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2015-2016学年天津一中高二下学期期末数学试卷(理科)


2015-2016 学年天津一中高二下学期期末数学试卷(理科)
一、选择题
1.设复数 Z 满足(1+i)Z=2,其中 i 为虚数单位,则 Z=( ) A. 1+I 2.由曲线 y= A. B. 1﹣I C. 2+2i D. 2﹣2i

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( ) B. 4 C. D. 6

3.若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( ) A. 60 种 为实数,则 a3=( ) A. 15 B. 5 C. 10 B. x=1 为 f(x)的极小值点 D. x=﹣1 为 f(x)的极小值点 D. 20 5.设函数 f(x)=xex,则( ) A. x=1 为 f(x)的极大值点 C. x=﹣1 为 f(x)的极大值点 B. 63 种 C. 65 种 D. 66 种 4.若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中 a0, a1, a2, …,a5

6.已知随机变量 X 服从二项分布 X~B(6, ),则 P(X=2)等于( ) A. B. C. D.

7.设一随机试验的结果只有 A 和 ,P(A)=P,令随机变量 X= A. P A. ﹣2 或 2 法种数为( ) A. 21 10.设点 P 在曲线 A. 1﹣ln2 B. 28 C. 40 B. 2p(1﹣p) B. ﹣9 或 3 C. 1﹣p C. ﹣1 或 1

,则 X 的方差为( ) D. p(1﹣p) D. ﹣3 或 1

8.已知函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( ) 9.把 12 个相同的球全部放入编号为 1、2、3 的三个盒内,要求盒内的球数不小于盒号数,则不同的放入方

D. 72

上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|最小值为( ) B. C. 1+ln2 D.

二、填空题
11.函数 f(x)=mx3+nx 在 x= 处有极值,则 mn=________.

12.函数 y=xlnx 的单调递减区间是________.

13.定积分 (2x+ex)dx________. 14.将 2 名教师,4 名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师 2 名学生组成,不同的安排方案共有________种. 15.二项式(4x﹣2﹣x)6(x∈R)展开式中的常数项是________. 16.某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节,则在课程表 上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为________(用数字作答).

三、解答题
17.某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任 一个片区的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数的 ξ 分布列与期望. 18.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘,已知甲胜 A, 乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ. 19.设 f(x)=aex+ +b(a>0).

(1)求 f(x)在[0,+∞)上的最小值; (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))的切线方程为 3x﹣2y=0,求 a、b 的值.

20.已知函数 f(x)满足 f(x)=f′(1)ex﹣1﹣f(0)x+ (1)求 f(x)的解析式及单调区间; (2)若 ,求(a+1)b 的最大值.

x2;

答案解析部分
一、<b >选择题</b> 1.【答案】B 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解:设 Z=x+yi 则 (1+i)Z=(1+i)(x+yi)=x﹣y+(x+y)i=2 即 解得 x=1,y=﹣1 故 Z=1﹣i 故选 B 【分析】我们可以利用待定系数法求出 Z,我们设 Z=x+yi,结合已知中(1+i)Z=2,结合复数相等的充要条 件,我们易构造出一个关于 x,y 的方程组,解方程组即可求出满足条件的复数 Z 的值. 2.【答案】C 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】【解答】解:联立方程 得到两曲线的交点(4,2),

因此曲线 y=

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为:

S=

.故选 C.

【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键,要确定出曲线 y= 确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解. 3.【答案】D 【考点】计数原理的应用

,直线 y=x﹣2 的交点,

【解析】【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不 同的情况, 当取得 4 个偶数时,有 =1 种结果, 当取得 4 个奇数时,有 =5 种结果, 当取得 2 奇 2 偶时有 故选 D 【分析】本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同的情况,当取得 4 个 偶数时,当取得 4 个奇数时,当取得 2 奇 2 偶时,分别用组合数表示出各种情况的结果,再根据分类加法 原理得到不同的取法. 4.【答案】C 【考点】二项式系数的性质
5 2 5 【解析】【解答】解:由题意可得 f(x)=[﹣1+(x+1)] =a0+a1(1+x)+a2(1+x) +…+a5(1+x) ,

=6×10=60

∴共有 1+5+60=66 种结果,

∴a3=(﹣1)2? 故选:C.

