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一个不等式的加强与探究


?

2 8?  

中学教研 ( 数 学)  

显然 r ≤ 

2 a r n+2 r n p+ 2 n p-

m 2  

. . . . . . . . . .

2  

r t



—  





..........—

不 符合条 件 , 舍 去. 于 是 

因此 , 当 m, n , P满足 m  +n   + p   <2 mn+ 2 a r p+2   时 旁切球 的半 径有 最小 值 , 最 小值 为 


±  ± 卫±  

±  
2  

±  

二  : 二   : 二 卫  

点评  由于三棱锥 。  B C的顶点 。所对旁切球的半径为 r = a — b — + b — c — + c   a   +    ̄ / a 2   b 2   +   b 2 c 2 + c 2 a 2


因此 

问题 5还 可 以叙 述 为 :  

已知 n , 6 , c均为 正数 , m, n , p均 为正 常数 , 且 




旱 +卫





1 , 求  ± 

‘   十   十 毫   c   J  
a  。


的 最  

小 值.  

以上通 过 对 每个 问题 的几何 意 义进行 分 析 : 首先 从 图形 中找 到 不 等关 系 ; 然 后 分 析 最 值取 得 的条 件 ,   使 问题 的解 答 变 得直 观易 懂 , 易 于 洞察 问题 的 本 质. 尽 管 探 求 过 程充 满 艰 辛 但 又 一 次 让 人 体 验 到 “ 数 缺  形 时少 直 观 , 形 缺 数时难 入 微 ” . 只有 数形 结合 , 数学才 会展 现 出其艺 术魅 力.   参 考 文 献 

[ 1 ]   李建潮. 关于几个最值 问题的研究[ J ] . 中学教研( 数 学) , 2 0 1 3 ( 1 ) : 3 9 41 .  


个 不 等 式 的 加 强 与 探 究 
●魏 正 清  ( 临泽县第一中学 甘肃临泽 7 3 4 2 0 0 )  

文献 [ 1 ] 中给出了这样一个推广不等式 :   已知变 量  , b , c 为 正数 , f g . p , q , r , A,   为正 常 数 , 求证 :  
+   q 2 b Ab +   / x c  ’Ac +   n  + Aa   4 - / z br ≥  /  



A +  

事实上 , 当P: 1 , q = 2 , r = 8 时, 不等式 ( 1 ) 即为 


A6+  

+ 

4 b ‘Ac+ 

+ 

6 4c 1 7   ’A口   +I x b≥ 一 A   + 一 t z ? ‘  

正 数 大于 负数 , 这 是一 个 毫无 意义 的不 等 式. 为此 , 可 寻求不 等式 ( 1 ) 的加 强 形式 .   为叙 述方 便 , 将文 献 [ 1 ] 中的解 答 简要 摘 录如 下 :  


+ 

A 6+  c  A c +   。  

2 b   +一 2 q Aa+t x b   +

2   2

=  

A 口 6 +  c 口。  



』   +   c+t 2 _ c 2 Ab c+t x a b   Aa x b c ≥ 
。  

/( r A  t z   ) (   a b   +   b c   +   c a   )  

+  

设  {   {  ≥   匣 成 立 , 则  
( p a+q 6+ r c )   ≥  ( a b+ 6 c +c a ) ,  
即 

p   口   +[ ( 2 p q一  ) 6+( 2 p r 一 后 ) c ] 0+ r   c  +( 2 q r —k ) b c  ̄O >   △。 =[ ( 2 p q 一后 ) b+( 2 p r 一后 ) c ]  一 4 p   [ q 2 b  +r   c   一( 2 q r —k ) b c ] ≤0  

匣成立 , 因此 

匣成 立 , 即  

( 后一4 p q ) b  +2 [   +2 p ( p—q—r ) ] b c一( 七一4 p r ) c  ≤ 0 ,  
恒成 立 

( 2 )  

第 7期 

魏正 清: 一个不等式的加强与探 究 

? 2 9?  

当  = 4 p q时, 式( 2 ) 即( q— P—r ) 6+( g —r ) c  ̄O . 而 当 q— P— r >0时 , 此 式不 恒 成 立 , 因此 k ≠4 p q , 故 

式( 2 ) 恒成立, 当且仅 当 k一 4 p q< 0且  A   6=4 [ 后+2 p ( p—q—r ) ]   c  一4 ( k一4 p q ) (   一4 p r ) e 。≤ 0 ,   即  
于是 

( 3 )  

后 ≤( P+g+ r ) 2 — 2 ( p   +g  +r   ) ,  
j } 一 4 p q ≤ 一( P+ q—r )  ≤0 .  

又 ≠4 p q , 得 k一 4 p q< 0 , 从 而式 ( 2 ) 恒成 立 的充要 条件是  ≤( P+q+ r ) 。 一 2 ( p 2 + g  +r   ) ,  
故 
式( 1 ) 得 证.  

≥( p+g +r )  一2 ( p   +q 2 +r   ) ,  

上述解答 , 显然把充分条件 当成了充要条件. 事实上 , 对于二次 函数, (   ) =   + b x+ c ( a ≠ O ) , 不等式 
r 。 >U   f 口<0  

叵 成 立 铸  或 { t _   < 0 ; 不 等 式  ≤ 。 恒 成 立 甘 {  或   b < 0 , 从 而  
f ( 0 ) 10 >  

叵 成立   。 ≤。 r  ̄[ , 1 【


0 ) ≤0   p r-   k ) c   >0   (   2 p   q-   k ) 6   ( 2
g 卜

( 4 )  

r  ≤2 p g  

而式( 4 ) 成立, 只需{ | ] } ≤ 2 p r , 即   ̄ < m i n{ 2 p q , 2 p r , 2  } .   【   ≤ 2  
于 是可 将 不 等式 ( 1 ) 加强 为 :   定理 1   已知变量 a , 6 , c 为正数 , 且P , g , r , A ,  为正常数 , P ≤9 ≤r . 求证 :  


+ 

+  

r 2c



x  

) .  
或 

㈤  
( 6 )  



注…

 

恒魁



 

立 铮 

而式 ( 6 ) 成立 , 只需 
r   < 4 pq;  

{ k ≤2 p ( q + r — p ) ;  
【  ≤4 p r
.  

( 7 )  

不妨设 P ≤g ≤r , 则 当P+ g ≤r 时, 易得  2 p ( q+r — p ) I4 > p q I( > p+ g+r )  一 2 ( p  + q  + r   ) ,   从而式( 7 ) 成立 , 即  < 4 p q , 当P + g ≥r 时, 易得  4 p q  ̄2 > p ( g+r — P ) ≥( p+ g+r ) 。 一 2 ( p  + g  + r 2 ) ,  
从 而式 ( 7 ) 成立 , 即  ≤2 p ( q+ r — p ) ,  

因此 可将 不 等 式 ( 7 ) 进 一 步 加强 为 :  

定理 2   已知变量 a , b , c 为正数 , 且P , g , r , A,   为正常数 , P ≤q ≤r . 求证 :  

A 6 +  。 A c +  ‘   A a + / x b ~ … … { l 怨 A +   , ’   ,A +  J ) . ’  
参 考 文  献 



+ 

+一

r 2c

[ 1 ]   邹生书. 一个不等式的另证及推广[ J ] . 中学教研( 数学) , 2 0 1 3 ( 1 ) : 3 3 — 3 5  


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