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1.1线性回归方程的求法


必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据 估计、推断 用样本估计总体 变量间的相关关系

简 单 随 机 抽 样

分 层 抽 样

系 统 抽 样

用样本 的频率 分布估 计总体 分布

用样本 数字特 征估计 总体数 字特征

线 性 回 归 分 析

统计的基本思想
实际 抽 样

样本

y = f(x)
模 分 析 拟

y = f(x)

? y = f(x)

现实生活中两个变量间的关系有哪些呢? 不相关 两个变量的关系

函数关系 相关 关系
线性相关 非线性相关

思考:相关关系与函数关系有怎样的不同?
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在,是更一 般的情况

1、定义: 自变量取值一定时,因变量的取值带有一

定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
注 1):相关关系是一种不确定性关系; 2):对具有相关关系的两个变量进行

统计分析的方法叫回归分析。

2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如:人的身高与年龄; 产品的成本与生产数量;

商品的销售额与广告费;
家庭的支出与收入。等等 探索:水稻产量y与施肥量x之间大致有何 规律?

施化肥量x 15

20

25

30

35

40

45

水稻产量y 330 345 365 y
500 450 400 350 300 10

405 445

450 455
散点图

水稻产量

··
20

·

·

·· ·
施化肥量

30

40

50

x

探索2:在这些点附近可画直线不止一条, 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢? 发现:图中各点,大致分布在某条直线附近。

y
500

水稻产量

450

? 400 |yi - yi |
350 300 10
n

· · ··
? (xi ,yi )
怎样求回归直线?

(xi ,yi )

· ··
20

施化肥量
30 40 50

x

Q(a,b)= ?(yi - bxi - a)2 取最小值时,a,b的值.
i=1

最小二乘法:y = bx + a ? ? ?
n ? ? (xi -x)(yi -y) ? ?b= i=1 ? = ? n 2 ? ? (xi -x) ? i=1 ? ? ?a=y-bx. ? ?

?x y
i=1 n

n

i i 2

- nxy - nx
2

?x
i=1

,

i

1 n 1 n 其中x = y ? xi, = ? yi. n i=1 n i=1

(x,y)

称为样本点的中心。

2、回归直线方程: ? ? ? (1)所求直线方程 y = bx + a

叫做回归直线方程;

?

其中
? b=

?(x
i=1

n

i

- x)(yi - y) =
i

?x y
i i=1 n

n

i

- nxy
2

?(x
i=1

n

- x)

2

?x
i=1

,

2 i

- nx

? ? a = y - bx

(2)相应的直线叫做回归直线。 (3)对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。

(注意回归直线一定经过样本点的中心)

例1 假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用y(万 元)有如下的统计数据:
x Y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由此资料所知y对x呈线性相关关系,试求: 1.回归直线方程 2.估计使用年限为10年时,维修费用是多少?

解题步骤: 1.作散点图

2.把数据列表,计算相应的值,求出回归系数 3.写出回归方程,并按要求进行预测说明。

例2 (2007年广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准 煤)的几组对应数据。
X y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图 (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的

? ? y ? bx ? a 性回归方程

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值: ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 ) 3

小结:求回归直线方程的步骤
(1)作散点图,通过图看出样本点是否呈条状分 布,进而判断两个量是否具有线性相关关系。 (2)所求直线方程

?

? ? ? y = bx + a 叫做回归直线方程;
=
i

其中
? b=

?(x
i=1

n

i

- x)(yi - y) - x)
2

?x y
i i=1 n

n

i

- nxy
2

?(x
i=1

n

?x
i=1

,

2 i

- nx

? ? a = y - bx

(3)根据回归方程,并按要求进行预测说明。

相关系数
? 1.计算公式
r=

?(x
i=1 n i=1

n

i

- x)(yi - y)
n

(xi - x)2 ?(yi - y)2 ?
i=1

? 2.相关系数的性质 ? (1)|r|≤1. ? (2)|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接 近于0,相关程度越小. ? 问题:达到怎样程度,x、y线性相关呢?它 们的相关程度怎样呢?

