3, 2 2 2

故答案为:

3.

【思路点拨】由 条 件 利 用 正 弦 定 理 可 得 b2 + c 2 - bc = 4 ; 再 利 用 基 本 不 等 式 可 得

bc ? 4 , 当 且 仅 当 b = c = 2 时 , 取 等 号 , 此 时 , △ ABC 为 等 边 三 角 形 , 从 而 求 得
它的面积

1 bc ×sinA 的 值 . 2

【黑龙江哈六中高一期末·2014】4.钝角三角形 ABC 的面积是 则 AC ? ( (A)5 ) (B) 5 (C)2 (D)1[]

1 , AB ? 1 , BC ? 2 , 2

【知识点】余 弦 定 理 ; 三 角 形 面 积 公 式 ; 以 及 同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系 . 【答案解析】 B 解析 : 解: ∵ 钝 角 三 角 形 ABC 的 面 积 是

1 , AB = c = 1 ,BC = a = 2 , 2



1 1 2 ac sin B = , 即 s i nB = , 2 2 2

当 B 为 钝 角 时 , c o sB = -

1 - s i2nB = -

2 , 2

2 2 2 鬃 BC cos =B 5 利 用 余 弦 定 理 得 : AC = AB + BC - 2 AB , 即 AC = 5 ,

当 B 为 锐 角 时 , c o sB =

1 - s i2nB =

2 , 2

2 2 2 鬃 BC cos =B 1 利 用 余 弦 定 理 得 : AC = AB + BC - 2 AB , 即 AC = 1 ,

2 2 2 此 时 AB + AC = BC, 即 △ ABC 为 直 角 三 角 形 , 不 合 题 意 , 舍 去 ,

则 AC = 5 . 故 选 : B. 【思路点拨】利 用 三 角 形 面 积 公 式 列 出 关 系 式 , 将 已 知 面 积 , AB , BC 的 值 代 入 求 出 sin B 的 值 , 分 两 种 情 况 考 虑 : 当 B 为 钝 角 时 ; 当 B 为 锐 角 时 , 利 用 同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系 求 出 c o sB 的 值 , 利 用 余 弦 定 理 求 出 AC 的 值 即 可 .

【 甘 肃 兰 州 一 中 高 一 期 末 考 试 · 2014 】 2 . ( ) A. ?

sin 7 cos37 ? sin83 cos53

的值为

1 2

B.

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

【知识点】两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 . 【答案解析】A 解析 :解: sin 7 cos37 - sin 83 cos53 = cos830cos370 - sin830sin370

= cos1200 = = cos(830 + 370)

1 . 2

故 选 A. 【思路点拨】由 题 意 知 本 题 是 一 个 三 角 恒 等 变 换 , 解 题 时 注 意 观 察 式 子 的 结 构 特
0 0 点 , 根 据 同 角 的 三 角 函 数 的 关 系 , 把 7 的 正 弦 变 为 83 的 余 弦 , 把 53 的 余 弦 变

为 37 的 正 弦 ,根 据 两 角 和 的 余 弦 公 式 逆 用 ,得 到 特 殊 角 的 三 角 函 数 ,得 到 结 果 . 【典型总结】本 题 考 查 两 角 和 与 差 的 公 式 ,是 一 个 基 础 题 ,解 题 时 有 一 个 整 理 变 化 的 过 程 ,把 式 子 化 归 我 可 以 直 接 利 用 公 式 的 形 式 是 解 题 的 关 键 ,熟 悉 公 式 的 结 构是解题的依据.

0

【甘肃兰州一中高一期末考试·2014】1.若 ? 为第三象限,则

cos? 1 ? sin ?
2

?

2 sin ? 1 ? cos2 ?

的值为 ( ) A.3 B.-3 C .1 D.-1 【知识点】同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 ; 平 方 关 系 . 【答案解析】B 解析 :解:∵ ? 为第三象限,∴ sin a < 0 , cos a < 0 则

cos? 1 ? sin ?
2

?

2 sin ? 1 ? cos ?
2

=

cos a 2sin a + = - 1- 2 = - 3. cos a sin a

故 选 B. 【思路点拨】对 于 根 号 内 的 三 角 函 数 式 , 通 过 平 方 关 系 去 掉 根 号 , 注 意 三 角 函 数 值的正负号,最后化简即得.

【福建南安一中高一期末·2014】21. 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已 知

cos A ? 2 cos C 2c ? a . ? cos B b sin C (1)求 的值; sin A

(2)若 cos B ?

1 , b ? 2 ,求△ ABC 的面积 S . 4
15 4

【知识点】正弦定理,余弦定理,三角形面积公式 【答案解析】(1)2;(2)

解析:解:

a b c ? ? ? k, (1)由正弦定理,设 sin A sin B sin C

2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , k sin B sin B 则 b cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . cos B sin B 所以
即 (cos A ? 2 cos C ) sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B ) ? 2sin( B ? C ).

又 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. 因此 sin A

sin C ?2 (2)由 sin A 得 c ? 2a. 由余弦定理

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B及 cos B ? , b ? 2, 4 1 得4=a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? . 4
解得 a =1。因此 c=2

15 sin B ? . 1 4 又因为 cos B ? ,且 0 ? B ? ? ,所以 4 S?
因此

1 1 15 15 ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 2 2 4 4

【思路点拨】 在解三角形问题中, 一般遇到边角混合条件可先考虑利用正弦定理或余弦定理 把条件转化为单一的角的关系或单一的边的关系再进行解答; 在求三角形面积时, 若已知一 内角可考虑用含夹角的面积公式进行计算.

【福建南安一中高一期末·2014】17.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已

知 a ? 2 , c ? 5 , cos B ?

3 . 5

(1)求 b 的值; (2)求 sin C 的值. 【知识点】余弦定理,正弦定理 【答案解析】(1) 17 ;

4 17 (2)解析:解:(1)由余弦定理得 17

3 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ? ? 17 ,所以 17 ; 5
(2)因为 cos B ?

3 4 b c , 所以 sin B ? ,由正弦定理 ? 5 5 sin B sin C

,即

17 5 ? 4 sin C 5

所以 sin C ?

4 17 . 17

【思路点拨】 三角形已知两边及夹角的余弦求第三边用余弦定理, 已知两边及一边所对角的 正弦,求另一边所对角的正弦值用正弦定理.21· cn· jy· com

【福建南安一中高一期末·2014】9. 已知两座灯塔 A、B 与 C 的距离都是 a ,灯塔 A 在 C 的 北偏东 20°,灯塔 B 在 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( ) A. a B. 2a C.

2a

D. 3a

【知识点】利用余弦定理解三角形 【答案解析】D 解析:解:因为灯塔 A 在 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在 C 的南偏东 40°,所
2 2 2 2 以∠ACB=120°,由余弦定理得 AB ? a ? a ? 2 ? a ? a ? cos120? ? 3a ,则 3a ,所以

选 D. 【思路点拨】根据 A、B 与 C 的方位角及距离,把三个点放在三角形中,已知两边及其夹 角求第三边,用余弦定理求 AB 距离.

【福建南安一中高一期末· 2014】8. 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若

6 b 2 ? c 2 ?a 2 ? bc ,则 sin( B ? C ) ? ( 5 4 4 A.- B. 5 5

) C.-

3 5

D.

3 5

【知识点】余弦定理、三角形内角和公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式
2 2 2 【答案解析】 B 解析:解:因为 b ? c ? a ?

b2 ? c 2 ? a 2 3 6 bc ,所以 cos A ? ? , 5 2bc 5

sin A ? 1 ? cos 2 A ?

4 4 ,则 sin(B+C)=sinA= ,所以选 B. 5 5

【思路点拨】结合余弦定理可由条件直接得出 cosA,再利用角形内角和公式、诱导公式及 同角三角函数基本关系式进行计算.

【文·浙江温州十校期末联考·2014】18. (本题满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的 对边分别为 a , b , c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac (1)求 B; (2)若△ABC 的面积 S= 4 3 , a =4,求边 b 的长度. 【知识点】正 弦 、 余 弦 定 理 ; 三 角 形 面 积 公 式 . 【答案解析】(1)B=120°(2) 4 3 解析 :解: (1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a +c -b =-ac. 2 2 2 a +c -b 1 由余弦定理得 cos B= =- , 2ac 2 因此 B=120°. ……………………………………………………………6 分 1 1 3 3 (2)由 S= ac sin B= ac· = ac=4 2 2 2 4 所以 A=C=30 , 由正弦定理得 b=
0 2 2 2

3,得 ac=16,又 a=4,知 c=4. ……8 分 3.………………… ………12 分

a sin B =4 sin A

【思路点拨】 ( 1 )利 用 余 弦 定 理 表 示 出 cosB ,已 知 等 式 整 理 后 代 入 求 出 cosB 的 值 , 即 可 确 定 出 B 的 度 数 ; ( 2 ) 利 用 三 角 形 面 积 公 式 列 出 关 系 式 , 将 sinB 与 a 的 值 代 入 求 出 c 的 值 , 再 利 用 等 边 对 等 角 确 定 出 A=C , 由 正 弦 定 理 即 可 求 出 b 的 值 .

【文·浙江温州十校期末联考·2014】12.若 sin(? ? ? ) ? ?

1 ?? ? , ? ? ? , ? ? ,则 2 ?2 ?

cos ? ? ___▲___
【知识点】平方关系;诱导公式. 【答案解析】 ?

1 3 1 ?? ? 解析 : 解: 由 sin(? ? ? ) ? ? 化简得 sin a = , 又因为 ? ? ? , ? ? , 2 2 2 ?2 ?

所以 cos ? ? ?

3 3 ,故答案为 ? . 2 2

【思路点拨】先利用诱导公式化简得到 sin a ,再用平方关系计算即可.

