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2013届高考数学专题训练11 三角变换与解三角形、平面向量 理


高考专题训练十一 三角变换与解三角形、平面向量
班级_______ 姓名_______ 时间:45 分钟 分值:75 分 总得分________ 一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项填在答题卡上. → → 1.a,b 是不共线的向量,若AB=λ 1a+b,AC=a+λ 2b(λ 1,λ 2∈R),则 A,B,C 三 点共线的充要条件为( A.λ 1=λ 2=-1 C.λ 1λ 2+1=0 ) B.λ 1=λ 2=1 D.λ 1λ 2-1=0

→ → → → 解析:只要AC,AB共线即可,根据向量共线的条件即存在实数 λ 使得AC=λ AB, 即 a+λ 2b=λ (λ 1a+b),由于 a,b 不共线,根据平面向量基本定理得 1=λ λ 1 且 λ =λ ,消掉 λ 得 λ 1λ 2=1. 答案:D 2.(2011·辽宁)若 a,b,c 均为单位向量,且 a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+
2

b-c|的最大值为(
A. 2-1 C. 2

) B.1 D.2

解析:a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0, 即 a·b-(a·c+b·c)+c ≤0 ∴a·c+b·c≥1. 又|a+b-c|= ?
2

a+b-c?

2

= a +b +c +2a·b-2a·c-2b·c = 3-2? a·c+b·c? ≤1. 答案:B 3.(2011·全国)设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a·b= 1 - , a-c,b-c〉=60°,则|c|的最大值等于( 〈 2 A.2 C. 2 → → → 解析:设OA=a,OB=b,OC=c
1

2

2

2

)

B. 3 D.1

(ⅰ)若 OC 在∠AOB 内,如图

1 因为 a·b=- ,所以∠AOB=120°, 2 又〈a-c,b-c〉=60°,则 O,A,C,B 四点共圆. |AB| =|OA| +|OB| -2|OA|·|OB|·cos120°=3,∴|AB|= 3. |AB| 3 2R= = =2,∴|OC|≤2,即|c|≤2. sin120° 3 2 (ⅱ)若 OC 在∠AOB 外,如图
2 2 2

由(ⅰ)知∠AOB=120°,又∠ACB=60°, → |OA|=|OB|=1,知点 C 在以 O 为圆心的圆上,知|c|=|OC|=1. 综合(ⅰ),(ⅱ)|c|最大值为 2. 答案:A → → 4.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量OA=a,OB=b,其中 a=(3,1),b= → (1,3).若OC=λ a+μ b,且 0≤λ ≤μ ≤1,C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 ( )

2

→ 解析:由题意知OC=(3λ +μ ,λ +3μ ),取特殊值,λ =0,μ =0,知所求区域包含 原点,取 λ =0,μ =1,知所求区域包含(1,3),从而选 A. 答案:A 5. (2011·天津)如图, 在△ABC 中, 是边 AC 上的点, AB=AD,2AB= 3BD, =2BD, D 且 BC 则 sinC 的值为( )

A.

3 3 6 3

B.

3 6 6 6

C.

D.

解析:如题图所示

3

在△BCD 中,∵BC=2BD, ∴ sinC 1 = . sin∠BDC 2

在△ABD 中,∵AB=AD,2AB= 3BD,

AD2+BD2-AB2 3 ∴cos∠ADB= = , 2AD·BD 3
∴sin∠ADB= 6 ,∵∠ADB=π -∠BDC, 3

∴sin∠ADB=sin∠BDC, 1 6 6 ∴sinC= × = . 2 3 6 答案:D 6.(2011·河南省重点中学第二次联考)在△ABC 中,sin A+cos B=1,则 cosA+cosB +cosC 的最大值为( A. 5 4 ) B. 2 D.
2 2 2 2 2 2

C.1

3 2

解析:由 sin A+cos B=1,得 cos B=cos A.又 A、B 为△ABC 的内角,所以 A=B,则 C =π -2A.cosA+cosB+cosC=2cosA+cos(π -2A)=2cosA-cos2A=-2cos A+2cosA+1 1?2 3 1 3 ? =-2?cosA- ? + ,可知当 cosA= 时,cosA+cosB+cosC 取得最大值 . 2? 2 2 2 ? 答案:D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. tanx ? π? 7.(2011·江苏)已知 tan?x+ ?=2,则 的值为________. 4? tan2x ?
2

? π ? 1+tanx=2,∴tanx=1, 解析:tan?x+ ?= 4 ? 1-tanx 3 ?

