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福建省漳州市龙海二中2015届高考数学围题试卷(文科)


福建省漳州市龙海二中 2015 届高考数学围题试卷(文科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (每题 5 分,共 60 分) 1.集合 U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2,3,4},则 S∩(?UT)等于( ) A.{1,4,5,6} B.{1,5} C.{4} D.{1,2,3,4,5} 2.设复数 A. ,则 z 的共轭复数 =( B.1+i ) C. D.1﹣i

3. 设 A, B 为两个不相等的集合, 条件 p: x? (A∩B) , 条件 q: x? (A∪B) , 则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图的程序框图,若输入 a=1,b=1,c=﹣1,则输出的结果满足( )

)

A.0<e<1,f>1 C.﹣2<e<﹣1,0<f<1 5.函数 y=log0.4(﹣x +3x+4)的值域是( A. (0,﹣2] B. D .
2

B.﹣1<e<0,1<f<2 D.无解 )

7.从集合{2,3,4, , }中取两个不同的数 a,b,则 logab>0 的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

8.直线 y=x+b 与曲线 x= A.|b|= C.﹣1≤b≤1

有且仅有 1 个公共点,则 b 的取值范围是( B.﹣1<b≤1 或 b=﹣ D.﹣1≤b≤1 或 b=

)

9.已知某几何体的三视图如图所示,三个视图都为直角三角形,其中主视图是以 2 为直角边 的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )

A.16π

B.9π

C.8π

D.4π

10.若函数 f(x)=

在其定义域上只有一个零点,则实数 a 的取值范围

是( ) A.a>16

B.a≥16

C.a<16

D.a≤16

11.已知离心率为 e 的双曲线和离心率为 公共点,若∠F1PF2= A. ,则 e 等于( B. )

的椭圆有相同的焦点 F1,F2,P 是两曲线的一个

C.

D.3

12.已知函数 f(x)=|mx|﹣|x﹣1|(m>0) ,若关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集中的整数恰 有 3 个,则实数 m 的取值范围为( ) A.0<m≤1 B. ≤m< C.1<m< D. ≤m<2

二、填空题: (每题 4 分,共 16 分) 13.某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样 本.已知女生比男生少抽了 10 人,则该校的女生人数应是__________人.

14.已知公差不为 0 的等差数列{an}中,a1,a2,a5 依次成等比数列,则

=__________.

15.直角坐标平面内能完全“覆盖”区域 Ω:

的最小圆的方程为__________.

16.已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an,n∈N ,且 a5= 记 yn=f(an)则数列{yn}的前 9 项和为__________.

*

若函数 f(x)=sin2x﹣2sin

2



三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.直角坐标系 xOy 中,锐角 α 的终边与单位圆的交点为 P,将 OP 绕 O 逆时针旋转到 OQ, 使∠POQ=α,其中 Q 是 OQ 与单位圆的交点,设 Q 的坐标为(x,y) . (Ⅰ)若 P 的横坐标为 ,求 ; (Ⅱ)求 x+y 的取值范围.

18.某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等 于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的 2×2 列联表, 优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110 (1)根据列联表的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (2)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行 编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 9 号或 10 号的概率. 参考公式与临界值表:K = P(K ≥k) k
2 2

. 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

0.100 2.706

19.如图,矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,等腰梯形 ABEF 中,AB∥EF, AB=2,AD=AF=1,∠BAF=60°,O,P 分别为 AB,CB 的中点,M 为底面△ OBF 的重心. (Ⅰ)求证:平面 ADF⊥平面 CBF; (Ⅱ)求证:PM∥平面 AFC.

20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,常数 λ>0,且 λa1an=S1+Sn 对一切正整数 n 都成立. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 a1>0,λ=100,当 n 为何值时,数列 的前 n 项和最大?

21.已知椭圆 E:

(a>b>0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0)为椭圆的两个焦点,M 为

椭圆上任意一点,且|MF1|,|F1F2|,|MF2|构成等差数列,过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为 3. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ⊥ ,求出该圆的方程.