【文·江西鹰潭一中高一期末·2014】18.(本题 12 分)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且满足 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . 【版权所有:21 教育】

(Ⅰ)求角 A 的值;(Ⅱ)若 a ? 3 ,求 bc 最大值。 【知识点】余弦定理;正弦定理. 【答案解析】(Ⅰ)A= (Ⅱ)3

解析 :解:(Ⅰ)△ABC 中,∵b2+c2﹣a2=bc,∴由余弦定理可得 cosA= ∴A= . ,∵b2+c2﹣a2=bc≥2bc﹣a2=2bc﹣3,∴bc≤3,当且仅当 b=c 时取等号,

= ,

(Ⅱ)若 a=

故bc最大值为3. 【思路点拨】(Ⅰ)△ABC 中,由条件利用余弦定理可得 cosA= ,从而求得 A 的值. (Ⅱ)由a= ,b2+c2﹣a2=bc,利用基本不等式求得bc≤3,从而得到bc最大值.

【文·江西鹰潭一中高一期末·2014】10.锐角三角形 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分 别为 a, b, c ,若 B ? 2 A ,则 A. (1, 2) 【知识点】正弦定理. 【答案解析】B 解析 :解:锐角△ABC 中,由于 A=2B,∴0°<2B<90°,且 2B+B>90, ∴30°<B<45°,∴ 由正弦定理可得 = ∴ <2cosB< , = . =2cosB,

b 的取值范围是( a

) D. ( 3, 2 2)

B. ( 2, 3)

C. (1, 3)

故选B. 【 思 路 点 拨 】 由 条 件 求 得 30° < B < 45° , = =2cosB,从而求得 的范围. ,再利用正弦定理可得

【理·浙江温州十校期末联考·2014】18. (本题满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的 对边分别为 a , b , c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac (1)求 B; (2)若△ABC 的面积 S= 4 3 , a =4,求边 b 的长度.

【知识点】正 弦 、 余 弦 定 理 ; 三 角 形 面 积 公 式 . 【答案解析】(1)B=120°(2) 4 3 解析 :解: (1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a +c -b =-ac. 2 2 2 a +c -b 1 由余弦定理得 cos B= =- , 2ac 2 因此 B=120°. ……………………………………………………………6 分 1 1 3 3 (2)由 S= ac sin B= ac· = ac=4 2 2 2 4 所以 A=C=30 , 由正弦定理得 b=
0 2 2 2

3,得 ac=16,又 a=4,知 c=4. ……8 分 3.………………… ………12 分

a sin B =4 sin A

【思路点拨】 ( 1 )利 用 余 弦 定 理 表 示 出 cosB ,已 知 等 式 整 理 后 代 入 求 出 cosB 的 值 , 即 可 确 定 出 B 的 度 数 ; ( 2 ) 利 用 三 角 形 面 积 公 式 列 出 关 系 式 , 将 sinB 与 a 的 值 代 入 求 出 c 的 值 , 再 利 用 等 边 对 等 角 确 定 出 A=C , 由 正 弦 定 理 即 可 求 出 b 的 值 .

【理·浙江温州十校期末联考·2014】12.若 sin(? ? ? ) ? ?

1 ?? ? , ? ? ? , ? ? ,则 2 ?2 ?

cos ? ? ___▲___
【知识点】平方关系;诱导公式. 【答案解析】 ?

1 3 1 ?? ? 解析 : 解: 由 sin(? ? ? ) ? ? 化简得 sin a = , 又因为 ? ? ? , ? ? , 2 2 2 ?2 ?

所以 cos ? ? ?

3 3 ,故答案为 ? . 2 2

【思路点拨】先利用诱导公式化简得到 sin a ,再用平方关系计算即可.

【江西鹰潭一中高一期末· 2014】18.(本题 12 分)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角

A、B、C 的对边,且满足 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc .
(Ⅰ)求角 A 的值;(Ⅱ)若 a ? 【知识点】余弦定理;正弦定理. 【答案解析】(Ⅰ)A= (Ⅱ)3

3 ,求 bc 最大值.

解析 :解:(Ⅰ)△ABC 中,∵b2+c2﹣a2=bc,∴由余弦定理可得 cosA= ∴A= . ,∵b2+c2﹣a2=bc≥2bc﹣a2=2bc﹣3,∴bc≤3,当且仅当 b=c 时取等号,

= ,

(Ⅱ)若 a=

故bc最大值为3. 【思路点拨】(Ⅰ)△ABC 中,由条件利用余弦定理可得 cosA= ,从而求得 A 的值. (Ⅱ)由a= ,b2+c2﹣a2=bc,利用基本不等式求得bc≤3,从而得到bc最大值.

【江西鹰潭一中高一期末·2014】10.锐角三角形 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为

b a, b, c ,若 B ? 2 A ,则 的取值范围是( a
A. (1, 2) 【知识点】正弦定理. B. ( 2, 3)

)21 教育网 C. (1, 3) D. ( 3, 2 2)

【答案解析】B 解析 :解:锐角△ABC 中,由于 A=2B,∴0°<2B<90°,且 2B+B>90, ∴30°<B<45°,∴ 由正弦定理可得 = ∴ <2cosB< , = . =2cosB,

故选B. 【 思 路 点 拨 】 由 条 件 求 得 30° < B < 45° , = =2cosB,从而求得 的范围.2· 1· c· n· j· y ,再利用正弦定理可得

C3
?

三角函数的图象与性质

【浙江宁波高一期末·2014】8.已知函数 f ( x) ? sin x ? ? cos x 的图象的一个对称中心是点

( ,0) ,则函数 g ( x) = ? sin x cos x ? sin 2 x 的图象的一条对称轴是直线 3 5? 4? ? ? A. x ? B. x ? C. x ? D. x ? ? 6 3 3 3
【知识点】正弦函数的对称中心;正弦函数的对称轴. 【答案解析】D 解析 :解 : 因 为 函数 f ( x) ? sin x ? ? cos x 的图象的一个对称中心是点

p p p ? ( ,0) ,所以 f ( ) = 0, 即 sin + l cos = 0, 解得 l = - 3 , 3 3 3 3 p 1 故 g ( x) = - 3sin x cos x +sin 2 x ,整理得: g ( x) = - sin(2 x + ) + ,所以对称轴直线方 6 2 p p ? 程为 2 x + = kp + ,当 k = - 1 时,一条对称轴是直线 x ? ? . 6 2 3

故选 D. 【思路点拨】先通过图像的一个对称中心是点 ( 轴. 【文·浙江效实中学高二期末·2014】20.已知函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 sin x cos x . (Ⅰ)求 f (

?
3

,0) 求出 l ,再代入 g(x)即可求出其对称

?

12

) 的值;
π 4

(Ⅱ)记函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? f ( x ?

? ? π ) ,若 x ? [ , ] ,求函数 g ( x) 的值域. 12 3 4

【知识点】三角恒等变换、正弦函数的性质的应用 【答案解析】(Ⅰ) 解析:解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x ,所以 f (

3 3 3 ? (Ⅱ) [ ? ,1] 2 2 2

1 3 3 3 ; ) ? 1? ? ? ? 12 2 2 2 2

?

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) ? (1 ? sin 2 x ? cos 2 x) ? (1 ? sin 2 x ? cos 2 x)

π 4

π 4

g ( x) ? 1 ? (sin 2x ? cos 2 x)2 ? 2sin 2 x cos 2 x ? sin 4 x
∵ x ?[

, ] 12 3

? ?

∴ 4x ?[

? 4?
3 , 3

]

∴ g ( x) ? sin 4 x ? [?

3 ,1] 2

所以 g ( x) 的值域为 [?

3 ,1] 2

【思路点拨】 研究三角函数的性质, 一般先利用三角恒等变换把函数化成一个角的三角函数, 再进行解答. 【文·浙江效实中学高二期末·2014】12.函数 y ? 1 ? 4cos x 的单调递增区间是__ ▲ _.
2

【知识点】余弦函数的性质 【 答 案 解 析 】 [ k? ?

?
2

, k? ]? k? Z? 解 析 : 解: 因 为 y ? 1 ? 4cos2 x ? 2cos 2 x ? 3 , 由

2k? ? ? ? 2 x ? 2k? ,得 k? ?

?
2

? x ? k?? k ? Z ? ,所以所求函数的单调递增区间为

[ k? ?

?
2

, k? ] ? k ? Z ?

.

【思路点拨】一般求三角函数的单调区间,先把三角函数化成一个角的函数,再结合其对应 的基本三角函数的单调区间与复合函数的单调性规律解答.【来源:21cnj*y.co*m】 【文· 浙江效实中学高二期末· 2014】 7. 已知 ?

?
2

?? ?

?
2

, 且 sin ? ? cos ? ?

10 t n ? , 则a 5

的值为 (A) ?3 (B) 3 或

1 3

(C) ?

1 3

(D) ?3 或 ?

1 3

【知识点】同角三角函数基本关系式、三角函数的性质 【答案解析】 C 解析: 解: 因为 0< sin ? ? cos ? ? 所以 ?1 ? tan ? ? 0 ,则选 C 【思路点拨】 熟悉 sin ? ? cos ? 的值与其角ζ 所在象限的位置的对应关系是本题解题的关键. 【文·浙江效实中学高二期末·2014】4.下列函数中最小正周期是 ? 的函数是 ( A ) y ? sin x ? cos x ( B ) y ? sin x ? cos x ( C ) y ? sin x ? cos x (D)

? ? ? 10 ? <1, 而? ?? ? , 得? ? ? 2 2 4 5

0,

y ? sin x ? cos x
【知识点】三角函数的最小正周期 【答案解析】C 解析:解:A、B 选项由化一公式可知最小正周期为 2π ,C 选项把绝对值 内的三角函数化成一个角,再结合其图象可知最小正周期为π ,D 选项可验证

? 为其 2

一个周期,综上可知选 C. 【思路点拨】 求三角函数的最小正周期常用方法有公式法和图象法, 公式法就是把三角函数 利用三角公式化成一个角的三角函数, 再利用公式计算, 当化成一个角的三角函数不方便时, 如绝对值函数,可用图象观察判断. 【 文 · 广 东 惠 州 一 中 高 三 一 调 · 2014 】 16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数

f ( x) ?