负相关

正相关

? n ? ? (xi -x)(yi -y) ? i=1 r= ? n n ? (x -x)2× ? (y -y)2 ? i ? i i=1 i=1 ? r>0正相关;r<0负相关.通常,
r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;

相关系数

第一章 统计案例
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
(第二课时)

a. 比《数学3》中“回归”增加的内 选修1-2——统计案例 容 数学3——统计
1. 画散点图 2. 了解最小二乘法 的思想 3. 求回归直线方程 y=bx+a 4. 用回归直线方程 解决应用问题 5. 引入线性回归模型 y=bx+a+e 6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因 7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系 8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果

什么是回归分析:
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。 根据遗传学的观点,子辈的身高受父辈影响,以X记父辈身高,Y记子辈身高。 虽然子辈身高一般受父辈影响,但同样身高的父亲,其子身高并不一致,因此, X和Y之间存在一种相关关系。 一般而言,父辈身高者,其子辈身高也高,依此推论,祖祖辈辈遗传下来,身 高必然向两极分化,而事实上并非如此,显然有一种力量将身高拉向中心,即子辈 的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。

虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论,并不具有普遍性,但从它 所描述的关于X为自变量,Y为不确定的因变量这种变量间的关系看,和我们现在的 回归含义是相同的。
不过,现代回归分析虽然沿用了“回归”一词,但内容已有很大变化,它是一种应用 于许多领域的广泛的分析研究方法,在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。

回归分析的内容与步骤:
回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。
其主要内容和步骤是,
首先根据理论和对问题的分析判断,将变量分为自变量和因变量; 其次,设法找出合适的数学方程式(即回归模型)描述变量间的关系;
由于涉及到的变量具有不确定性,接着还要对回归模型进行统计检验; 统计检验通过后,最后是利用回归模型,根据自变量去估计、预测因变量。

案例1:女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 解:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图: 2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系,因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。 产生随机误差项e 3、从散点图还看到,样本点散布在某一条 的原因是什么? 直线的附近,而不是在一条直线上,所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。

思考P3

我们可以用下面的线性回归模型来表示: y=bx+a+e,其中a和b为模型的未知参数, e称为随机误差。

思考P4 产生随机误差项e的原因是什么?
随机误差e的来源(可以推广到一般):
1、其它因素的影响:影响身高 y 的因素不只是体重 x,可能 还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素; 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差; 3、身高 y 的观测误差。

函数模型与回归模型之间的差别
中国GDP散点图 120000

100000

80000

GDP

60000

40000

20000

0 1992

1993

1994

1995

1996

1997 年

1998

1999

2000

2001

2002

2003

函数模型: y ? bx ? a 回归模型: y ? bx ? a ? e

可以提供 选择模型的准则

函数模型与回归模型之间的差别

函数模型: y ? bx ? a 回归模型: y ? bx ? a ? e
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e,因变量y的值由 自变量x和随机误差项e共同确定,即自变量x只能解析部分y的变 化。

在统计中,我们也把自变量x称为解析变量,因变量 y称为预报变量。

案例1:女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 解:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图: 2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系,因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。 3、从散点图还看到,样本点散布在某一条 直线的附近,而不是在一条直线上,所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。 我们可以用下面的线性回归模型来表示: y=bx+a+e,其中a和b为模型的未知参数, e称为随机误差。

例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 编号 身高/cm 165 体重/kg 48

2 3 4 5 6 7 8 165 157 170 175 165 155 170 57 50 54 64 61 43 59

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。

? ? 根据最小二乘法估计a 和 b就是未知参数a和b的最好估计,
i xi 1 2 3 4 5 6 7 8 合计

制表

yi
xi y i x i2

x?

,? y

, xi 2 ? ?
i=1

n

, xi yi ? ?
i=1

n

.