=10, ,计算

5 2 5 2 【分析】由题意可得[﹣1+(x+1)] =a0+a1(1+x)+a2(1+x) +…+a5(1+x) ,故有 a3=(﹣1) ?

可得结果. 5.【答案】D 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解:由于 f(x)=xe ,可得 f′(x)=(x+1)e , 令 f′(x)=(x+1)e =0 可得 x=﹣1 令 f′(x)=(x+1)e >0 可得 x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数 令 f′(x)=(x+1)e <0 可得 x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数 所以 x=﹣1 为 f(x)的极小值点 故选 D 【分析】由题意,可先求出 f′(x)=(x+1)e ,利用导数研究出函数的单调性,即可得出 x=﹣1 为 f(x) 的极小值点 6.【答案】D 【考点】二项分布与 n 次独立重复试验的模型 【解析】【解答】解:∵随机变量 X 服从二项分布 X~B(6, ), ∴P(X=2)= 故选:D. 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 7.【答案】D 【考点】离散型随机变量的期望与方差 ×( )2×(1﹣ )4= ,
x x x x x x

【解析】【解答】解:∵由题意知一随机试验的结果只有 A 和 , 且 P(A)=P,随机变量 X= ∴X 服从两点分布, ∴DX=p(1﹣p). 故选 D. 【分析】根据随机试验的结果只有 A 和 ,P(A)=P,使得随机变量 X= 合两点分布,根据两点分布的方差公式得到结果. 8.【答案】A 【考点】利用导数研究函数的极值,函数的零点与方程根的关系 【解析】【解答】解:求导函数可得 y′=3(x+1)(x﹣1), 令 y′>0,可得 x>1 或 x<﹣1;令 y′<0,可得﹣1<x<1; ∴函数在(﹣∞,﹣1),(1,+∞)上单调增,(﹣1,1)上单调减, ∴函数在 x=﹣1 处取得极大值,在 x=1 处取得极小值. ∵函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, ∴极大值等于 0 或极小值等于 0. ∴1﹣3+c=0 或﹣1+3+c=0, ∴c=﹣2 或 2. 故选:A. 【分析】求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个 公共点,可得极大值等于 0 或极小值等于 0,由此可求 c 的值. 9.【答案】B 【考点】排列、组合的实际应用 【解析】【解答】解:根据题意,先在 12 个球种取出 1 个球放到编号为 2 的盒子里,再取出 2 个球放在 编号为 3 的盒子里, 此时只需将剩下的 9 个球,分为 3 组,每组至少一个,分别放到三个盒子里即可; 将 9 个球排成一列,排好后,有 8 个空位,
2 在 8 个空位中任取 2 个,插入挡板,有 C8 =28 种方法,即有 28 种将 9 个球分为 3 组的方法, 3



,得到随机变量符

将分好的 3 组对应 3 个盒子,即可满足盒内的球数不小于盒号数, 则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有 28 种, 故选:B. 【分析】根据题意,首先在 12 个球种取出 1 个球放到编号为 2 的盒子里,再取出 2 个球放在编号为 3 的 盒子里,将原问题转化为“将剩下的 9 个球,分为 3 组,每组至少一个,分别放到三个盒子里”,用挡板法 分析:将 9 个球排成一列,排好后,有 8 个空位,在 8 个空位中任取 2 个,插入挡板,由组合数公式计算 可得答案. 10.【答案】B 【考点】反函数,点到直线的距离公式

【解析】【解答】解:∵函数

与函数 y=ln(2x)互为反函数,图象关于 y=x 对称,

函数

上的点

到直线 y=x 的距离为



设 g(x)= 由 由

(x>0),则 ≥0 可得 x≥ln2, <0 可得 0<x<ln2,



∴函数 g(x)在(0,ln2)单调递减,在[ln2,+∞)单调递增, ∴当 x=ln2 时,函数 g(x)min=1﹣ln2, , 由图象关于 y=x 对称得:|PQ|最小值为 故选 B. 【分析】由于函数 与函数 y=ln(2x)互为反函数,图象关于 y=x 对称,要求|PQ|的最小值,只要 .