22.已知函数 f(x)=lnx. (Ⅰ)求过点(0,0) ,曲线 y=f(x)的切线方程; (Ⅱ)设函数 g(x)=f(x)﹣e ,求证:函数 g(x)有且只有一个极值点; (Ⅲ)若 f(x)≤a(x﹣1)恒成立,求 a 的值.
x

福建省漳州市龙海二中 2015 届高考数学围题试卷(文科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (每题 5 分,共 60 分) 1.集合 U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2,3,4},则 S∩(?UT)等于( ) A.{1,4,5,6} B.{1,5} C.{4} D.{1,2,3,4,5}

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:计算题. 分析:利用补集的定义求出 T 的补集;利用交集的定义求出两个集合的交集. 解答: 解:?UT={1,5,6} ∴S∩(?UT)={1,5} 故选 B. 点评:本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的交、并、补运算.

2.设复数 A.

,则 z 的共轭复数 =( B.1+i C.

) D.1﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:直接由复数代数形式的除法运算把 z 化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,则 z 的共轭复数 可求. 解答: 解: = ,

∴z 的共轭复数 =1﹣i. 故选:D. 点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,复数的除法运算,采用分子分母同时乘以分母的 共轭复数,是基础题. 3. 设 A, B 为两个不相等的集合, 条件 p: x? (A∩B) , 条件 q: x? (A∪B) , 则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:集合;简易逻辑. 分析:根据集合关系,以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:当 x∈A,且 x?(A∩B) ,满足 x∈(A∪B) ,即充分性不成立, 若 x?(A∪B,则 x?(A∩B) ,成立,即必要性成立, 故 p 是 q 必要不充分条件, 故选:C 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据集合关系是解决本题的关键. 4.执行如图的程序框图,若输入 a=1,b=1,c=﹣1,则输出的结果满足( ) )

A.0<e<1,f>1 B.﹣1<e<0,1<f<2 C.﹣2<e<﹣1,0<f<1 D.无解 考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,计算 e,f 的取值范围即可得解. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 a=1,b=1,c=﹣1 d=5 满足条件 d≥0,e= 由于﹣2<e= ,f= <﹣1,0<f= 输出 e,f 的值. <1,

故选:C. 点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,模拟执行程序得程序框图的功能是解题的关键, 属于基本知识的考查. 5.函数 y=log0.4(﹣x +3x+4 )的值域是( A. (0,﹣2] B. D .
2

)

7.从集合{2,3,4, , }中取两个不同的数 a,b,则 logab>0 的概率为( A. B. C. D.

)

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计.

分析:列举出从集合{2,3,4, , }中取两个不同的数 a,b 的所有基本事件总数,及 logab >0 的事件个数,代入古典概型概率计算公式可得答案. 解答: 解:从集合{2,3,4, , }中取两个不同的数 a,b, 共有 =10 种不同情况, + =1+3=4 种情况,

其中满足 logab>0 有 故 logab>0 的概率 P=

= ,

故选:C 点评: 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式, 其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式 求概率的步骤,是解答的关键.

8.直线 y=x+b 与曲线 x= A.|b|= C.﹣1≤b≤1

有且仅有 1 个公共点,则 b 的取值范围是(

)

B.﹣1<b≤1 或 b=﹣ D.﹣1≤b≤1 或 b=

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用;直线与圆. 分析:结合条件画出图形,数形结合求得满足条件的 b 的范围. 解答: 解:曲线 x= ,即 x +y =1 (x≥0) ,表示以(0,0)为圆心、
2 2

半径等于 1 的半圆(位于 y 轴及 y 轴右侧的部分) ,如图, 当直线 y=x+b 经过点 A(0,1)时,b=1;当直线线 y=x+b 经过点(0,﹣1)时,b=﹣1; 当直线 y=x+b 和半圆相切时,由圆心到直线线 y=x+b 的距离等于半径,可得 求得 b= (舍去) ,或 b=﹣ , 综上可得,﹣1<b≤1,或 b=﹣ , 故选:B. =1,

点评:本题主要考查方程根的存在性以及个数判断,直线和圆的位置关系,定到直线的距离公 式,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题. 9.已知某几何体的三视图如图所示,三个视图都为直角三角形,其中主视图是以 2 为直角边 的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )

A.16π

B.9π

C.8π

D.4π

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由三视图可知,几何体为三棱锥,且一边垂直于底面,再根据公式求解即可. 解答: 解:由三视图可知,几何体为三棱锥,且一边垂直于底面, 其外接球的直径为 所以 S=4π×( ) =9π, 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的形状.
2

=3,

10.若函数 f(x)=

在其定义域上只有一个零点,则实数 a 的取值范围

是( ) A.a>16

B.a≥16

C.a<16

D.a≤16

考点:利用导数研究函数的单调性;函数的零点. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:根据函数的单调性画出函数的图象,及题意其定义域 R 上有且只有一个零点,即可求 出 a 的取值范围. x 解答: 解:①当 x≤0 时,f(x)=x+3 . x ∵函数 y=x 与 y=3 在 x≤0 时都单调递增, x ∴函数 f(x)=x+3 在区间(﹣∞,0]上也单调递增. 又 f(﹣1)<0,f(0)=1>0, ∴函数 f(x)在(﹣1,0)内有一个零点,如图所示.