3 1 cos x ? sin x ? 1 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的值域和函数的单调递增区间; (2)当 f (? ) ?

9 ? 2? 2? ) 的值. ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? 5 6 3 3 5? ? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) . 6 6

【知识点】三角函数的值域;三角函数的单调区间;三角函数求值. 【答案解析】 (1) 函数 f ( x ) 的值域是 ? 0, 2? ; 单调增区间为 [? (2) -

24 . 25

解析 :解:依题意 f ( x) ?

? 3 1 cos x ? sin x ? 1 ? sin( x ? ) ? 1 3 2 2
………4 分

………2 分

(1) 函数 f ( x ) 的值域是 ? 0, 2? ; 令?

?
2

? 2k? ? x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,解得 ?

5? ? ? 2 k? ? x ? ? 2k? 6 6

………7 分

5? ? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) . ………8 分 6 6 ? 9 ? 4 (2)由 f (? ) ? sin(? ? ) ?1 ? , 得 sin(? ? ) ? , 3 5 3 5 ? 2? ? ? ? 3 , 所以 ? ? ? ? ? , 得 cos(? ? ) ? ? , 因为 ? ? ? ………10 分 6 3 2 3 3 5 24 2? ? ? ? 4 3 sin(2? + ) ? sin 2(? ? ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? ?2 ? ? ? ? ………12 分 25 3 3 3 3 5 5
所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 [? 【思路点拨】( 1 )把原式化简直接求值域与单调区间即可;( 2 )先由已知条件得到

sin(? ?

?
3

)?

4 ,再利用二倍角的正弦公式即可 . 5
( B ) y ? sin x ? cos x ( C ) y ? sin x ? cos x (D)

【理·浙江效实中学高二期末`2014】4.下列函数中最小正周期是 ? 的函数是 ( A ) y ? sin x ? cos x

y ? sin x ? cos x
【知识点】三角函数的最小正周期 【答案解析】C 解析:解:A、B 选项由化一公式可知最小正周期为 2π ,C 选项把绝对值 内的三角函数化成一个角,再结合其图象可知最小正周期为π ,D 选项可验证

? 为其 2

一个周期,综上可知选 C. 【思路点拨】 求三角函数的最小正周期常用方法有公式法和图象法, 公式法就是把三角函数 利用三角公式化成一个角的三角函数, 再利用公式计算, 当化成一个角的三角函数不方便时, 如绝对值函数,可用图象观察判断. 【文·吉林一中高二期末·2014】6. 已知函数 f(x)=lnx+tanα (α ∈(0,

? )) 2

的导函数为 f ?( x ) , 若使得 f ?( x0 ) = f ( x0 ) 成立的 x0 <1, 则实数α 的取值范围为 ( A.(



? ? , ) 4 2

B.(0,

? ) 3

C.(

? ? , ) 6 4

D.(0,

? ) 4

【知识点】导数的运算法则;对数函数;正切函数的单调性;导数的运算. 【答案解析】A 解析 :解: ∵f′ (x)= ,f′ (x0)= ∴ =ln x0+tan α,∴tan α= , ,f′ (x0)=f(x0), ﹣ln x0>1,即 tan α>1,

﹣ln x0,又∵0<x0<1,∴可得

∴α∈(

).故选:A. ,f′ (x0)=f(x0),可得 =ln x0+tan α,即tan

【思路点拨】由于f′ (x)= ,f′ (x0)= α= ﹣ln x0,由0<x0<1,可得

﹣ln x0>1,即tan α>1,即可得出.21·世纪*教育网

【文· 吉林一中高二期末· 2014】 5. 函数 f ( x) ? x ? sin x( x ? R) 的部分图像可能是 (



A. B. C. 【知识点】函 数 图 象 的 识 别 和 判 断 .

D.

【答案解析】D 解析 :解:∵ f ( x) ? x ? sin x( x ? R) 是 奇 函 数 , ∴ 图 象 关 于 原 点 对 称 , ∴ 排 除 A. ∵函数的导数为 f? ∴ ( x)= 1 - cos x , 0 函 数 f ( x) 在 R 上 单 调 递 增 , ∴ 排 除 C . ∵ f( -

p p p p p ) = - - sin(- ) = - +1 = 1 - - ? 0.57> - 1, ∴ 排 除 B, 2 2 2 2 2

故 选 : D. 【思路点拨】利 用 函 数 的 奇 偶 性 , 单 调 性 和 特 殊 点 的 函 数 值 的 对 应 性 进 行 排 除 .

【浙江宁波高一期末·2014】11.求值: sin 52? cos 83? ? cos 52? cos 7? ? ___________. 【知识点】诱导公式;两角和的正弦公式. 【答案解析】

2 解析 :解: 2 2 . 2

sin 52? cos 83? ? cos 52? cos 7? ? sin 52 cos83 + cos52 sin 83 = sin1350 =

故答案为;

2 . 2

【思路点拨】先用诱导公式转化,然后利用两角和的正弦公式化简求职即可.

【文·江苏扬州中学高二期末·2014】16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos(? x ?

?

6

)(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 10? .

⑴求函数 f ( x) 的对称轴方程; ⑵设 ? , ? ? [0,

?
2

] , f (5? ?

5? 6 5? 16 ) ? ? , f (5? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 5 6 17

【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的余弦函数.

【答案解析】⑴ x = -

5 p + 5kp (k 6

Z) ⑵-

13 85
……4 分

解析 :解:⑴由条件可知,

T?

2?

1 ? 5 x ? ? k? ? x ? ? ? ? 5k? (k ? Z ) 为所求对称轴方程; ……7 分 5 6 6 5? 6 ? 3 3 4 ) ? ? ? cos(? ? ) ? ? ? sin ? ? , cos ? ? ⑵ f (5? ? , 3 5 2 5 5 5 ? 6 ? 3 3 4 [0, sin ] ,所以 ) ? ? ? cos(? ? 因为 ) ?? ? ?? ? ? , cos ? ? , 2 5 2 5 5 5 5? 16 85? 16 15 ? 8 15 ?? ? [0, ] ,所以 f (5? ? ) ? ? cos f (5 ?? ? ? ,因为 ,sin )? ?? cos ? ? ,sin ? ? … …11 分 6 17 17 6 17 17 2 17 17 4 8 3 15 13 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? . ……14 分 5 17 5 17 85 1 1 p 【思路点拨】(1)由周期求得 w = ,由 x + = kp ( k Z ) ,求得对称轴方程. 5 5 6 ? ? 5p 6 ) = - ,可得sinα 的值,可得cosα的值.由 (2)由 ? ? [0, ] , ? ? [0, ] , f (5a + 2 2 3 5 5p 16 f (5 b )= , 求得cosβ的值, 可得sinβ 的值, 从而求得 cos (α+β) =cosαcosβ﹣sinαsinβ 6 17
则由 的值.

?

? 10? ? ? ?

1 , 5

【 文 · 江 苏 扬 州 中 学 高 二 期 末 · 2014 】 8 . 函 数 f ( x)? s i n x ? ▲ . 【知识点】两角和与差的正弦函数. 【答案解析】 [? 2, 2] 解析 :解: f(x)=sinx﹣cosx= ∵ ∈[﹣1,1].∴ . . =

的 c ox s 值域为



∴函数 f(x)=sinx﹣cosx 的值域为 故答案为: .

【思路点拨】由f(x)=sinx﹣cosx=

,即可得出.

【 理 · 浙 江 效 实 中 学 高 二 期 末 `2014 】 12 . 已 知 在 ?ABC 中 ,

t aA n?

tB a?n

? 3

__n ▲ _. A 3 ? t ,则角 aB n C t?a

【知识点】两角和的正切公式 【 答 案 解 析 】 60 解 析 : 解 : 由 tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A ? tan B 得

tan A ? tan B ? 3 tan A ? tan B ? 3, 则 tan C ? ? tan ? A ? B ? ? ?

tan A ? tan B ? 3 1 ? tan A ? tan B

,又 C 为三角形内角,所以 C=60° 【思路点拨】 一般遇到两角的正切和与正切积的关系, 可考虑利用两角和的正切公式进行转 化. C3 13.函数 y ? 1 ? 4cos2 x 的单调递增区间是__ ▲ _. 【知识点】余弦函数的性质 【 答 案 解 析 】 [ k? ?

?
2

, k? ]? k? Z? 解 析 : 解: 因 为 y ? 1 ? 4cos2 x ? 2cos 2 x ? 3 , 由

2k? ? ? ? 2 x ? 2k? ,得 k? ?

?
2

? x ? k?? k ? Z ? ,所以所求函数的单调递增区间为

[ k? ?

?
2

, k? ] ? k ? Z ?

.

【思路点拨】一般求三角函数的单调区间,先把三角函数化成一个角的函数,再结合其对应 的基本三角函数的单调区间与复合函数的单调性规律解答.【来源:21·世纪·教育·网】

【理·江苏扬州中学高二期末·2014】16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos(? x ?

?

6

)(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 10? .

⑴求函数 f ( x) 的对称轴方程; ⑵设 ? , ? ? [0,

?
2

] , f (5? ?

5? 6 5? 16 ) ? ? , f (5? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 5 6 17 Z) ⑵13 85
……4 分 ……7 分

【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的余弦函数. 【答案解析】⑴ x = -

5 p + 5kp (k 6

解析 :解:⑴由条件可知,

T?

2?