求出函数

上的点

到直线 y=x 的距离为

的最小值,

设 g(x)= 二、<b >填空题</b> 11.【答案】﹣3

,利用导数可求函数 g(x)的单调性,进而可求 g(x)的最小值,即可求.

【考点】利用导数研究函数的极值
3 2 【解析】【解答】解:∵f(x)=mx +nx,∴f′(x)=3mx +n

∵f(x)=mx3+nx 在 x= ∴f′( ∴ )=0 +n=0

处有极值,

∴mn=﹣3 故答案为:﹣3. 【分析】求出导函数,令导函数在 x= 12.【答案】( 0,e﹣1) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解:函数的定义域为 x>0 ∵y′=lnx+1 时的值为 0,即可求出 mn 的值.

令 lnx+1<0 得 0<x<e﹣1 ∴函数 y=xlnx 的单调递减区间是( 0,e﹣1)
﹣1 故答案为( 0,e )

【分析】求出函数的定义域,求出函数的导函数,令导函数小于 0 求出 x 的范围,写出区间形式即得到函 数 y=xlnx 的单调递减区间. 13.【答案】e 【考点】定积分
x 2 x 【解析】【解答】解: (2x+e )dx=(x +e ) =1+e﹣1=e.

故答案为:e. 【分析】直接利用定积分运算法则求解即可. 14.【答案】12 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】解:设 2 名教师为 A,B, 第一步,先分组,与 A 同组的 2 名学生公有 种,另两名学生与 B 同组有 种方法, 第二步,再安排到甲、乙两地参加社会实践活动,有 由分步计数原理可得,共有 故答案为:12. 【分析】不妨设 2 名教师为 A,B,利用分步计数原理即可求得不同的安排方案种数. 15.【答案】15 【考点】二项式定理的应用
x x 6 【解析】【解答】解:设二项式(4 ﹣2﹣ ) (x∈R)展开式的通项公式为 Tr+1,

种方法,

12 种,

则 Tr+1=

?(4x)6﹣r?(﹣1)r?(2﹣x)r ?212x﹣3rx,

=(﹣1)r? 则 r=4.

∵x 不恒为 0,令 12x﹣3rx=0, ∴展开式中的常数项是(﹣1)4? 故答案为:15. 【分析】利用二项展开式的通项公式 Tr+1= 答案. 16.【答案】 【考点】等可能事件的概率 【解析】【解答】解:把语文、数学、外语三门文化课排列,有 两个空中, ①若每个空各插入 1 节艺术课,则排法种数为 =72, 种方法,这三门课中间存在两个空,在 ?(4x)6﹣r?(﹣1)r?(2﹣x)r,令 2 的指数次幂为 0 即可求得 =15.

=

②若两个空中只插入 1 节艺术课,则排法种数为

?(

?

)?

=216,

③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列,把三门文化课捆绑为为一个整体, 然后和三门艺术课进行排列,则排法种数为 而所有的排法共有 =720 种, = , =144,

故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 故答案为 .

【分析】三门文化课排列,中间有两个空,若每个空各插入 1 节艺术课,则排法种数为 空中只插入 1 节艺术课,则排法种数为 =144,而所有的排法共有 三、<b ></b><b >解答题</b> 17.【答案】(1)解:由题意知本题是一个等可能事件的概率 试验发生包含的事件是 4 个人中,每一个人有 3 种选择,共有 3 种结果,
2 2 满足条件的事件是恰有 2 人申请 A 片区房源,共有 C4 2 4

,若两个

?(

?

)?

=216,三门文化课中相邻排列,则排法种数为

=720 种,由此求得所求事件的概率.