②当 x>0 时,f(x)=
2

﹣4x+ .

∴f′(x)=x ﹣4=(x+2) (x﹣2) . 令 f′(x)=0,且 x>0,解得 x=2. 当 0<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0. ∴函数 f(x)在区间(0,2)上单调递减;在区间(2,+∞)上单调递增. ∴函数 f(x)在 x=2 时求得极小值,也即在 x>0 时的最小值. ∵函数 f(x)在其定义域 R 上有且只有一个零点,且由(1)可知在区间(﹣1,0)内已经有 一个零点了,所以在区间(0,+∞)上没有零点, ∴必须满足 f(2)>0,即 故选:A. ,解得 a>16.

点评:利用导数得出函数的单调性并画出图象是解题的关键.

11.已知离心率为 e 的双曲线和离心率为 公共点,若∠F1PF2= A. ,则 e 等于( B. )

的椭圆有相同的焦点 F1,F2,P 是两曲线的一个

C.

D.3

考点:双曲线的简单性质. 专题:解三角形;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用椭圆、双曲线的定义,求出|PF1|,|PF2|,结合∠F1PF2= 率公式,建立方程,即可求出 e. 解答: 解:设椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2, 焦距为 2c,|PF1|=m,|PF2|=n,且不妨设 m>n, 由 m+n=2a1,m﹣n=2a2 得 m=a1+a2,n=a1﹣a2. 又∠F1PF2=
2 2 2

,利用余弦定理和离心


2 2

∴4c =m +n ﹣mn=a1 +3a2 ,



+

=4, ,双曲线的离心率为 e,

由椭圆的离心率为 则 +

=4,

解得 e=



故选:C. 点评:本题考查椭圆、双曲线的定义与性质,主要考查离心率的求法,同时考查余弦定理,考 查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 12.已知函数 f(x)=|mx|﹣|x﹣1|(m>0) ,若关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集中的整数恰 有 3 个,则实数 m 的取值范围为( ) A.0<m≤1 B. ≤m< C.1<m< D. ≤m<2

考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:计算题;作图题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:f(x)<0 可化为|mx|<|x﹣1|,作函数 y=|mx|与函数 y=|x﹣1|的图象,由数形结合求解 即可. 解答: 解:f(x)<0 可化为|mx|<|x﹣1|, 作函数 y=|mx|与函数 y=|x﹣1|的图象如下,

结合图象可知, 关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集中的 3 个整数解为 0,﹣1,﹣2; 故只需使 ,

解得, ≤m< ;

故选:B. 点评:本题考查了不等式的解与函数的图象的关系应用,属于基础题. 二、填空题: (每题 4 分,共 16 分) 13.某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样 本.已知女生比男生少抽了 10 人,则该校的女生人数应是 760 人. 考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:利用分层抽样的定义取得抽出人数. 解答: 解:由题意知样本和总体比为 200:1600=1:8. 设抽取女生为 x 人,则男生为 x+10. 因为 x+x+10=2x+10=200,解的 x=95 人. 所以根据样本和总体比可得该校的女生人数为 95×8=760 人. 故答案为:760. 点评:本题主要考查分层抽样的应用,先根据男女生人数关系确定女生数是解决本题的关键.

14.已知公差不为 0 的等差数列{an}中,a1,a2,a5 依次成等比数列,则

=9.

考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析:先利用等差数列的通项公式,用 a1 和 d 分别表示出等差数列的 a1,a2,a5,进而利用等 比数列的性质建立等式,求得 a1 和 d 的关系,进而再利用等差数列的通项公式化简 出的 a1 和 d 的关系代入,合并约分后即可求出所求式子的值. 解答: 解:∵a1,a2,a5 成等比数列, 2 2 ∴a2 =a1?a5,即(a1+d) =a1(a1+4d) , 由 d≠0, 解得:2a1=d, ,将求



=

=9.