1 ? 5 x ? ? k? ? x ? ? ? ? 5k? (k ? Z ) 为所求对称轴方程; 5 6 6 5? 6 ? 3 3 4 ) ? ? ? cos(? ? ) ? ? ? sin ? ? , cos ? ? ⑵ f (5? ? , 3 5 2 5 5 5 ? 6 ? 3 3 4 [0, sin ] ,所以 ) ? ? ? cos(? ? 因为 ) ?? ? ?? ? ? , cos ? ? , 2 5 2 5 5 5 5? 16 85? 16 15 ? 8 15 ?? ? [0, ] ,所以 f (5? ? ) ? ? cos f (5 ?? ? ? ,因为 ,sin )? ?? cos ? ? ,sin ? ? 6 17 17 6 17 17 2 17 17
则由

?

? 10? ? ? ?

1 , 5

… …11 分

4 8 3 15 13 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? . ……14 分 5 17 5 17 85 1 1 p 【思路点拨】(1)由周期求得 w = ,由 x + = kp ( k Z ) ,求得对称轴方程. 5 5 6 ? ? 5p 6 ) = - ,可得sinα 的值,可得cosα的值.由 (2)由 ? ? [0, ] , ? ? [0, ] , f (5a + 2 2 3 5 5p 16 f (5 b )= , 求得cosβ的值, 可得sinβ 的值, 从而求得 cos (α+β) =cosαcosβ﹣sinαsinβ 6 17
的值.
21*cnjy*com

【 理 · 江 苏 扬 州 中 学 高 二 期 末 · 2014 】 8 . 函 数 f ( x)? s i n x ? ▲ . 【知识点】两角和与差的正弦函数. 【答案解析】 [? 2, 2] 解析 :解: f(x)=sinx﹣cosx= ∵ ∈[﹣1,1].∴ . . =

的 c ox s 值域为



∴函数 f(x)=sinx﹣cosx 的值域为 故答案为: .

【思路点拨】由f(x)=sinx﹣cosx=

,即可得出.

【甘肃兰州一中高一期末考试·2014】17. (本小题 8 分)

已知 ? ? ? 0,

33 5 ? ?? ?? ? ? , ? ? ? , ? ? 且 sin(? ? ? ) ? 65 , cos ? ? ? 13 ,求 sin ? . ? 2? ?2 ?
3 5

【知识点】两角差的正弦公式;平方关系. 【答案解析】

解析 :解:∵ ? ? ?

5 12 ?? ? , ? ? , cos? ? ? ,? sin? ? . ..............................2 分 13 13 ?2 ?

又∵ 0<?<

? ?

? 3? , <?<? ,? <? ? ?< , 2 2 2 2
33 ? ,∴ <? ? ?<? , 65 2

又 sin(?

? ?) ?

56 ? 33 ? cos ?? ? ? ? ? ? 1 ? sin ?? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? , .............................4 分 65 ? 65 ?
2

2

∴ sin ? ? sin ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?

?

33 ? 5 ? ? 56 ? 12 3 ??? ? ? ?? ?? ? . 65 ? 13 ? ? 65 ? 13 5

...............................8 分

【思路点拨】先利用 ? ? ?

?? ? , ? ? 求出 cos? 与 sin? 的值,再结合已知条件以及 ?2 ?

sin ?? ? ? ? 的值求出 ? ? ? 的范围,就可以得到 cos ?? ? ? ? ,代入到
sin ? ? sin ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 的展开式中即可.www.21-cn-jy.com

【甘肃兰州一中高一期末考试· 2014】16.已知 sin x ? sin y

2 2 ? ? ,cos x ? cos y ? ,且 3 3

x, y 为锐角,则 tan( x ? y) ? ______.
【知识点】两 角 和 与 差 的 正 弦 余 弦 正 切 ; 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 ; 正 弦 余 弦 函数的诱导公式及其运用;考查正弦函数的单调性. 【答案解析】 ?

2 2 2 14 解析 :解 : sin x ? sin y ? ? ,cos x ? cos y ? ,两 式 平 方 相 5 3 3
y? ? 5 y? 0 , ∵ x, y 为 锐 角 , sinx ? sin , 9

加 得 : c o s? x ?



x ? y , sin ? x ? y ? ? ? 1 ? cos2 ? x ? y ? ? ?

2 14 , 9



tan ? x ? y ? ?

sin ? x ? y ? ? cos ? x ? y ?

?

2 14 9 ? ? 2 14 . 5 5 9

故答案为

?

2 14 . 5
2 2 ? ? ,cos x ? cos y ? 两 式 平 方 相 加 可 求 得 cos? x ? y ? , 3 3

【思路点拨】 sin x ? sin y

继 而 可 结 合 已 知 条 件 求 得 sin

? x ? y ? , 即 可 求 得 tan? x ? y ? .

【甘肃兰州一中高一期末考试·2014】9.已知 sin( 的值是 A. ? ( ) C. ?

7? 2? 4 3 ,则 sin( ? ? ) ? ? ) ? sin ? ? 6 3 5

2 3 5

B.

2 3 5

4 5

D.

4 5

【知识点】两角和与差的正弦公式;诱导公式. 【答案解析】C解析 :解:由 sin( 则 sin(a +

p 4 2? 4 3 化简可得, sin(a + ) = , ? ? ) ? sin ? ? 6 5 3 5

7p p 4 ) = - sin(a + ) = - . 6 6 5

故选:C. 【思路点拨】先把原等式化简,再利用诱导公式即可求值.

【吉林一中高一期末·2014】10. 若函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 (? ? 0, ? ? ? ) 对任意

实数 t ,都有 f (t ? A. ?

?
3

) ? f ( ?t ?

?

) ,记 g ( x) ? A cos(? x ? ? ) ? 1 ,则 g ( ) ? ( 3 3
C. ?1 D.1

?



1 2

B.

1 2

【知识点】三 角 函 数 的 图 象 和 性 质 ; 正 弦 函 数 的 对 称 性 . 【答案解析】C 解析 :解:∵ 对 任 意 实 数 t 均 有 f (t ? ∴ x=

?

3

)? f ( ?t ?

?
3

) ,

p 是 函 数 f( x) 的 对 称 轴 , 3 p p p p p f ) -1=Acos( kp + ) -1=-1 , f = kp + , k z , 则 g( ) =Acos( w? 即 w? 3 3 2 3 2
k ∈ Z , 故选 C. 【思路点拨】根 据 条 件 得 到 f( x )的 对 称 轴 ,利 用 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 对 称 轴 之 间 的关系即可得到结论.

C4

函数 y ? Asin(? x ? ? ) 的图象与性质
?
2


【文·浙江效实中学高二期末·2014】6.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |? 的图象如图所示,为了得到 f ( x) 的图象,则只要将 y ? sin 2 x 的图象

? 个单位长度 3 ? (C)向左平移 个单位长度 6
(A)向右平移

? 个单位长度 6 ? (D)向左平移 个单位长度 3
(B)向右平移

【知识点】函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 图象的应用,图象的平移变换.

【答案解析】C 解析:解:由图象得 A=1,又函数的最小正周期为 ?

? 7? ? ? ? ? ? 4 ? ? ,所 ? 12 3 ?

以 ??

2?

? 7? ? ? 2 , 将 最 小 值 点 代 入 函 数 得 sin ? 2 ? ? ? ? ? ?1 , 解 得 ? 12 ? ?
, 又

??

7? 3? ? ? 2 k? ? , ? ? 2 k? ? ? k ? Z ? 6 2 3

? ?

?
2

,所以? =

?
3





?? ? f ? x ? ? s ?i x ? n ? ?2 3? ?

? ?? ? , 显然函数 ( x) 是 g( x) ? s i n2 x 用 x ? 换 x 得到, i n f 2 ? x ? ?s 6 6? ?

所以是将 f ( x) 的图象向左平移了

? 个单位,选 C. 6
? 个单位长度, 4

【思路点拨】 由三角函数图象求函数解析式, 关键是理解 A, ω, θ 与函数图象的对应关系, 判断函数图象的左右平移就是判断函数解析式中 x 的变化. 【文·浙江绍兴一中高二期末`2014】5.将函数 y=cos2x 的图象向右平移

再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到的函数解析式为 ( ) A.y=sinx B.y=-cos4x C.y=sin4x D.y=cosx

【知识点】函 数 y=Asin ( ω x+ θ ) 的 图 象 变 换 . 【答案解析】A 解析 :解:函 数 y=cos2x 的 图 象 向 右 平 移 y=cos2( x-

p 个 单 位 长 度 ,可 得 函 数 4

p )=sin2x 的 图 象 ;再 将 所 得 图 象 的 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 2 4

倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) , 得 到 的 图 象 对 应 函 数 解 析 式 为 y=sinx , 故 选 : A. 【思路点拨】根 据 函 数 y=Asin ( ω x+ θ ) 的 图 象 变 换 规 律 , 得 出 结 论 .

【文· 浙江宁波高二期末· 2014】 7. 将函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? 个单位, 再将图象上每一点的 称,则 ? 的最小正值为( C. ? 横坐标缩短到原来的 ) A. ?

?
4

) 的图象向右平移 ? (? ? 0)

3 4

1 ? 倍, 所得图象关于直线 x ? 对 2 4 1 B. ? 2

3 8

D. ?

1 8

【知识点】三 角 函 数 图 象 的 变 换 规 律 ; 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 . 【答案解析】C 解析 :解:将 函 数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

)的图象向右平移θ 个单位所

p 2 s in(2 fx + 2 , 再 将) 图象上每一点的 4 p 1 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍 所 得 图 象 的 解 析 式 f ( x) = 2sin(4x - 2f + ) 因 为 所 得 图 4 2 (x f +) = ] 得 图 象 的 解 析 式 f ( x ) = 2 s i n [ 2象 关 于 直 线 x?

p 4

?

4 p p p 4? 2f + = kp + ,k 4 4 2 3 小正值为 ? . 8

对 称 , 所 以 当 x?

?

