当前位置:首页 >> 数学 >>

1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 课件(人教A版选修2-2)


1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程

这些图形的面积该怎样计算?

例题(阿基米德问题):求由抛物线 y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面 积.
y

问题1:我们是怎样计 算圆的面积的?圆周率 是如何确定的? 问题2:“割圆术”是 怎样操作的?对我们有 x 何启示?

Archimedes,约公元前 287年—约公元前212年

1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思 想.(重点) 2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号. (难点)

曲边梯形的概念:如图所示,我们把由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称

为曲边梯形.
y y=f(x) f(b)

f(a)
a b

如何求曲边梯 形的面积?

O

x

直线x?1,y?0及曲线y?x2所围成的图形(曲边 梯形)面积S是多少?

探究点1 曲边梯形的面积

为了计算曲边梯形的面积S,将它分割成许多小曲边梯形, 对任意一个小曲边梯形,用“直边”代替“曲边” (即在很小范围内以直代曲)
y

y=x2

方案1

方案2

方案3

O

1

x

下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程

解题思想
“细分割、近似和、渐逼近”

(1)分割 把区间[0,1]等分成n个小区间:

1 1 2 i ?1 i n ?1 n [0, ],[ , ], ???,[ , ], ???,[ , ], n n n n n n n
每个区间长度为

i i ?1 1 ?x ? ? ? n n n 过各区间端点作x轴的垂线, 从而得到n个小曲边梯形,它 们的面积分别记作

?S1, ?S2 , ???, ?Si , ???, ?Sn .
S ? ? ?Si
i ?1 n

(2) 近似代替

i ?1 i ?1 2 1 ?Si ? f ( )?x ? ( ) ? n n n
n

(i=1,2,?,n)

(3)求和

S ? ?S1 ? ?S2 ? ??? ? ?Sn ? ? ?Si ,
i ?1

i-1 1 n i-1 2 1 ? ? f( ) ? ? ( ) n n i ?1 n n i ?1 1 2 2 ? 3 [0 ? 1 ? 22 ? ??? ? (n ? 1) 2 ] n

n

1 (n ? 1)n(2n ? 1) ? 3 n 6 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? ) 3 n 2n
(4)取极限
当分割无限变细,即Δ x → 0(亦即n → +∞)时, 1 ? 1 ?? 1 ? 1 S = lim ? 1 - ? ? 1 = ? n→∞ 3 ? n ? ? 2n ? 3 1 即所求曲边梯形的面积为 . 3
演示

我们还可以从数值上看出这一变化趋势 区间[0,1]的等分数n
2
4 8 16 32

S的近似值Sn
0.125 000 00
0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 38 0.317 871 09

64
128 256

0.325 561 52
0.329 437 26 0.331 382 75

512
1024 2048 ?

0.332 357 41
0.332 845 21 0.333 089 23 ?

? i ?1 i ? 取f ? x ? ? x 在区间 ? , ? 上任意一点?i处的值f ??i ? ? n n? 作为近似值,都有
2

S ? lim ?
?x ?0 i ?1

n

1 1 f ??i ??x ? lim ? f ??i ? ? . n ?? 3 i ?1 n

n

一般地,对于曲边梯形,我们也可采用 分割 近似代替 求和 取极限

的方法,求其面积.

探究点2

汽车行驶的路程

思考1:已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的 运动速度?

例如 s(t)=3t2+2. 则 v(t)= s?(t)=6t+0.
思考2:已知物体运动速度为v(常量)及时间t,怎么 求路程?

s=vt 直接求出

v

思考 3:如果汽车做 变速直线运动, 在时 刻 t 的速度为 v(t)= - t2+2. 那 么 它 在 0≤t≤1 这段时间内行 驶的路程 s 是多少 呢?

2

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

g

v (t ) ? ? t 2 ?2
D Sj

gD S

n

?

O

1 2 3 j n-1 n n n n n

1

t

解: (1)分割 在时间区间 ?0 ,1? 上等间隔地插入 n ? 1 个分点, 将区间

?0 ,1? 等分成 n 个小区间:

? 1? ?1 2? ? n ?1 ? 0 , ? , ? , ? ,… , ? ,1? 记第 i 个区间为 ? ? n? ?n n? ? n ? i i ?1 1 ? i ?1 i ? ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 ?t ? ? ? n n n ? n n? ? 1 ? ?1 2? ? n ?1 ? ,1? 上行 把汽车在时间段 ? 0 , ? , ? , ? ,…, ? ? n ? ?n n? ? n ? 驶的路程分别记作: ?S1 , ?S2 ,…, ?Sn
显然, S ? ? ?Si
i ?1 n