故答案为:9. 点评:此题考查了等比数列的性质,以及等比数列的通项公式,熟练掌握性质及通项公式是解 本题的关键.

15. 直角坐标平面内能完全“覆盖”区域 Ω:
2

的最小圆的 方程为 (x+1) +(y﹣2)

2

=25.

考点:简单线性规划. 专题:数形结合. 分析:由约束条件作出可行域,得到可行域为三角形及其内部区域,然后求解三角形的外接圆 方程即可.

解答: 解:由

作可行域如图,

联立

,解得 A(﹣1,﹣3) .

联立

,解得 B(4,2) .

联立

,解得 C(﹣6,2) .

∴AB 的垂直平分线方程为 x+y﹣1=0. BC 的垂直平分线方程为 x=﹣1. 联立 ,解得△ ABC 的外接圆的圆心为(﹣1,2) .

半径为
2


2

∴△ABC 的外接圆的方程为(x+1) +(y﹣2) =25. 2 2 故答案为: (x+1) +(y﹣2) =25. 点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方 法,是中档题.

16.已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an,n∈N ,且 a5= 记 yn=f(an)则数列{yn}的前 9 项和为﹣9. 考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知递推式得到数列{an}为等差数列,再由 a5=

*

若函数 f(x)=sin2x﹣2sin

2



得到

a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π,利用二倍角余弦把 f(x)化简,由三角函数的和差化积求得 答案. * 解答: 解:∵数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an,n∈N , ∴数列{an}是等差数列, ∵a5= ,∴a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π,
2

∵f(x)=sin2x﹣2sin



∴f(x)=sin2x+cosx﹣1, ∴f(a1)+f(a9)=sin2a1+cosa1﹣1+sin2a9+cosa9﹣1 =2sin(a1+a9)cos(a1﹣a9)+2 ﹣2

=2sinπ?cos(a1﹣a9)+2cos

cos

﹣2=﹣2.

同理 f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=﹣2 ∵f(a5)=﹣1, ∴数列{yn}的前 9 项和为﹣9. 故答案为:﹣9. 点评: 本题考查了等差关系的确定, 考查了二倍角余弦公式的应用, 训练了三角函数值的求法, 是中档题. 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.直角坐标系 xOy 中,锐角 α 的终边与单位圆的交点为 P,将 OP 绕 O 逆时针旋转到 OQ, 使∠POQ=α,其中 Q 是 OQ 与单位圆的交点,设 Q 的坐标为(x,y) . (Ⅰ)若 P 的横坐标为 ,求 ; (Ⅱ)求 x+y 的取值范围.

考点:任意角的三角函数的定义;二倍角的正切. 专题:三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用三角函数的定义,求出 sinα,转化 为正切函数的 形式,求解即可; (Ⅱ)表示出 x+y 的三角函数的形式,然后求解取值范围. 解答: 解:直角坐标系 xOy 中,锐角 α 的终边与单位圆的交点为 P,将 OP 绕 O 逆时针旋 转到 OQ,使∠POQ=α,其中 Q 是 OQ 与单位圆的交点,设 Q 的坐标为(x,y) . (Ⅰ)若 P 的横坐标为 ,则 sinα= ,cosα= ,tanα= ,

=tan2α=

=

=﹣



(Ⅱ)x+y=cos2α+sin2α= ∴ sin(2

sin(2 ,

) ,



)∈(﹣1,

]

x+y 的取值范围(﹣1, ]. 点评:本题考查三角函数的定义,二倍角公式的应用,三角函数的化简求值. 18.某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等 于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的 2×2 列联表, 优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110 (1)根据列联表的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (2)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行 编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 9 号或 10 号的概率. 参考公式与临界值表:K = P(K ≥k) k
2 2

. 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

0.100 2.706

考点:独立性检验的应用. 专题:应用题;概率与统计. 2 分析: (1)利用公式,求出 K ,查表得相关的概率为 99%,即可得出结论; (2)所有的基本事件有:6×6=36 个,抽到 9 号或 10 号的基本事件有 7 个,即可求抽到 9 号 或 10 号的概率.