4 kp 3p Z整理得出 j = + ,k 2 8

时 函 数 取 得 最 值 , 所 以

Z 当 k=0 时 , θ 取得最

故 选 : C. 【思路点拨】根 据 三 角 函 数 图 象 的 变 换 规 律 得 出 图 象 的 解 析 式

p ? f ( x) = 2sin(4x - 2f + ) , 再 根 据 三 角 函 数 的 性 质 , 当 x ? 时 函 数 取 得 最 值 , 列 4 4
出关于θ 的不等式,讨论求解即可. 【文·四川成都高三摸底·2014】8.已知函数 f(x)= 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) 的图象 与直线 y= -2 的两个相邻公共点之间的距离等于 x,则 f(x)的单调递减区间是 (A) ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ,k∈z 3 ? ? 4? ? ,k∈z 3 ? ?

(B) ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

,k∈z

(C) ? 2k? ?

? ?

?
3

, 2 k? ?

(D) ? 2k? ?

? ?

?
12

, 2 k? ?

5? ? ,k∈z 12 ? ?

【知识点】函数 y=Asin(ω x+θ )的图象与性质 【答案解析】A 解析:解:因为 f ? x ? ? 2sin ? ? x ?

? ?

??

? ,则图象与直线 y= -2 的两个相邻 6?

公 共 点 之 间 的 距 离 等 于 一 个 周 期 , 所 以

2?

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?

? 6

? 2k?

3 ? ? 2? , k ? ,得 Z k? ? ? x ? k ? ? ? ? ? k ? Z ? ,所以其单调 2 6 3

?

? ? , 得 ω =2 , 由

递减区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ,k∈z 3 ? ?

选 A.

【思路点拨】注意该题中直线 y=-2 的特殊性:-2 正好为函数的最小值,所以其与函数的 两个相邻公共点之间的距离等于函数的最小正周期. 【文·江苏扬州中学高二期末·2014】18.(本小题满分 16 分) 如图,某市新体育公园的中心广场平面图如图所示,在 y 轴左侧的观光道曲线段是函数

y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) , x ?[?4, 0] 时的图象且最高点 B(-1,4),
在 y 轴右侧的曲线段是以 CO 为直径的半圆弧. ⑴试确定 A, ? 和 ? 的值; ⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道 CDO(单位:米),在点 C 与半圆弧上的一点 D 之间设计为直线段(造价为 2 万元/米),从 D 到点 O 之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为 1 万元/米).设 ?DCO ? ? (弧度),试用 ? 来表示修建步行道的造价预算,并求造价预算的 最大值?(注:只考虑步行道的长度,不考虑步行道的宽度)

y

B

C

4

?
D -4 -1
O

x

【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【答案解析】 ⑴j = 万元. 解析 :解:⑴因为最高点 B(-1,4),所以 A=4;又 E (?4, 0) , 所 以

2p ? 3 ⑵ g (? ) 在 ? ? 时取极大值, 也即造价预算最大值为 (6 ? ?) 3 6 3

T?

2?

T ? 1 ? 4

( ?

4T? )
……5 分

?, 3

?

1?为 2 因

y

?

? 12 ? ? ?

?

B

6

C

4

代入点 B(-1,4), 4 ? 4sin[ 又0 ?? ?? ?? ?

?

2? ; 3

? (?1) ? ? ] ? sin(? ? ) ? 1 , 6 6
……8 分 E -1

?

?
F 2?
O

D

x

⑵由⑴可知: y ? 4sin(

?
6

x?

2? ), 3

x ? [?4, 0] ,得点 C (0, 2 3) 即 CO ? 2 3 ,

取 CO 中点 F,连结 DF,因为弧 CD 为半圆弧,所以 ?DFO ? 2? , ?CDO ? 90? , 即 DO ? 2? ? 3 ? 2 3? ,则圆弧段 DO 造价预算为 2 3? 万元,

Rt ?CDO 中, CD ? 2 3 cos ? ,则直线段 CD 造价预算为 4 3 cos? 万元,
所以步行道造价预算 g (? ) ? 4 3 cos? ? 2 3? , ? ? (0,

?
2

). 6

……13 分

由 g ' ( x) ? 4 3(? sin ? ) ? 2 3 ? 2 3(1 ? 2sin ? ) 得当 ? ? 当 ? ? (0, 当? ? (

?

时, g ' (? ) ? 0 ,

?
6

? ?

) 时, g ' ( x) ? 0 ,即 g (? ) 在 (0, ) 上单调递增; 6

?

, ) 时, g ' ( x) ? 0 ,即 g (? ) 在 ( , ) 上单调递减 6 2 6 2

? ?

所以 g (? ) 在 ? ?

?
6

时取极大值,也即造价预算最大值为( 6 ?

3 ? )万元.……16 分 3

【思路点拨】(1)由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值. (2)由题意可得 CO ? 2 3 ,取CO中点F,求得圆弧段 造价预算为 2 3? 万元,直线段

CD造价预算为 4 3 cos ? 万元,可得步行道造价预算 g (? ) ? 4 3 cos? ? 2 3? , 再利用 导数求出函数g(θ)的单调性,从而求得g(θ)的最大值. 【理·浙江效实中学高二期末`2014】5.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中 A ? 0,| ? |? 的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只要将 f ( x) 的图象 (A)向右平移

?
2



?

12 ? (C)向左平移 个单位长度 6

个单位长度

(B)向右平移

? 个单位长度 6 ? (D)向左平移 个单位长度 12

【知识点】函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 图象的应用,图象的平移变换.

【答案解析】B 解析:解:由图象得 A=1,又函数的最小正周期为 ?

? 7? ? ? ? ? ? 4 ? ? ,所 ? 12 3 ?

以 ??

2?

? 7? ? ? 2 , 将 最 小 值 点 代 入 函 数 得 sin ? 2 ? ? ? ? ? ?1 , 解 得 ? 12 ? ?
, 又

??

7? 3? ? ? 2 k? ? , ? ? 2 k? ? ? k ? Z ? 6 2 3

? ?

?
2

,所以? =

?
3





?? ?? ? ? ? 显然 g ( x) ? sin 2 x 是函数 f (x) 用 x ? 换 x 得到, f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? , 3? 6? 6 ? ?
所以是将 f ( x) 的图象向右平移了

? 个单位,选 B. 6

【思路点拨】 由三角函数图象求函数解析式, 关键是理解 A, ω, θ 与函数图象的对应关系, 判断函数图象的左右平移就是判断函数解析式中 x 的变化.
【理·浙江绍兴一中高二期末·2014】6. 函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能的值为 个单

A.

?

4

B.

?

8

C. ?

?
4

D. ?
源:学科

?
8

【知识点】函 数 y=Asin ( ω x+ θ ) 的 图 象 变 换 ; 考 查 三 角 函 数 的 奇 偶 性 . 【答案解析】A 解析 :解:令 y=f ( x ) =sin ( 2x+ θ ) , 则 f ( x+ ∵ f ( x+

?

?

8

) =sin[2 ( x+

?

8

) + θ ]=sin ( 2x+

?

8

)为偶函数,∴

?
4

+ θ =k π +

∴ 当 k=0 时 , θ =

?
4

p ? , ∴ θ =k π + , k ∈ Z , 2 4

4

+θ ) ,

.故θ 的一个可能的值为

?

4



故 选 A. 【思路点拨】利 用 函 数 y=Asin( ω x+ θ )的 图 象 变 换 可 得 函 数 y=sin( 2x+ θ ) 的 图象沿 x 轴向左平移

?

8

个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.

【理·四川成都高三摸底·2014】8.已知函数 f(x)= 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) 的图象 与直线 y= -2 的两个相邻公共点之间的距离等于π ,则 f(x)的单调递减区间是 (A) ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ,k∈z 3 ? ? 4? ? ,k∈z 3 ? ?

(B) ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

,k∈z

(C) ? 2k? ?

? ?

?
3

, 2 k? ?

(D) ? 2k? ?

? ?

?
12

, 2 k? ?

5? ? ,k∈z 12 ? ?

【知识点】函数 y=Asin(ω x+θ )的图象与性质 【答案解析】A 解析:解:因为 f ? x ? ? 2sin ? ? x ?

? ?

??

? ,则图象与直线 y= -2 的两个相邻 6?

公 共 点 之 间 的 距 离 等 于 一 个 周 期 , 所 以

2?

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?

? 6

? 2k?

3 ? ? 2? , k ? ,得 Z k? ? ? x ? k ? ? ? ? ? k ? Z ? ,所以其单调 2 6 3
选 A.

?

? ? , 得 ω =2 , 由

递减区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ,k∈z 3 ? ?

【思路点拨】注意该题中直线 y=-2 的特殊性:-2 正好为函数的最小值,所以其与函数的

两个相邻公共点之间的距离等于函数的最小正周期 【理·江苏扬州中学高二期末·2014】18.(本小题满分 16 分) 如图,某市新体育公园的中心广场平面图如图所示,在 y 轴左侧的观光道曲线段是函数 ,

在 y 轴右侧的曲线段是以 CO 为直径的半圆弧.2-1-c-n-j-y

?

B

时的图象且最高点 B(-1,4),

y B
C
4

?
D ⑴试确定 A, x 和 ? 的值; -4 -1
O

x

⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道 CDO(单位:米),在点 C 与半圆弧上的一点 D 之间设计为直线段(造价为 2 万元/米),从 D 到点 O 之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为 1 万元/米).设 ?DCO ? ? (弧度),试用 ? 来表示修建步行道的造价预算,并求造价预算的 最大值?(注:只考虑步行道的长度,不考虑步行道的宽度) 【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【答案解析】 ⑴j = 万元. 解析 :解:⑴因为最高点 B(-1,4),所以 A=4;又 E (?4, 0) , 所 以

2p ? 3 ⑵ g (? ) 在 ? ? 时取极大值, 也即造价预算最大值为 (6 ? ?) 3 6 3

T?

2?

T ? 1 ? 4

( ?

4T? )
……5 分

?, 3

?

1?为 2 因

y

?

? 12 ? ? ?

?

B

6

C

4

代入点 B(-1,4), 4 ? 4sin[ 又0 ?? ?? ?? ?

?

2? ; 3

? (?1) ? ? ] ? sin(? ? ) ? 1 , 6 6
……8 分

?