( 2 ) 近 似 代 替 当 n 很 大 , 即 ?t 很 小 时 , 在 区 间 ? i ?1 i ? 2 上,可以认为函数 , v t ? ? t ? 2 的值变化很 ?? ? ? ? n n? 小, 近似地等于一个常数, 不妨认为它近似地等于左端
i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 点 处的函数值 v ? ? ?? ? 2 ,从物理意义 ? ? n ? n ? ? n ? ? i ?1 i ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) 上的速 看,就是汽车在时间段 ? ? n n? i ?1 度变化很小,不妨认为它近似地以时刻 处的速度 n
2

? i ?1 ? ? i ?1 ? v? ? ? ?? ? ? 2 做匀速直线运动, ? n ? ? n ?

2

即在局部小范围内“以匀速代变速” ,于是用小矩形 的面积 ?Si? 近似地代替 ?Si ,则有
2 ? ? 1 i ?1 ? i ?1 ? ? ? ?Si ? ?Si? ? v ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ? 2? ? ? n ? ? ? ? ? n ? ? n

? i ?1 ? 1 2 ? ?? ? ? ? (i ? 1,2,?, n) ① ? n ? n n

2

(3)求和
n

由①得,
n n

2 ? i ?1 ? i ?1 ? 1 2 ? ? ? Sn ? ? ?Si? ? ? v ? ???t ? ? ? ? ? ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? n ? i ?1 ? ? ? n ? n n? ?

1 ?1? 1 ? n ?1 ? 1 = ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 n ?n? n ? n ? n 1 ?2 2 2 = ? 3 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 2 = ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 =? 3 n 6 3 ? n ?? 2n ? 1 ? 1 ?? 1 ? 从而得到 S 的近似值 S ? Sn ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 . 3 ? n ?? 2n ?

2

2

(4)取极限 当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 , 即 ?t 趋 向 于 0 时 ,

1 ? 1 ?? 1 ? Sn ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 趋向于 S , 3 ? n ?? 2n ?
1 ? i ?1 ? 从而有 S ? lim Sn ? lim ? ? v ? ? n ?? n ?? ? n ? i ?1 n
n

? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 ? lim ?? ?1 ? ??1 ? ? ? 2? ? . n?? ? 3 ? n ?? 2n ? ? 3

思考 4:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车 行驶的路程 s 与由直线 t=0,t=1,v=0 和曲线 v= 2 -t +2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系?
v

图中矩形面积的和就是曲边 梯形的面积,从而汽车行 驶的路程 s ? lim s n 在数
n ??

v ? ?t 2 ? 2

值上就等于相应曲边梯形 面积.

o

1

t

图1.5 ? 6

从而,汽车行驶的路程S ? lim Sn在数值上等于
n ??

由直线 t ? 0, t ? 1, v ? 0和曲线v ? ?t 2 ? 2所围成的曲 边梯形的面积.

一般地, 如果物体做变速直线运动, 速 度函数为 v ? v(t ), 那么我们也可采用分割、 近似代替、求和、取极限的方法, 求出它在 a ? t ? b内的位移s.

例 弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即力

F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从平衡位置
拉长b所做的功. 解:W=Fx,F(x)=kx

b 将区间[0,b] n等分: ?x ? n
分点依次为: b 2b x0 ? 0, x1 ? , x2 ? ,..., n n (n ? 1)b xn ?1 ? , xn ? b. n

n ? ??, 在分段[xi ,xi+1 ] 所用的力约为kxi,所做的功:

b ?Wi ? kxi ? ?x ? kxi n
则从0到b所做的功W近似等于:

ib b ?Wi ? ? kxi ? ?x ?? k ? ? ? n n i ?0 i ?0 i ?0

n ?1

n ?1

n ?1

ib b ?Wi ? ? kxi ? ?x ?? k ? ? ? n n i ?0 i ?0 i ?0

n ?1

n ?1

n ?1

kb ? 2 [0 ? 1 ? 2 ? ... ? ( n ? 1)] n kb 2 n(n ? 1) kb 2 1 ? 2 ? (1 ? ) n 2 2 n
当n→+∞,得到弹簧从平衡 位置拉长b所做的功为

2

kb2 W ? lim ? ?Wi ? n ??? 2 i ?0

n ?1

总结提升: 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积 的方法

(1)分割
(2)近似代替 (3)求和

(4)取极限 ? x ? 0(或 n ? ? )