解答: 解: (1)假设成绩与班级无关,则 K =

2

≈7.5

则查表得相关的概率为 99%,故没达到可靠性要求. … (2)设“抽到 9 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子, . 所有的基本事件有:6×6=36 个.… 事件 A 包含的基本事件有: (3,6) 、 (4,5) 、 (5,4) 、 (6,3) 、 (5,5) 、 (4,6) 、 (6,4)共 7个 所以 P(A)= ,即抽到 9 号或 10 号的概率为 .…

点评:本题考查独立性检验的应用,考查概率的计算,考查学生的计算能力,比较基础. 19.如图,矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,等腰梯形 ABEF 中,AB∥EF, AB=2,AD=AF=1,∠BAF=60°,O,P 分别为 AB,CB 的中点,M 为底面△ OBF 的重心. (Ⅰ)求证:平面 ADF⊥平面 CBF; (Ⅱ)求证:PM∥平面 AFC.

考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,CB⊥AB,所以可推断出 CB⊥ 2 2 2 平面 ABEF, 又 AF ?平面 BDC1, 所以 CB⊥AF, 进而由余弦定理求得 BF, 推断出 AF +BF =AB 得 AF⊥BF 同时利用 AF∩CB=B 判断出 AF⊥平面 CFB,即可证明平面 ADF⊥平面 CBF; (Ⅱ)连结 OM 延长交 BF 于 H,则 H 为 BF 的中点,又 P 为 CB 的中点,推断出 PH∥CF, 又利用线面判定定理推断出 PH∥平面 AFC,连结 PO,同理推断出 PO∥平面 AFC,利用面面 平行的判定定理,推断出平面 POO1∥平面 AFC,最后利用面面平行的性质推断出 PM∥平面 AFC 解答: 证明: (Ⅰ)∵矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,CB⊥AB ∴CB⊥平面 ABEF, 又 AF?平面 BDC1,∴CB⊥AF 又 AB=2,AF=1,∠BAF=60°, 2 2 2 由余弦定理知 BF= ,AF +BF =AB 得 AF⊥BF ∵AF∩CB=B,∴AF⊥平面 CFB ∵AF?平面 AFC, ∴平面 ADF⊥平面 CBF; (Ⅱ)连结 OM 延长交 BF 于 H,则 H 为 BF 的中点,又 P 为 CB 的中点, ∴PH∥CF,又∵AF?平面 AFC,

∴PH∥平面 AFC 连结 PO,则 PO∥AC,AC?平面 AFC,PO∥平面 AFC PO∩PO1=P, ∴平面 POO1∥平面 AFC, PM?平面 AFC, ∴PM∥平面 AFC.

点评:本题主要考查了面面垂直的判定,线面平行的判定,面面平行的判定,以及线面垂直的 性质,属于中档题. 20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,常数 λ>0,且 λa1an=S1+Sn 对一切正整数 n 都成立. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 a1>0,λ=100,当 n 为何值时,数列 的前 n 项和最大?

考点:数列递推式;数列 的函数特性;数列的求和. 专题:计算题. 分析: (I)由题意,n=1 时,由已知可知 a1(λa1﹣2)=0,分类讨论:由 a1=0,及 a1≠0,结合 数列的和与项的递推公式可求 (II)由 a1>0 且 λ=100 时,令 和的最大项 解答: 解(I)当 n=1 时, ∴a1(λa1﹣2)=0 若取 a1=0,则 Sn=0,an=Sn﹣Sn﹣1=0 ∴an=0(n≥1) 若 a1≠0,则 ,当 n≥2 时,2an= , ,则 ,结合数列的单调性可求

两式相减可得,2an﹣2an﹣1=an ∴an=2an﹣1,从而可得数列{an}是等比数列 ∴an=a1?2
n﹣1

=

=

综上可得,当 a1=0 时,an=0,当 a1≠0 时, (II)当 a1>0 且 λ=100 时,令

由(I)可知 ∴{bn}是单调递减的等差数列,公差为﹣lg2 ∴b1>b2>…>b6= 当 n≥7 时, ∴数列 的前 6 项和最大 >0

点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列 的和的最大项,还考查了一定的逻辑运算与推理的能力.

21.已知椭圆 E:

(a>b>0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0)为椭圆的两个焦点,M 为

椭圆上任意一点,且|MF1|,|F1F2|,|MF2|构成等差数列,过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为 3. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ⊥ ,求出该圆的方程.