?
F 2?
O

D

⑵由⑴可知: y ? 4sin( 即 CO ? 2 3 ,

?

6

x?

2? ), 3

x ? [?4, 0] ,得点 C (0, 2 3)

E

-1

x

取 CO 中点 F,连结 DF,因为弧 CD 为半圆弧,所以 ?DFO ? 2? , ?CDO ? 90? , 即 DO ? 2? ? 3 ? 2 3? ,则圆弧段 DO 造价预算为 2 3? 万元,

Rt ?CDO 中, CD ? 2 3 cos ? ,则直线段 CD 造价预算为 4 3 cos? 万元,
所以步行道造价预算 g (? ) ? 4 3 cos? ? 2 3? , ? ? (0,

?
2

).

……13 分

由 g ' ( x) ? 4 3(? sin ? ) ? 2 3 ? 2 3(1 ? 2sin ? ) 得当 ? ? 当 ? ? (0, 当? ? (

?
6

时, g ' (? ) ? 0 ,

?
6

? ?

) 时, g ' ( x) ? 0 ,即 g (? ) 在 (0, ) 上单调递增; 6

?

, ) 时, g ' ( x) ? 0 ,即 g (? ) 在 ( , ) 上单调递减 6 2 6 2

? ?

所以 g (? ) 在 ? ?

?
6

时取极大值,也即造价预算最大值为( 6 ?

3 ? )万元.……16 分 3

【思路点拨】(1)由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值. (2)由题意可得 CO ? 2 3 ,取CO中点F,求得圆弧段 造价预算为 2 3? 万元,直线段

CD造价预算为 4 3 cos ? 万元,可得步行道造价预算 g (? ) ? 4 3 cos? ? 2 3? , 再利用 导数求出函数g(θ)的单调性,从而求得g(θ)的最大值.
【甘肃兰州一中高一期末考试· 2014 】14. 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如下图所示,则 7π f( )= ; 12

【知识点】由 y=Asin ( ω x+ θ ) 的 部 分 图 象 确 定 其 解 析 式 ; 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数. 【答案解析】 0 解析 :解:根 据 图 象 可 知

3 5? ? 2? , T? ? ? ? ,所以 T ? 2 4 4 3

因为 T

?

2?

?

?

2? ,所以 ? ? 3, 3



x?

?
4

时,

? ? 3? , ? ?? ) ? , 0 可得 ? ? ? f ( ) ? 0, 即 2 s i n(3 4 4 4

所以

f(

7? 7? 3? ) ? 2 si n(3 ? ? ) ? 2 si ? n ? .0 12 12 4

故 答 案 为 : 0. 【思路点拨】根 据 所 给 的 图 形 可 以 看 出 振 幅 和 一 个 半 周 期 , 把 图 象 的 第 一 个 点 代 入 ,即 ?

?? ? ,0 ? 在 函 数 的 图 象 上 ,做 出 θ 的 值 ,做 出 函 数 的 解 析 式 ,求 出 函 数 值 . ?4 ?
?
6 ? ? ) ? x ? 1在 [

2 【甘肃兰州一中高一期末考试·2014】7.函数 f ( x) ? x ? tan(

3 , ??) 上 2

单调递增,则 ? 的取值范围是( A. [k?

) B. (k?

?

?

2 , k? ? ? ) , (k ? Z ) 6 3

2 ? ? ? , k? ? ] , (k ? Z ) 3 6 ?

C. ( ?

2 ? , ??) , (k ? Z ) 3

D. ( ??, k?

?
6

] , (k ? Z )

【知识点】二次函数的单调性;解三角不等式.

骣 p tan 琪 琪 -a 6 桫 【答案解析】A解析 :解: f ( x) 的图像开口向上,对称轴为 ,函数 f ( x) 在 2 骣 p tan 琪 -a 琪 骣 3 3 p 6 桫 ? ,tan 琪 [ , ??) 上单调递增,所以 -a 琪 2 2 2 6 桫
解得 a ?

骣 p a? 3 ,tan 琪 琪 桫 6

3,

[k? ?

?

2 , k? ? ? ) k ? Z . 6 3

故 答 案 为 : [k?

?

?

2 ,k? ? ? ) k ? Z . 6 3
由 函 数 )

【思路点拨】应用二次函数的单调性的列三角不等式,再解三角不等式. 【 甘 肃 兰 州 一 中 高 一 期 末 考 试 · 2014 】 6.

f ( x) ? sin 2 x的图象得到 g ( x) ? cos( 2 x ?

?
6

)的图象 , 需要将 f ( x) 的图象(

? 个单位 3 ? C.向右平移 个单位 3
A.向左平移 【知识点】图像变换规律 【答案解析】B解析 : 解: g x = cos琪 2x 琪

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 6
B.向左平移

( )

骣 桫

骣 骣 p p p 琪 琪 = cos x = sin x+ 琪 - 2 琪2 6 6 桫 桫 3

骣 p = sin琪 2x + ,据平移规则左加 琪 桫 6

右减,所以将 f x

( )

的图像向左平移

? 个单位得到 g ( x) 的图像,故选B. 6

【思路点拨】先变同名函数再应用图像变换的左加右减的规律. 【 甘 肃 兰 州 一 中 高 一 期 末 考 试 · 2014 】 4. y ? 2 sin( ( )21*cnjy*com A. [k?

?
3

? 2 x) 单 调 增 区 间 为

?

?
12

, k? ?

5 ? ] , (k ? Z ) 12

B. [k? ?

5 11 ? , k? ? ? ] , (k ? Z ) 12 12

C. [ k? ?

?
3

, k? ?

?
6

] , (k ? Z )

D. [k?

?

?

2 , k? ? ? ] , (k ? Z ) 6 3
p 2 sin x(-2 , 即 ) 求函数 3

【知识点】复 合 三 角 函 数 的 单 调 性 . 【答案解析】B 解析 :解:∵ 函 数 y = 2 s i n ( -

p 3

x 2 = )-

p ) 减区间. 的 3 p p 3p ? 2kp ,k 令 2k p + ? 2 x 2 3 2 y = - 2 sin(x 2-

5 11 p , kp + p ] , k 12 12 ? 5 11 故 函 数 y ? 2 s i n( ? 2 x ) 的 减 区 间 为 [k? ? ? , k? ? ? ] , ( k ? Z ) . 12 12 3 z, 求 得 x ? [ kp
故 选 B.

, z

( -2 【 思 路 点 拨 】 将 函 数 转 化 为 y = - 2 s i nx

p , )根 据 复 合 函 数 的 单 调 性 由 3

2kp +

p p ? 2x ? 2kp 2 3

3p , (k ? Z ) , 求 得 x 的 范 围 , 即 得 所 求 . 2

【文·浙江温州十校期末联考·2014】4.将函数 y ? sin( x ? 得函数图象的一条对称轴的方程是( ▲ ) A.

?

6

) 图象向左平移

?
4

个单位,所

x?

5? 12

B. x ?

?
6

C. x ?

?
12

D. x ? ?

?
12
个单位,所得函

【知识点】函 数 y=Asin ( ω x+ θ ) 的 图 象 变 换 . 【答案解析】A 解析 :解 : 将 函 数 y ? sin( x ? 数 图 象 对 应 的 解 析 式 为 y=sin[ ( x+

?

?

4 ? p 5p , 令 x+ =k π + , k ∈ z , 求 得 x = kp + 12 2 12 5? 故函数的一条对称轴的方程是 x ? , 12

)-

p ? ]=sin ( x+ ). 6 12

6

) 图象向左平移

?
4

故 选 : A. 【思路点拨】根 据 本 题 主 要 考 查 函 数 y=Asin ( ω x+ θ ) 的 图 象 变 换 规 律 可 得 所 得 函 数 的 解 析 式 为 y=sin ( 2x+

p ),再根据正弦函数的图象的对称性,求得所得 3

函数图象的一条对称轴的方程. 【理·浙江温州十校期末联考·2014】6.将函数 y ? sin( 2 x ? 得函数图象的一条对称轴的方程是(▲ ) A. x ?

?
6

) 图象向左平移

? 个单位,所 4

?
12

B. x ?

?
6

C. x ?

?
3

D. x ? ?

?
12

【知识点】函 数 y=Asin ( ω x+ θ ) 的 图 象 变 换 .

【答案解析】A 解析 :解:将 函 数 y ? sin(2 x ? 数 图 象 对 应 的 解 析 式 为 y=sin[2 ( x+ 令 2x+

?
6

) 图象向左平移

?
4

个 单 位 ,所 得 函

?
4

)-

p p ]=sin ( 2x+ ) . 6 3

p p kp p + , =k π + , k ∈ z , 求 得 x = 3 2 2 12

故函数的一条对称轴的方程是 x ?

?

12



故 选 : A. 【思路点拨】根 据 本 题 主 要 考 查 函 数 y=Asin ( ω x+ θ ) 的 图 象 变 换 规 律 可 得 所 得 函 数 的 解 析 式 为 y=sin ( 2x+

p ),再根据正弦函数的图象的对称性,求得所得 3

函数图象的一条对称轴的方程.

【文·浙江绍兴一中高二期末`2014】17.(本题满分 10 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所 对的边为 a、b、c ,且满足 cos 2 B ? ? (1)求角 B 的值; (2)若 b ?

1 2

3 且 b ? a ,求 a 的取值范围.

【知识点】二倍角的余弦公式;正弦定理;三角形大边对大角.

p 2p 或 .(Ⅱ) 轾 犏 臌 3, 2 3 3 1 p 3 1 2 解析 :解:(Ⅰ)由已知 cos 2 B ? ? 得 1 - 2sin B = - ,得 sin B = ,故 B = 或 3 2 2 2 2p . 3 a b p = = 2 ,得 a = 2sin A ,因为 b ? a ,所以 B = ,则 (Ⅱ)由正弦定理 3 sin A sin B p 2p ? A ,所以 a = 2sin A ? 轾 犏 臌 3, 2 . 3 3
【答案解析】(Ⅰ) B = 【思路点拨】(Ⅰ)利用二倍角的余弦公式把已知条件变形,解之即可;(Ⅱ)先由正弦定 理得到 a = 2sin A ,再由 b ? a 判断出 B 的值,最后求出 a 的取值范围.