例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 编号 身高/cm 165 体重/kg 48

2 3 4 5 6 7 8 165 157 170 175 165 155 170 57 50 54 64 61 43 59

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 ( x, y )称为 172cm的女大学生的体重。
n

? ? 样本点的中心 根据最小二乘法估计a 和 b就是未知参数a和b的最好估计,
于是有b= i ?1n ? 0.849 a ? y ? bx ? ?85.712 2 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗?如 xi 2 ? nx ? i果不是,你能解析一下原因吗? ?1 y 所以回归方程是 ? ? 0.849 x ? 85.712
所以,对于身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报其体重为

? x y ? nx ? y
i i

探究P4:

? ? 0.849 ? 72 ? 85.712 ? 60.316(kg ) y

探究P4: 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗? 如果不是,你能解析一下原因吗?

答:身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg, 但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。

对回归模型进行统计检验

残差分析与残差图的定义:
在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关, 是否可以用回归模型来拟合数据。

? ? ? 然后,我们可以通过残差 e1 , e 2 ,? , e n 来判断模型拟合的效果,判断原始 数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析。
表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。

编号 身高 /cm 体重/kg 残差

1 165 48
-6.373

2 165 57
2.627

3 157 50
2.419

4 170 54
-4.618

5 175 64
1.137

6 165 61
6.627

7 155 43
-2.883

8 170 59
0.382

我们可以利用图形来分析残差特性,作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本 编号,或身高数据,或体重估计值等,这样作出的图形称为残差图。

残差图的制作及作用。 ? 坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择; 几点说明: 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大,需要确认在采集过程中是否有人为 ? 若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以 的错误。如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数 据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因。 横轴为心的带形区域; 另外,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型计较合适,这 ? 对于远离横轴的点,要特别注意。 样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高。

身 高 与 体 重 残 差 图

异 常 点
? 错误数据 ? 模型问题

样本决定系数
(判定系数 R2 )
1.回归平方和占总偏差平方和的比例

2. 反映回归直线的拟合程度

3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间
4. R2 ?1,说明回归方程拟合的越好;R2?0 ,说明回归方程拟合的越差 5. 判定系数等于相关系数的平方,即R2=(r)2

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是 n

R2 ? 1 ?

( yi ? ? i ) 2 y ?

? ( y ? y)
i ?1 i

i ?1 n

? 1?

2

残差平方和 。 总偏差平方和

显然,R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合效果越好。

在线性回归模型中,R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。
R2越接近1,表示回归的效果越好(因为R2越接近1,表示解析变量和预报变量的 线性相关性越强)。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析,则可以通过比较R2的值 来做出选择,即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。

总的来说: 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中,它代表自变量刻画预报变量的能力。

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是 n

R2 ? 1 ?

( yi ? ? i ) 2 y ?

? ( y ? y)
i ?1 i

i ?1 n

? 1?

2

残差平方和 。 总偏差平方和

表1-3
来源 解释变量 残差变量 总计 平方和 225.639 128.361 354 比例 0.64 0.36 1

从表3-1中可以看出,解析变量对总效应约贡献了64%,即R2 ? 0.64,可以叙述为 “身高解析了64%的体重变化”,而随机误差贡献了剩余的36%。 所以,身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。

小结:
用身高预报体重时,需要注意下列问题: ——这些问题也使用于其他问题。

1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性; 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围; 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上,它是预报变量的可能取值的平均值。

涉及到统计的一些思想:
模型适用的总体;
模型的时间性; 样本的取值范围对模型的影响; 模型预报结果的正确理解。

一般地,建立回归模型的基本步骤为: (1)确定研究对象,明确哪个变量是解析变量,哪个变量是预报变量。 (2)画出确定好的解析变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系 (如是否存在线性关系等)。 (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性 回归方程y=bx+a). (4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)。 (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大,或残差呈现 不随机的规律性,等等),过存在异常,则检查数据是否有误,或模型是 否合适等。

建构数学模型
? 我们将y=bx+a+e 称为线性回归模型.其中a, b为模型的未知参数,解释变量x,预报变量y, e称为随机误差。

? 思考1:e产生的主要原因是什么? (1)所用确定函数模型不恰当; (2)忽略了某些因素的影响; (3)观测误差。

思考2:如何检查拟合效果的好坏? (1)散点图 (2)相关系数 (3)残差分析

? ? e ? yi ? yi
? ( yi ? yi )2 ?
i ?1 n

( y i ? yi )2 ? ?
i ?1

n

(4)回归效果的相关系数
R2 ? 1 ?