考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过|MF1|,|F1F2|,|MF2|构成等差数 列,过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为 3.列出 方程,求出 a、b,即可求椭圆 E 的方程; (2)假设以原点为圆心,r 为半径的圆满足条件. (ⅰ)若圆的切线的斜率存在,并设其方程 为 y=kx+m,则 r= ,然后联立直线方程与椭圆方程,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,结

合 x1x2+y1y2=0,即可求圆的方程. (ⅱ)若 AB 的斜率不存在,设 A(x1,y1) ,则 B(x1,﹣y1) ,利用 到结果. 解答: 解: (1)由题知 2|F1F2|=|MF1|+|MF2|, 即 2×2c=2a,得 a=2c.①又由 且 a =b +c ,综合解得 c=1,a=2,b= ∴椭圆 E 的方程为 +
2 2 2



,求出半径,得

,得 .



=1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(2)假设以原点为圆心,r 为半径的圆满足条件. (ⅰ)若圆的切线的斜率存在,并设其方程为 y=kx+m,则 r= ,

r=

2

,①
2 2 2

消去 y,整理得(3+4k )x +8kmx+4(m ﹣3)=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 又∵ ⊥
2

,∴x1x2+y1y2=0,
2 2 2 2 2 2 2

即 4(1+k ) (m ﹣3)﹣8k m +3m +4k m =0,化简得 m = 由①②求得 r =
2

(k +1) ,②

2

.所求圆的方程为 x +y =

2

2

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ⊥ ,

(ⅱ)若 AB 的斜率不存在,设 A(x1,y1) ,则 B(x1,﹣y1) ,∵ ∴ ? =0,得 x=
2



此时仍有 r =|x|=


2 2

综上,总存在以原点为圆心的圆 x +y =

满足题设条件.

点评:考查椭圆的方程和基本性质,与向量相结合的综合问题.考查分析问题解决问题的能力 . 22.已知函数 f(x)=lnx. (Ⅰ)求过点(0,0) ,曲线 y=f(x)的切线方程; x (Ⅱ)设函数 g(x)=f(x)﹣e ,求证:函数 g(x)有且只有一个极值点; (Ⅲ)若 f(x)≤a(x﹣1)恒成立,求 a 的值. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函 数的最值. 专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)求出导数,设切点为(m,n) ,求得切线的斜率和切线方程,代入原点,解得 m=e, 即可得到切线方程; (Ⅱ)求出 g(x)的导数,运用零点存在定理,由 g′(x)在 x>0 上递减,g′( )=2﹣ >

0,g′(1)=1﹣e<0,即可得证; (Ⅲ)若 f(x)≤a(x﹣1)恒成立,即有 lnx﹣a(x﹣1)≤0 恒成立.令 g(x)=lnx﹣a(x﹣1) , 求出导数,对 a 讨论,判断单调性,求出最大值,解不等式运用两边夹法则,即可得到 a=1. 解答: (Ⅰ)解:设切点为(m,n) , 函数 f(x)=lnx 的导数为 f′(x)= , 则切线的斜率为 k= , 切线方程为 y﹣lnm= (x﹣m) ,

代入原点,可得 l nm=1,解得 m=e, 即有切线方程为 y= x; (Ⅱ)证明:设函数 g(x)=f(x)﹣e =lnx﹣e ,x>0, g′(x)= ﹣e ,令 h(x)=g′(x) ,h′(x)=﹣
x x x

﹣e <0 恒成立,

x

即有 h(x)在(0,+∞)上递减,h( )=g′( )=2﹣ 即有 g′(x)=0 在( ,1)有且只有一个实根, 则函数 g(x)有且只有一个极值点; (Ⅲ)解:若 f(x)≤a(x﹣1)恒成立, 即有 lnx≤a(x﹣1)恒成立. 即有 lnx﹣a(x﹣1)≤0 恒成立. 令 g(x)=lnx﹣a(x﹣1) ,g′(x)= ﹣a= ,

>0,h(1)=g′(1)=1﹣e<0,

当 a≤0 时,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)递增,不恒成立; 当 a>0 时,当 x> 时,g′(x)<0,g(x)递减, 当 0<x< 时,g′(x)>0,g(x)递增. 即有 x= 处 g(x)取得极大值,也为最大值, 即有 ln ﹣a( ﹣1)≤0,即为 lna≥a﹣1. 由于 lna﹣a+1 的导数为 ﹣1,当 a>1 时,导数小于 0, 当 0<a<1 时,导数大于 0, 即有 a=1 处取得极大值,也为最大值,且为 0. 即有 lna﹣a+1≤0, 即有 lna=a﹣1,解得 a=1. 点评:本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值和最值,主要考查导数的几何意义 和函数的零点存在定理的运用,同时考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题, 属于中档题.


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