【文· 江苏扬州中学高二期末· 2014】 6. 若 tan ? + 【知识点】二倍角的正弦. 【答案解析】

1 =4 则 sin2 ? = tan ?





1 1 解析 :解:若 tan ? + =4,则 tan ? 2

sin2θ=2sinθcosθ=

2sin q cos q 2 tan q 2 1 = = = , 2 2 2 1 sin q cos q tan q +1 tan q + 2 tan q

故答案为

1 . 2

【思路点拨】先利用正弦的二倍角公式变形,然后除以1,将1用同角三角函数关系代换,利 用齐次式的方法化简,可求出所求.

【理·浙江绍兴一中高二期末·2014】17.(本题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足 cos 2 B ? ? (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b ?

1 2

3 且 b ? a ,求 a 的取值范围.

【知识点】二倍角的余弦公式;正弦定理;三角形大边对大角.

p 2p 或 .(Ⅱ) 轾 犏 臌 3, 2 3 3 1 p 3 1 2 解析 :解:(Ⅰ)由已知 cos 2 B ? ? 得 1 - 2sin B = - ,得 sin B = ,故 B = 或 3 2 2 2 2p . 3 a b p = = 2 ,得 a = 2sin A ,因为 b ? a ,所以 B = ,则 (Ⅱ)由正弦定理 3 sin A sin B p 2p ? A ,所以 a = 2sin A ? 轾 犏 臌 3, 2 . 3 3
【答案解析】(Ⅰ) B = 【思路点拨】(Ⅰ)利用二倍角的余弦公式把已知条件变形,解之即可;(Ⅱ)先由正弦定 理得到 a = 2sin A ,再由 b ? a 判断出 B 的值,最后求出 a 的取值范围.

【理·浙江绍兴一中高二期末·2014】7.已知 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,若 c ? a ? b ? 2ab cos 2C , 则?C 的可能取值为
2 2 2

A.

5? 6

B.

? 2

C.

? 3

D.

? 6

【知识点】 余 弦 定 理 ;一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 ;二 倍 角 的 余 弦 函 数 公 式 ;余 弦 函 数 的 图象与性质.
2 2 2 cos C 【答案解析】D 解析 :解:根 据 余 弦 定 理 得 : c = a + b - 2 ab ,

2 2 2 2 cos C < a + b - 2 abcos 2C 已 知 不 等 式 化 为 : a + b - 2 ab ,

2 C , 0即 2 co s C + co sC> 1 , 0 整 理 得 : c o s 2 C + c o s>

> 因 式 分 解 得 : ( 2cos C - 1) ( cos +C > 1), 解 0 得: cosC

1 或 cosC<-1 ( 舍 去 ) , 2

∴ cosC> 故 选 D.

骣p 1 , 由 ?C 为 三 角 形 的 内 角 , 则 ?C 的 取 值 范 围 是 琪 . 0, 琪 2 桫 3

【思路点拨】根 据 余 弦 定 理 表 示 出 c 2 , 代 入 已 知 的 不 等 式 中 , 移 项 合 并 后 , 再 利 用 二 倍 角 的 余 弦 函 数 公 式 化 为 关 于 c o s C的 一 元 二 次 不 等 式 , 求 出 不 等 式 的 解 集 得 到 c o s C的 范 围 ,由 ? C 为 三 角 形 的 内 角 ,根 据 余 弦 函 数 的 图 象 与 性 质 即 可 得 到 角 ?C 的 范 围 . 【理· 江苏扬州中学高二期末· 2014】 6. 若 tan ? + 【知识点】二倍角的正弦.

1 =4 则 sin2 ? = tan ?





1 1 解析 :解:若 tan ? + =4,则 tan ? 2 2sin q cos q 2 tan q 2 1 sin2θ=2sinθcosθ= = = = , 2 2 2 sin q cos q tan q +1 tan q + 1 2 tan q 1 故答案为 . 2
【答案解析】 【思路点拨】先利用正弦的二倍角公式变形,然后除以1,将1用同角三角函数关系代换,利 用齐次式的方法化简,可求出所求.

【理·广东惠州一中高三一调·2014】16.(本小题满分12分)

(2)求

x x ? 2 cos ? 0 . 2 2 (1)求 tan x 的值; cos2 x
已知 sin

2 cos( ? x) ? sin x 4
【知识点】弦切互化;二倍角的正切公式.

?

的值.

1 4 (2) 4 3 x x x 解析 :解 : ( 1 )∵ sin ? 2 cos ? 0 ,则 cos ? 0 2 2 2
【答案解析】(1) 分 ∴

-------------------1

tan

x ?2 2

---------------------------2 分



tan x ?

2 tan

x 1 ? tan 2
2

x 2

----------------------------4 分

?
(2) 原式 ?

2? 2 4 ?? 2 1? 2 3

-------------------------5 分 ---------------------------7 分

cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 2? cos x ? sin x ? sin x 2 ? 2 ?
?
?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) (cos x ? sin x)sin x

--------------------9 分

cos x ? sin x sin x 1 ? tan x ? tan x 1 ? 4

------------------------------10 分 ------------------------------11 分 ------------------------------12 分

【思路点拨】(1)先根据已知条件求出 tan 分母展开消项即可.

x ,再利用倍角公式求出 tan x 即可;(2)把 2

【吉林一中高一期末· 2014 】 8. 为了得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图像,只需将函数

y ? sin 2 x 的图像(
(A)向右平移



? 个单位 3 ? (C)向左平移 个单位 3

? 个单位 6 ? (D)向左平移 个单位 6
(B)向右平移

【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【答案解析】D 解析 :解:函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) =sin[2(x+

p )],故把函数 y=sin2x 的 6

p 图象向左平移 各单位,即可得到函数 6
【思路点拨】 y ? sin( 2 x ?

的图象,故选 D.

?

3

) =sin[2(x+

p )],,故只需 故把函数y=sin2x的图象向左平移 6

p 各单位得到. 6

C5

两角和与差的正弦、余弦、正切
sin x ? 3 cos x = sin x ? cos x

【文·重庆一中高二期末·2014】5.已知 tan x ? 5 则

A.1 B.2 【知识点】三角式求值.

C.3

D.4

【答案解析】 B解析 : 解: 原式的分子分母同时除以 cosx ,

sin x + 3cos x tan x + 3 = =2. sin x - cos x tan x - 1

故选:B. 【思路点拨】把原式的分子分母同时除以 cosx ,代入 tan x ? 5 即可解得结果.

【甘肃兰州一中高一期末考试·2014】20.(本小题 12 分) 已知 a =(cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 【知识点】向量的模的运算;平方关系;三角函数值. 【答案解析】(1)见解析(2) ? ? 解析 :解:(1)∵ | a ? b |?
2

5 1 ?,? ? ? 6 6
2

2

∴| a ? b | ? 2
2

即 a?b

?

?

2

? a ? 2ab ? b ? 2 ,

2

2

2 2 2 2 2 2 又∵ a ?| a | ? cos ? ? sin ? ? 1, b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1

∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴ ab ? 0 ∴ a ? b .

...............................4 分

(2)∵ a ? b ? (cos? ? cos? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) ∴?

?cos? ? cos ? ? 0 ?cos? ? ? cos ? 即? ?sin ? ? sin ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? sin ?
∴ sin ? ?

两边分别平方再相加得: 1 ? 2 ? 2 sin ? ∵ 0 ? ? ? ? ? ? ∴? ?

1 2

∴ sin ? ?

1 2

5 1 ? , ? ? ? . ...............................12 分 6 6

【思路点拨】 (1) 首先把 | a ? b |? 2 两边平方, 再去计算 | a | , 代入即可得到 ab ? 0 , |b| , 进而得到证明;(2)用坐标表示出 a ? b 后即可得到 ? 可得到结果.

r

2

r

2

r

r

?cos? ? ? cos ? ,再两边平方相加 ?sin ? ? 1 ? sin ?

【吉林一中高一期末·2014】17. 已知 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) .

(1)若 ? ? ? ?

7? ,求 a ? b 的值; 6

? ? ? (2)若 a ? b ? 5 , ? ? 8 ,且 ? ? ? ? ? ? , 0 ? ,求 tan(? ? ? ) 的值. 2 ? ?
【知识点】平面向量数量积的运算.两角和的正切公式. 【答案解析】(1) -

4

?

3 (2)7 2

解析 :解: (1)∵ a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? )

∴ a ? b ? cos?? ? ? ? ? cos (2)∵ a ? b ?

? ?

7? 3 ?? 6 2

4 4 3 3 ∴ cos ?? ? ? ? ? , sin ?? ? ? ? ? ? , tan ?? ? ? ? ? ? 4 5 5 5

? ? ? ? 2? ? (? ? ? ) ?

?

4

? (? ? ? )

1 ? tan( ? ? ?) = ? tan(? ? ? ) ? tan[ ? (? ? ? )] ? 4 1 ? tan( ? ? ?)

?

1?

3 4 =7 3 1? 4

【思路点拨】(1)直接利用向量数量积的公式即可;(2)由已知条件把

? ? ? ? 2? ? (? ? ? ) ?

?
4

? (? ? ? ) 转化,再利用两角和的正切公式得到结果.

C6

二倍角公式

【浙江宁波高一期末·2014】5.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,那 么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是 21 世纪教育网版权所有

A. a ? 10 , b ? 8 , A ? 30? C. a ? 10 , b ? 8 , A ? 150?

B. a ? 8 , b ? 10 , A ? 45? D. a ? 8 , b ? 10 , A ? 60?

【知识点】正 弦 的 应 用 ; 判 断 三 角 形 解 的 个 数 的 方 法 . 【答案解析】 B解析 : 解: 对于 A、 C, 由 a > b 可判断只有一解; 对于D,8 < 10sin 60 = 5 3
0 可知无解;对于B, 10sin 60 = 5 < 8 < 10 ,可知有两解.