( yi ? y )2 ?

问题情景

1953年,18省发生红铃虫大灾害,受灾 面积300万公顷,损失皮棉约二十万吨。

被害棉花

红铃 虫喜高温高湿,适宜各虫 态发育的温度为 25一32C,相对湿 度为80%一100%,低于 20C和高于 35C卵不能孵化,相对湿度60% 以 下成虫不产卵。冬季月平均气温低 于一4.8 ℃时,红铃虫就不能越冬 而被冻死。

问题呈现: 例2、现收集了一只红铃虫的产卵数y和温度x之间的 7组观测数据列于下表:
温度xoC 产卵数y/个 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325

(1)试建立产卵数y与温度x之间的回归方 程;并预测温度为28oC时产卵数目。 (2)你所建立的模型中温度在多大程度上 解释了产卵数的变化?

问题探究
350

方案1
300 250 200

选变量

解:选取气温为解释变量x,产卵数为预 报变量y。

画散点图

150 100 50

选模型

0 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

估计参数

假设线性回归方程为 :?=bx+a 由计算器得:线性回归方程为y=19.87x-463.73 相关指数R2=r2≈0.8642=0.7464 当x=28时,y =19.87×28-463.73≈ 93

分析和预测

所以,一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。

93>66!?
模型不好?
奇怪?

教法

合作探究
问题1

方案2

选用y=bx2+a ,还是y=bx2+cx+a ? 如何求a、b ? y=bx2+a 变换 y=bx+a
线性关系

问题2

问题3

非线性关系
产卵数
400 300 200 100

-40

-30

-20

0 -10 0 -100 -200

气 温
10 20 30 40

方案2解答
平方变换:令t=x2,产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a 就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a
温度 温度的平方t 产卵数y/个 21 441 7 23 529 11 25 625 21 27 729 24 29 841 66 32 1024 115 35 1225 325

作散点图,并由计算器得: y 和 t 之间的线性回归方程为 22 2 -202.54 y=0.367t-202.54,相关指数RR=r2≈0.8962=0.802 0.367 =r ≈0.8962=0.802

将t=x2代入线性回归方程得:

产卵数y/个 350 300 250 200

y=0.367x -202.54
当x=28时,y=0.367×282-

y=0.367x2 -202.54 2

150 100 50 0 0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350

202.54≈85,且R2=0.802,
所以,二次函数模型中温度解 释了80.2%的产卵数变化。

t

教法

合作探究
450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 -5 -50 0

方案3
产卵数

指数函数模型
气 温
5 10 15 20 25 30 35 40

-10

问题1

如何选取指数函数的底?

问题2

非线性关系

y ? c110

c2 x

对数 变换

y=bx+a 线性关系

教法

方案3解答
对数变换:在
c2 x c2 x

中两边取常用对数得

lg y ? lg(c110 ) ? lg c1 ? lg10 ? lg c1 ? c2 x lg10 ? c2 x ? lg c1
令 z ? lg y, a ? lg c , b ? c ,则 1 2 就转换为z=bx+a
温度xoC z=lgy
产卵数y/个

y ? c110
27 1.38 24 29 1.82 66
2.8

c2 x

21 0.85 7

23 1.04 11

25 1.32 21

32 2.06 115

35 2.51 325

由计算器得:z关于x的线性回归方程
为z=0.118x-1.665 , 相关指数R2=r2≈0.99252=0.985 当x=28oC 时,y ≈44 ,指数回归模型中 温度解释了98.5%的产卵数的变化 z
2.4

2 1.6
1.2

0.8 0.4
0 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

x

二次函数模型

产卵数

最好的模型是 哪个?
-40 -30 -20

400 300 200 100 0 -10 0 -100 -200 10 20 30

气 温
40

线性模型
400 300

产卵数
450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 -5 -50 0

指数函数模型

产卵数

200 100 0 -100 0 5 10 15 20 25 30 35 40

气 温

-10

5

10

15

20

25

30

35

40

教法

比 一 比

最好的模型是哪个?

函数模型 线性回归模型 二次函数模型

相关指数R2 0.7464 0.802

指数函数模型

0.985
教法

归纳小结
练习

选修1-2:P13-3

小结: (1)如何发现两个变量的关系? (2)如何选用、建立适当的非线性回归模型 ? (3)如何比较不同模型的拟合效果?


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1.1.1 线性回归模型与随机误差_图文.ppt
1.1.1 线性回归模型与随机误差 - 线性回归模型 与随机误差 新增的内容 数
《线性回归方程》课件1_图文.ppt
-1.0241 所以,所求线性回归方程为 y ? 0.0774...最小二乘法 最小二乘法估计线性回归方程: ? ? ...
一元线性回归方程_图文.ppt
元线性回归方程 - 计量经济学的线性回归方程的相关的知识课件。
1.1.1线性回归的思想方法及应用(学、教案).doc
统计案例 1.1 回归分析的基本思想及初步应用 1.1.1 线性回归的思想方法及应用 课前预习学案一、课前预习 预习目标:回顾回归直线的求法,并利用回归直线进行总体...
1.1.1线性回归的思想方法及应用.doc
精品 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及初步应用 1.1.1 线性回归的思想方法及应用 课前预习学案 一、课前预习 预习目标:回顾回归直线的求法,并利用回归直线...
高一数学线性回归方程1.doc
(3)知道最小二乘法的含义,知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程...?1.0241 , 所以,所求线性回归方程为 ? y ? 0.0774x ?1.0241. 2....
1一元线性回归方程_图文.ppt
§1.1 模型的建立及其假定条件一、一元线性回归...线性回归方程的求法(需要.
最新高三教案-线性回归方程(1) 精品.doc
最新高三教案-线性回归方程(1) 精品 - 课题:§2.3.1 线性回归方程(1) .教学任务分析: (1) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图, 并利用...
1.1.1线性回归的思想方法及应用.doc
1.1 回归分析的基本思想及初步应用 1.1.1 线性回归的思想方法及应用 课前预习学案一、课前预习 预习目标:回顾回归直线的求法,并利用回归直线进行总体估计。 二...
2.4.1线性回归方程(1).doc
具有线性相关关系时,会在散点较长中作出线性直线,会用线性回 归方程进行预测; (3)知道最小二乘法的含义,知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数...
一元线性回归方程.._图文.ppt
线性回归方程.. - 第二章 元线性回归模型 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 回归的含义 元回归模型的建立 参数估计最小二乘法 随机误差项的古典假定 ...
线性回归方程1_图文.ppt
线性回归方程1_数学_自然科学_专业资料。问题引入:...再 求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直 ...直线的距离的平 方和最小,这方法叫最小二乘法...
一元线性回归方程PPT_图文.ppt
§1.1 模型的建立及其假定条件一、一元线性回归...线性回归方程的求法(需要.
一元线性回归方程的建立分析.doc
无穷多组解,回归分析的任务是求出其最 佳的线性...残差平方和定义为: (2-1-2) 所谓最小二乘法,...由 F 表查得 F0.05(1,3)=10.1,F0.01(1,3...
统计学一元线性回归课后习题答案_图文.ppt
系列1 费用 产量和费用存在正的线性相关系数 2)...(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程,并解释回归...
高一数学 线性回归方程(1).doc.doc
高一数学 线性回归方程(1).doc - 高一数学 线性回归方程(1) 教学目标 (1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间 的...
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