4

2tanx 3 tan2x= 2 = , 1-tan x 4 1 tanx 3 4 则 = = . tan2x 3 9 4

4 答案: 9 8.(2011·上海)函数 y=sin? 解析:y=cosx·? =

?π +x?cos?π -x?的最大值为________. ? ?6 ? ?2 ? ? ?

3 1 3 cos2x+1 1 1 ? 3 ? 2 + sin2x cosx+ sinx?= cos x+ sinx·cosx= · 2 2 2 2 4 2 ?2 ?

π? 3 1 3 1 ? 3 cos2x+ sin2x+ = sin?2x+ ?+ . 3? 4 4 4 4 2 ?

1 3 故 ymax= + . 2 4 1 3 答案: + 2 4 9. (2011·江西)已知|a|=|b|=2,a+2b)·(a-b)=-2, a 与 b 的夹角为________. ( 则 解析:(a+2b)·(a-b)=-2 ∴a +a·b-2b =-2 ∵|a|=2,|b|=2, ∴4+a·b-8=-2,∴a·b=2
2 2

a·b 2 1 π ∴cosθ = = = ,0≤θ ≤π ,∴θ = . |a||b| 4 2 3
π 答案: 3 → 10.(2011·湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC= → → → → → 2BD,CA=3CE,则AD·BE=________. → → 解析:∵BC=2BD,∴D 为 BC 中点. → → ∵CA=3CE,∴E 为 AC 边上距 C 近的一个三等分点. → → → → → → → → 1 2 ∴AD= (AB+AC),BE=AE-AB= AC-AB. 2 3
5

→ → → → 又|AB|=|AC|=1,AB与AC夹角为 60°, → → → → ? → →? 1 ∴AD·BE= (AB+AC)·?2AC-AB? 2 ?3 ? → →? 1? → → = ?2AC2-AB2-1AB·AC? 2?3 3 ? 1 1?2 ? = ? -1- ×1×1×cos60°? 3 3 2? ? 1? 1?2 1 = ? -1- ?=- . 3 6? 2? 4 1 答案:- 4 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

?1 π ? 11.(12 分)(2011·广东)已知函数 f(x)=2sin? x- ?,x∈R. 6? ?3
(1)求 f?

?5π ?的值; ? ? 4 ?

π ? 10 6 ? π? ? (2)设 α ,β ∈?0, ?,f?3α + ?= ,f(3β +2π )= ,求 cos(α +β )的值. 2? 2 ? 13 5 ? ? 解:(1)f?

?5π ?=2sin?1×5π -π ?=2sin?5π -π ?=2sinπ = 2. ? ?3 4 ? 12 6 ? 6? 4 ? 4 ? ? ? ? ?

π? π? π? ?1? ? (2)∵f?3α + ?=2sin? ?3α + ?- ? 2? 6? 2? ? ?3?

10 =2sinα = , 13 5 12 ? π? ∴sinα = ,又 α ∈?0, ?,∴cosα = , 2? 13 13 ? ∵f(3β +2π )=2sin? 6 =2cosβ = , 5 3 4 ? π? ∴cosβ = ,又 β ∈?0, ?,∴sinβ = . 2? 5 5 ? 12 3 5 4 16 ∴cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ = × - × = . 13 5 13 5 65 12.(13 分)(2011·湖北)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.已知 a=1,

?3β +2π -π ?=2sin?β +π ? ? 3 6? 2? ? ? ? ?

6

b=2,cosC= .
(1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值. 1 2 2 2 解:(1)∵c =a +b -2abcosC=1+4-4× =4. 4 ∴c=2 ∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. 1 2 (2)∵cosC= ,∴sinC= 1-cos C= 4 15 4 asinC 15 ∴sinA= = = . c 2 8 ∵a<c.∴A<C,故 A 为锐角. ∴cosA= 1-sin A=
2

1 4

15 ?1?2 1-? ? = . 4 ?4?

1-?

? 15?2 7 ?= . ? 8 ? 8

7 1 15 15 11 ∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC= × + × = . 8 4 8 4 16

7


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