? i ?1 i ? 1.当n很大时,函数f ( x) ? x 在区间 ? , ? ? n n? 上的值,可以用( C )近似代替.
2

1 A. f ( ) n

2 B. f ( ) n

i C. f ( ) n

D. f ? 0 ?

2.在“近似代替”中,函数f (x)在区间? xi , xi ?1 ? 上的近似值等于( C ) A.只能是左端点的函数值f ( xi ) C.可以是该区间内任一点的函数值f (?i )(?i ? ? xi , xi ?1 ?) D.以上答案均不正确 B.只能是右端点的函数值f ( xi ?1 )

1.求曲边梯形面积的“四个步骤”: 1°分割 2°近似代替 化整为零 以直代曲

3°求和 4°取极限

积零为整 刨光磨平

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以 成江海。 ——《荀子劝学》


相关文章:
...1.5.2汽车行驶的路程 课件(人教A版选修2-2)_图文.ppt
2015高中数学 1.5.1曲边梯形的面积 1.5.2汽车行驶的路程 课件(人教A版选修2-2) - 教学教法分析课前自主导学课堂互动探究 思想方法技...
高中数学人教A版选修2-2课件:第一章 1.5 1.5.1-1.5.2 ....ppt
高中数学人教A版选修2-2课件:第一章 1.5 1.5.1-1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 - 1.5.1&1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 预习课本 P38~44,...
...应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新....ppt
高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件人教A版选修2_2 - 第一章 §1.5定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车...
...1.5.1曲边梯形的面积 1.5.2汽车行驶的路程 学案(人....doc
2015高中数学 1.5.1曲边梯形的面积 1.5.2汽车行驶的路程 学案(人教A版选修2-2)_数学_高中教育_教育专区。1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 ...
...概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新....ppt
高中数学1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件人教A版选修2_2_高中教育_教育专区。1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 1....
1.5.1曲边梯形的面积-1.5.2汽车行驶的路程 学案(人教A....doc
1.5.1曲边梯形的面积-1.5.2汽车行驶的路程 学案(人教A版选修2-2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。§1.5 1.5.1 1.5.2 课时目标 定积分的概念 曲边梯形...
...应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新....ppt
高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件人教A版选修2_2 - 阶段一 阶段三 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 阶段二...
...课件1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程_图....ppt
新课标人教A版高中数学选修2-2多媒体教学优质课件1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程_数学_高中教育_教育专区。新课标人教A版高中数学选修2-2多媒体...
...1.5.1 曲边梯形的面积、1.5.2 汽车行驶的路程学案 ....doc
高中数学 1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程学案 新人教A版选修2-2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§1.5.1 曲边梯形的面积 §1.5.2 汽车...
...概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新....ppt
2017_2018学年高中数学1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件人教A版选修2_2_教学案例/设计_教学研究_教育专区。1.5.1 1.5.2 曲边...
...应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新....ppt
2016_2017学年高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件人教A版选修2_2 - 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 ...
...专题1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程教....doc
高中数学 专题1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程教案 新人教A版选修2-2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶...
...课件:1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程_....ppt
2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程_数学_高中教育_教育专区。1.5 定积分的概念 1.5.1 ...
高中数学-1.5.2汽车行驶的路程-课件(人教A版选修2-2)_图文.ppt
高中数学-1.5.2汽车行驶的路程-课件(人教A版选修2-2) - 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 第一章 导数...
...2曲边梯形的面积汽车行驶的路程课件新人教A选修22_....ppt
高中数学1.5.1、2曲边梯形的面积汽车行驶的路程课件新人教A选修22 - 成才之路 数学 人教A版 选修2-2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第一章 导数及其...
...2)1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积 汽车行驶的路程PPT课....ppt
人教版2017高中数学(选修2-2)1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积 汽车行驶的路程PPT课件_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.5 定积分的概念 -1- 1.5.1 曲边梯形...
1.5.1-2 曲边梯形的面积、汽车行驶的路程课件 新人教A....ppt
1.5.1-2 曲边梯形的面积汽车行驶的路程课件人教A版选修2-2_数学_高中教育_教育专区。? 1.5 定积分的概念 ? 1.5.1 曲边梯形的面积 ? 1.5.2 汽车...
高中数学人教A版选修2-2课件:1-5-1-1-5-2曲边梯形的面....ppt
高中数学人教A版选修2-2课件:1-5-1-1-5-2曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 1.5 定积分的概念 -1- 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 -2- ...
...1.5.1_1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程课件新人....ppt
高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1_1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程课件人教A版选修2_数学_高中教育_教育专区。1.5.1&1.5.2 曲边梯形的...
...概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新....ppt
高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件人教A版选修2 - 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 ...
更多相关文章: