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圆锥曲线综合问题—5. 存在性问题


圆锥曲线综合问题—5. 存在性问题(一)
存在性问题是近几年高考试题对解析几何考查的一种热点题型,以判断满足条件的点、 直线、参数是否存在,证明直线与圆锥曲线的位置关系,数量关系(等量或不等量)为主要呈 现方式,多以解答题的形式考查;对这类问题,若存在,需要找出来,若不存在,需说明理 由,其解法有: 一、假设法 假设法的一般解法是,先假定存在,然后根据已知条件或其他定理、公理、

法则等推导下去,如与已知定理、公理、法则等不发生矛盾,即推出的结果合理,并经验证 成立,那么结论成立,若发生矛盾,则结论不成立。 1. ( 2015 届 湖 南 省 浏 阳 一 中 、 攸 县 一 中 、 醴 陵 一 中 三 校 高 三 联 考 ) 已 知 椭 圆
C:
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 2 , a 2 b2

且过点 A( , ) . ( 1 )求椭圆的方程; ( 2 )已知

3 1 2 2

l : y ? kx ? 1 ,是否存在 k 使得点 A 关于 l 的对称点 B (不同于点 A )在椭圆 C 上?若存在求出

此时直线 l 的方程,若不存在说明理由. 【答案】 (1)
x2 ? y2 ? 1; (2)不存在 k 满足条件 3

1

2. 【2015 届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试数学(理) 】已知椭圆 C 的中心在原 点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为
1 ,右焦点到右顶点的距离为 1 ; (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; 2

( Ⅱ ) 是 否 存 在 与 椭 圆 C 交 于 A, B 两 点 的 直 线 l : y ? kx ? m(k ? R ) , 使 得

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
x2 y 2 2 21 2 21 ? ? 1 (2)(- ∞ , ]∪ [ , +∞ ) 4 3 7 7

3. (河北省容城中学 2014 届高三上学期第一次月考数学 (理) 试题) 已知点 A(-2,0),B(2,0),
3 直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为 ? , 记点 P 的轨迹为曲线 C. 4

(1)求曲线 C 的方程.

???? ? ???? ???? ? ???? (2) 设 M,N 是曲线 C 上任意两点,且 OM ? ON ? OM ? ON , 问是否存在以原点为圆心且

与 MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
x2 y 2 ? 1( y ? 0) (2) 存在以原点为圆心且与 MN 总相切的圆,其方程为 【答案】(1) ? 4 3
x2 ? y2 ? 12 7

2

4.【浙江省温州八校 2014 届高三 10 月期初联考
x2 y 2 数学(理)】如图,椭圆 C: 2 + 2 =1(a >b>0) 经过 a b
3 1 点 P(1, ), 离心率 e = ,直线 l 的方程为 x =4 . 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点
P ),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3. 问:是否存在

常数 ? ,使得 k1 +k2 =?k3. 若存在求 ? 的值;若不存在,说明理由. 【答案】(1)
x2 y 2 ? ? 1 (2) ? ? 2 4 3

3

5. 【中原名校联盟 2013-2014 学年高三上期第一次摸底考试理】 (本小题满分 12 分) 已知椭圆长轴的左右端点分别为 A,B,短轴的上端点为 M,O 为椭圆的中心,F 为椭圆 uuu r uur uuu r 的右焦点,且 AF · FB =1,| OF |=1. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (2)若直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,问:是否存在直线 l,使得点 F 恰为△PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由. 【答案】(1)
4 x2 ? y 2 ? 1(2)存在,方程为 y ? x ? 3 2

4

6. 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学理科】 (本题满分 12 分) 已知定点 G(?3, 0) ,
S 是圆 C : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 72(C 为圆心) 上的动点,SG 的垂直平分线与 SC 交于点 E .设点 E 的

轨迹为 M. (1),求 M 的方程; (2)是否存在斜率为 1 的直线 l , 使得直线 l 与曲线 M 相交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明 理由. 【答案】(1)
x2 y 2 ? ? 1 (2) y ? x ? 2 3, y ? x ? 2 3 18 9

5

7. 直线 ax - y = 1 与曲线 x2 - 2 y 2 = 1 相交于 P、Q 两点。 (1) 当 a 为何值时, PQ = 2 1 + a 2 ; (2) 是否存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过原点 O?若存在,求出的值,若不 存在,请说明理由。 【答案】(1) a ? ?1 (2)不存在

6

8. (河北省保定市八校联合体2014届高三上学期第一次月考数 学(理科)试题) 已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,
1 离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x2 ? 8 3 y 的焦 2

点. (1)求椭圆C的方程; (2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆 上,A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,(I )若直线AB的斜率为
1 ,求四边形APBQ面积 2

的最大值;(II)当A、 B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明 理由. 【答案】(1)
1 x2 y 2 ? ? 1 (2) (I ) 当 t ? 0, Smax ? 12 3 (II) AB 的斜率为定值 2 16 12

7

9. (河南省郑州一中 2014 届高三上学期期中考试)如图,已知椭
x2 y 2 x2 y 2 ? 1 ,设 P 圆 C1 : ? ? 1 的焦点分别为 F1 , F2 ,双曲线 C2 : ? 4 4 8 4
y
A C F1 P

为双曲线上异于顶点的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别 为 A、B 和 C、D. (Ⅰ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1、k2 ,求: k1 ? k2 的值; (Ⅱ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立? 若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(Ⅰ) k1 ? k2 ? 1 (Ⅱ) 存在 ? ?
B

o
D

F2

x

3 2 ,使 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立。 8

8

圆锥曲线综合问题—5. 存在性问题(二)
二、特殊化法 从具体的特殊实例(如特殊值、特殊位置等)入手,探索可能的对象, 再给予证明,或作出猜想,然后加以验证。 1. (2009年广东卷文)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为
3 ,两个焦点分 2

别为 F1 和 F2 ,椭圆G上一点到 F1 和 F2 的距离之和为12,圆 Ck : x2 ? y2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0(k ? R) 的圆心为点 Ak .(1)求椭圆G的方程;(2)求 ?Ak F1F2 的面积;(3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆G? 请说明理由. 【答案】(1)
x2 y 2 ? ? 1 (2) 6 3 (3)不存在 36 9

2. (2009 湖北,理 20)过抛物线 y2=2px(p>0)的对称轴上一点 A(a,0)(a>0)的直线与抛物线 相交于 M、N 两点,自 M、N 向直线 l:x=-a 作垂线,垂足分别为 M1、N1. (1)当 a ?
p 时,求证:AM1⊥AN1; 2

(2)记△AMM1、△AM1N1、△ANN1 的面积分别为 S1、S2、S3,是否存在 λ,使得对任意的 a >0,都有 S22=λS1S3 成立.若存在,求出 λ 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(2)λ=4,对任意 a>0,S22=4S1S3 成立.

9

三、要注意的事项 (一) 、存在性问题中若含有讨论的参数或不同的约束条件,还需分类讨论,在分类讨论的过 程中探索结论在各类情形下是否存在或是否成立。 1. 【湖北省武汉市 2014 届高三 10 月调研测试数学(理) 】已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) 3 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 3 2 . (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位 2

x2 y2 a b

的离心率为

O 到 l 的距离为

→ → → 置时,有OP=OA+OB成立?若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理 由. 3 2 → → → 【答案】(1) a ? 3, b ? 2 (2)存在点 P( ,± ),使OP=OA+OB成立,此时 l 的方 2 2 程为 2x±y- 2=0.

2. (2007 湖南卷 20 题) . (本小题满分 12 分) 已知双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的左、 右焦点分别为 F1 ,

????? ???? ???? ???? 过点 F2 的动直线与双曲线相交于 A,B 两点. (I) 若动点 M 满足 F1M ? F1 A ? F1B ? FO F2 , 1 (其
??? ? ??? ? 中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程; (II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA ·CB 为常数?
若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

??? ? ??? ? 【答案】(1) ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 (2)在 x 轴上存在定点 C (1, 0) ,使 CA ? CB 为常数.

10

3.(08 山东卷 22) (本小题满分 14 分)如图, 设抛物线方程为 x2=2py(p >0),M 为直线 y=-2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B.(Ⅰ)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为(2,-2p)时, AB ? 4 10 ,求此时抛物线的方程; (Ⅲ) 是 否 存 在 点 M , 使 得 点 C 关 于 直 线 AB 的 对 称 点 D 在 抛 物 线 ??? ? ??? ? ??? ? 上,其中,点 C 满足 OC ? OA ? OB (O 为坐标原点). x2 ? 2 py( p > 0) 若存在,求出所有适合题意的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】 (Ⅱ)所求抛物线方程为 x2 ? 2 y 或 x2 ? 4 y. (Ⅲ)仅存在一点 M(0,-2p)适合题意

4. (福建省四地六校 2014 届高三 12 月第三次月考)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,离心率
e? 3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)设椭圆的上顶点为 A ,在椭圆 C 上是 2

否存在点 P ,使得向量 OP ? OA与 FA 共线?若存在,求直线 AP 的方程;若不,简要说明理由. 【答案】 (Ⅰ)椭圆 C 的方程为
x2 ? y 2 ? 1(Ⅱ) 存在,当点 P 的坐标为 (0, ?1) 时,直线 AP 的方程 4

为 y ? 0 ,当点 P 的坐标为 P(?

8 3 1 , ) 时,直线 AP 的方程为 3x ? 4 y ? 4 ? 0 , 7 7

11

5. (河南省内黄一中 2014 届高三 12 月月考)如图所示,已知 以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1: x+2y+7=0 相切,过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中 点, 直线 l 与 l1 相交于点 P. (1)求圆 A 的方程;(2)当|MN| =2 19时,求直线 l 的方程; (3)B→ Q ·B→ P 是否为定值?如果 是,求出其定值;如果不是,请说明理由. 【 答 案 】 (Ⅰ) 圆 A 的 方 程 是 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 20 ; (2) x ? ?2,3x ? 4 y ? 6 ? 0 (3) B→ Q ·B→ P 为定值-5.

(二) 、在求出了探索对象之后不要立即断言探索对象的存在性,还要看看题中还有什么隐含 条件(如判别式 ? ? 0 等)可以加以检验。 1. 已知双曲线方程为 x 2 y2 = 1 ,问:是否存在过点 M(1,1)的直线l,使得直线与双曲线 2

交于 P、Q 两点,且 M 是线段 PQ 的中点?如果存在,求出直线的方程,如果不存在,请说 明理由。 【答案】不存在

12


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