∴根据等可能事件的概率公式得到 P= (2)解:由题意知 ξ 的可能取值是 1,2,3 P(ξ=1)= ,

=

P(ξ=2)=



P(ξ=3)= ∴ξ 的分布列是: ξ 1 P ∴Eξ= 【考点】等可能事件的概率,离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】(1)本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是 4 个人中,每一个人有 3
4 2 2 种选择,共有 3 种结果,满足条件的事件是恰有 2 人申请 A 片区房源,共有 C4 2 ,得到概率.(2)由题

2

3

意知变量 ξ 的可能取值是 1,2,3,结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率,写出分布 列,做出变量的期望值. 18.【答案】(1)解:设甲胜 A 的事件为 D,乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F, ∵甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5 可以得到 D,E,F 的对立事件的概率分别为 0.4,0,5,0.5 红队至少两名队员获胜包括四种情况:DE 这四种情况是互斥的, ∴P=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55 (2)解:由题意知 ξ 的可能取值是 0,1,2,3 P(ξ=0)=0.4×0.5×0.5=0.1., P(ξ=1)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35 P(ξ=3)=0.6×0.5×0.5=0.15 P(ξ=2)=1﹣0.1﹣0.35﹣0.15=0.4 ∴ξ 的分布列是 ξ P 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15 ,D F, ,DEF,

∴Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6 【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率,离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望 与方差 【解析】【分析】(1)由题意知红队至少有两名队员获胜包括四种情况,一是只有甲输,二是只有乙输, 三是只有丙输,四是三个人都赢,这四种情况是互斥的,根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的 概率得到结果.(2)由题意知 ξ 的可能取值是 0,1,2,3,结合变量对应的事件写出变量对应的概率, 变量等于 2 使得概率可以用 1 减去其他的概率得到,写出分布列,算出期望. 19.【答案】(1)解:设 t=ex(t≥1), 则 y=at+ +b? y′=a﹣ = ,

①a≥1 时,y′>0? y=at+

+b 在 t≥1 上递增, +b;

得:t=1 即 x=0 时,f(x)的最小值是 a+ ②0<a<1 时,y=at+ 当且仅当 at=1(t=e =
x

+b≥2+b, ,x=﹣lna)时,f(x)的最小值是 b+2

x (2)解:f(x)=ae +

+b? f′(x)=aex﹣



由题意得:

?

?

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程
x 【解析】【分析】(1)设 t=e (t≥1),求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的最小值即可;

(2)求出函数的导数,得到关于 a,b 的方程组,解出即可. 20.【答案】(1)解: 令 x=1 得:f(0)=1 ∴ 故函数的解析式为 令 g(x)=f'(x)=e ﹣1+x ∴g'(x)=ex+1>0,由此知 y=g(x)在 x∈R 上单调递增 当 x>0 时,f'(x)>f'(0)=0;当 x<0 时,有 f'(x)<f'(0)=0 得: 函数 (2)解: 的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(﹣∞,0) 得 h′(x)=e ﹣(a+1)
x x
﹣1 令 x=0,得 f(0)=f'(1)e =1 解得 f'(1)=e

①当 a+1≤0 时,h′(x)>0? y=h(x)在 x∈R 上单调递增,x→﹣∞时,h(x)→﹣∞与 h(x)≥0 矛盾 ②当 a+1>0 时,h′(x)>0? x>ln(a+1),h'(x)<0? x<ln(a+1) 得:当 x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣b≥0,即(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)≥b ∴(a+1)b≤(a+1)2﹣(a+1)2ln(a+1),(a+1>0)
2 2 令 F(x)=x ﹣x lnx(x>0),则 F'(x)=x(1﹣2lnx)

∴ 当 时,

即当

时,(a+1)b 的最大值为

【考点】利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析】【分析】(1)对函数 f(x)求导,再令自变量为 1,求出 f′(1)得到函数的解析式及导数,再 由导数求函数的单调区间;(2)由题意 ,借助导数求

出新函数的最小值,令其大于 0 即可得到参数 a,b 所满足的关系式,再研究(a+1)b 的最大值


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