0

故选:B. 【思路点拨】根据判 断 三 角 形 解 的 个 数 的 方 法 依 次 判 断 即 可 .

【文·浙江效实中学高二期末·2014】8. ?ABC 中,a ? x, b ? 2, ?B ? 60 ,则当 ?ABC 有两个解时, x 的取值范围是 (A) x ?

4 3 3

(B) x ? 2或x ?

4 3 3

(C) x ? 2

(D) 2 ? x ?

4 3 3

【知识点】解三角形 【答案解析】D 解析:解:若三角形有两个解,则以 C 为圆心,以 2 为半径的圆与射线 BA 有两个交点,因为与 BA 相切时 xsin60°=2,经过点 B 时,x=2,所以若有两个交点, 则 xsin60°<2<x,得 2 ? x ?

4 3 ,所以选 D. 3

【思路点拨】判断三角形解的个数问题,可结合图形进行分析,找出 x 的临界位置,列出满 足的不等式条件,求解即可.

【黑龙江哈六中高一期末·2014】17.(本小题满分 10 分)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三 个内角 A, B, C 的对边,且 2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C . (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 2, c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 【知识点】利 用 正 余 弦 定 理 解 三 角 形 ; 余 弦 定 理 ; 三 角 恒 等 变 换 ; 勾 股 定 理 . 【答案解析】(1) A ?

解析 :解:(1) 2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 即 2 sin B cos A ? sin( A ? C ) ,即 2 sin B cos A ? sin B ,所以 cos A ? (2)由 ( 1 ) A ?

? 7 (2) AD ? 3 2

1 ? ,所以 A ? ……5 分 2 3

? ,根据余弦定理可得 3 p 1 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos = 4 +1 - 2 创 2 1? 3 2

3,

∴ a = 3. 因 此 c o sB =

a 2 + c2 - b2 p = 0 ,可得 B = 2 2ac
骣 3 琪 AB + BD = 1 + 琪 2 桫
2 2 2 2

∴ 在 Rt △ ABD 中 , AD =

=

7 7 .所以 AD ? …5 分[学科] 2 2

【思路点拨】( 1 ) 根 据 正 弦 定 理 与 三 角 恒 等 变 换 公 式 , 化 简 题 中 的 等 式 得 到

2 sin B cos A ? sin B , 从 而 算 出 cos A ?

1 ? ,可得 A ? . 2 3

( 2 ) 先 用 余 弦 定 理 算 出 a = 3 , 从 而 得 到 △ ABC 是 以 B 为 直 角 的 直 角 三 角 形 , 再 利 用 勾 股 定 理 即 可 算 出 AD 的 长 .

【吉林一中高一期末· 2014】 22. 设函数 f ( x) ?

3 ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x (? ? 0) , 2

且 y ? f ( x) 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ? 的值 (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? ,

?
4

,

3? ] 上的最大值和最小值 2

【知识点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的定义域和值 域. 【答案解析】(Ⅰ)ω=1 (Ⅱ) 最大值和最小值为: 解析 :解:(Ⅰ)函数 f(x)= = = = . ,故周期为 π,又 ω>0,所 ﹣ sin2ωx﹣sinωxcosωx .

因为 y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 以 ,解得 ω=1; ), , , , ]上的最大值和最小值分别为:

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=﹣sin(2x﹣ 当 所以 因此,﹣1≤f(x) 所以f(x)在区间[ 时,



【思路点拨】 (Ⅰ)通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的 形式,利用函数的正确求出 ω 的值

(Ⅱ)通过x 的范围求出相位的范围,利用正弦函数的值域与单调性直接求解f(x)在区间 [ ]上的最大值和最小值.

【典型总结】本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数,三角函数的周期,正弦 函数的值域与单调性的应用,考查计算能力.

C7

三角函数的求值、化简与证明
3? ? x) ? 3(2 cos 2 x ? 1) 2

【文·重庆一中高二期末·2014】17. (本小题 13 分(1)小问 7 分,(2)小问 6 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos x cos( (1)求 f ( x) 的最大值; (2)若

?
12

?x?

?
3

,且 f ( x) ?

1 ,求 cos 2 x 的值. 2

【知识点】二倍角的余弦公式;诱导公式;两角和的正弦公式;三角函数求值. 两角差的余 弦公式 【答案解析】(1)最大值为 2;(2) 解析 :解: f ( x) ? 2 cos x cos(

3 - 15 8

3? ? x) ? 3(2 cos 2 x ? 1) 2

? 2cos x sin x ? 3 cos 2x

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2 sin(2 x ?

…………4 分 …………6 分

?
3

)

(1)因为 x ? R ,最大值为 2; (2)因为

? ( ,? ) 2 1 ? 1 由 f ( x) ? 得 sin( 2 x ? ) ? , 3 4 2 12 ?x? 3
,故 2 x ?

?

?

?

?

…………7 分 …………8 分

3

则 cos(2 x ? 分

?

? 15 ) ? ? 1 ? sin 2 (2 x ? ) ? ? 3 3 4
p p p p p p - ) = cos(2 x + ) cos + sin(2 x + ) sin 3 3 3 3 3 3

… … … … 10

则 cos 2 x = cos(2 x +

=-

15 1 1 3 3 - 15 …………13 分 + = 4 2 4 2 8
p p - ) 再利用两角差的余弦公式即可. 3 3

【思路点拨】(1)先借助于二倍角的余弦公式、诱导公式、两角和的正弦公式把原式化简, 即可求得最大值;(2)把 cos 2 x 变形为 cos(2 x +

【甘肃兰州一中高一期末考试·2014】12.给出下列命题 ① ?ABC 中, sin A ?

5 3 16 , cos B ? ,则 cos C ? ? ; 13 5 65 3 ; 5

② 角 ? 终边上一点 P(?3a,4a) ,且 a ? 0 ,那么 cos ? ? ? ③ 若函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) 对于任意的 x 都有 f ( 则 f( )?0;

?

?

? x) ? ? f ( ? x) , 6 6

?

6

④ 已知 f ( x) ? sin(?x ? 2) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ,则 ? ? 其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

?
2



【知识点】两角和的余弦公式;平方关系;三角函数的对称性;函数的周期性.

cos B = 【答案解析】 B 解析 : 解: 对 于 ① ?ABC 中, sin A =

3 p p 1 3 2 ,因为 < < , 所以 < B < , 5 4 3 2 5 2

5 5 1 p 5p p , 0 < < ,故 0 < A < 或 < A < p ,又因为 A + B < p ,所以 0 < A < , 13 13 2 6 6 6 4 12 p - ( A + B) = - cos ( A + B) 由平方关系可得: sin B = , cos A = , cos C = cos 轾 臌 5 13 16 = - cos A cos B + sin A sin B = ,故①正确; 65 - 3a 3 = ,②错误; 对 于 ② P(?3a,4a) , 当 a < 0 时 , r = - 5a , 此 时 cos a = - 5a 5
对 于 ③函数对于任意的 x 都有 f ( 所以③正确; 对 于 ④ 根 据 题 意 , 若 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 , 即 f ( x + 2) = - f ( x ) ,则

?

骣 ? ? p ? x) ? ? f ( ? x) , 即关于 琪 故 f( )?0, , 0 对称, 琪 6 6 6 6 桫

f ( x + 4) = - f ( x + 2) = f ( x) , 则 函 数 f ( x) 的 周 期 为 4 , 有

2p p = 4 ,则 w = ,则 2 w

④错误; 【思路点拨】根 据 题 意 , 依 次 分 析 4 个 命 题 : 对 于 ① 、 由 两角和的余弦公式求 出 结

果 可 得 ① 正 确 , 对 于 ② 举 出 反 例 , 当 a < 0 时 , 求 出 cos a =

3 ,可得②错误;对 5

于 ③ 、 根 据 题 意 可 知 函 数 图 像 关于 琪 琪 , 0 对称,进 而 分 析 可 得 ③ 正 确 ; 对 于 ④ 、 根 据 题 意 , 分 析 可 得 f ( x + 4) = - f ( x + 2) = f ( x) , 则 函 数 f ( x) 的 周 期 为 4 , 由 周 期求法可得 w =

骣 p 6 桫

p ,则④错误;综合可得答案. 2

【 甘 肃 兰 州 一 中 高 一 期 末 考 试 · 2014 】 10. 已 知 函 数

π? ? f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ,( ? ? 0 )的最小正周期为 π , 2? ?
则 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的值域为 3 A. [0, ]

? 2π ? ? ?





3 2

B. [ ? , ]

1 3 2 2

1] C. [ ? ,

1 2

D. [? , ]

3 1 2 2

【知识点】三角函数降次公式;辅助角公式;最小正周期公式;三角函数的值域. 【答案解析】 A解析 : 解:函数 f ( x) 化简整理得: f ( x) = sin 2 wx + 3 sin wx sin 琪 wx + 琪

骣 桫

π 2

=

骣 2p 1 - cos 2wx 3 sin 2wx p 1 ? ? 0, =p , 其最小正周期为 π , 故 + = sin 琪 2wx + , 琪 | 2w | 2 2 6 2 桫
骣 桫
轾 2π p 1 p 轾p 7 p 0, ,则 2 x - ? 犏 , + ,又因为 x ? 犏 犏 犏6 6 6 臌 6 2 臌 3
,故

即 w = 1 ,所以 f ( x) = sin 琪 2x 琪

轾3 f ( x) ? 犏 0, ,故选A. 犏 臌2
【思路点拨】把原函数化简后利用周期公式求出 w ,得到 f ( x) 的解析式后在定义域内求出 值域即可.

C8 C9

解三角形 单元综合


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