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2014高三文科辅导第12讲《推理与证明》


2014 高三文科辅导第 12 讲《推理与证明》
推 根据一个或几个事实 (或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理 .从结构上说,推理一般由 理 两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论 合情 归 纳 由某类事物的部分对象具有的某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特 推理 推理 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.简言之,归纳推理是由部分到 整体、由个别到一般的推理. 实验、观察 ?概括、推广 ? 猜测一般结论 类 比 是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对 推理 象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理 观察、比较 ?联想、类推 ?猜测新的结论 演绎 定 从一般性的原理出发, 推出某个特殊情况下的结论的推理.简言之, 演绎推理是由一 推理 义 般到特殊的推理 三 ①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况; 段 ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断 论 大前提:M 是 P,小前提:S 是 M,结论:S 是 P 直接 综 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 证明 合 导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. 与间 法 框图表示: 接证 (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要证的结论) 明 分 从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论 析 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。这种证 法 明方法叫做分析法. 反 证 法 原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个
得到一个明显成立的条件 框图表示: 假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证 明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法 一般步骤为: (1)反设 (2)归廖(3)下结论 反设词 原结论词 反设词 一个也没有 对所有 x 成立 存在某个 x 不成立 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立 ?p 且 ?q 至多有 n-1 个 p或q

至多有 n+1 个

p且q

?p 或 ?q

【例题演练】 1、 观察(x2)′=2x, (x4)′=4x3, (cos x)′=-sin x, 由归纳推理可得: 若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( ) A、f(x) B、-f(x) C、g(x) D、-g(x) 2、正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数, 以上推理( ) A、结论正确 B、大前提不正确 C、小前提不正确 D、全不正确 3 3、我们知道,在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 a,类比上述结论, 2 在边长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值( ) 6 6 3 3 A、 a B、 a C、 a D、 a 3 4 3 4
1

4、观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,?,则 72 011 的末两位数字为( ) A、01 B.43 C.07 D.49 x1+x2? f?x1?+f?x2? 5、 已知函数 y=f(x)的定义域为 D, 若对于任意的 x1, x2∈D(x1≠x2), 都有 f? , 2 ? 2 ?< 则称 y=f(x)为 D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为( ) 2 3 A、y=log2x B、y= x C、y=x D、y=x 6、若 a<b<0,则下列不等式中成立的是( ) b b+1 1 1 1 1 1 1 A、a<b B、a+b>b+a C、b+a>a+b D、a< a+1 7、用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设为( ) A、a,b,c 中至少有两个偶数 B、a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C、a,b,c 都是奇数 D、a,b,c 都是偶数 8、若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P、Q 的大小关系是( ) A、P>Q B、P=Q C、P<Q D、由 a 的取值确定 9、下面有 4 个命题: 1 ①当 x>0 时,2x+ x的最小值为 2; 2 x2 y2 ②若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= 3x,且其一个焦点与抛物线 y2=8x a b 的焦点重合,则双曲线的离心率为 2; π? π ③将函数 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位,可以得到函数 y=sin? ?2x-6 ?的图象; 6 a2+b2 ④在 Rt△ABC 中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC 的外接圆半径 r= ; 2 类比到空间,若三棱锥 S—ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直, a2+b2+c2 且长度分别为 a、b、c,则三棱锥 S—ABC 的外接球的半径 R= . 2 其中错误 命题的序号为________. .. 10、 凸函数的性质定理为: 如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数, 则对于区间 D 内的任意 x1, x2, ?, f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? xn,有 ≤f n n ? ?,已知函数 y=sin x 在区间(0,π)上是凸函数, 则在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值为________. 11、(2012· 福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213° +cos217° -sin 13° cos 17° ; ②sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° ; 2 2 2 2 ③sin 18° +cos 12° -sin 18° cos 12° ; ④sin (-18° )+cos 48° -sin(-18° )cos 48° ; ⑤sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

2

12、下面四个图案,都是由小正三角形构成.设第 n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数 为 f(n). (1)求出 f(2),f(3),f(4),f(5);(2)找出 f(n)与 f(n+1)的关系,并求出 f(n)的表达式;

13、已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)=0,且 0<x<c 1 1 时,f(x)>0. (1)证明: 是函数 f(x)的一个零点; (2)试用反证法证明 >c. a a

【针对性练习】 2 2 3 3 4 4 5 5 1、观察下列各式: a ? b ? 1 , a ? b ? 3 , a ? b ? 4 , a ? b ? 7 , a ? b ? 11, ... , 8 8 则a ?b ?( ) A、28 B、 47 C、 76 D、 123

3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 3 4 2 2 3 2 3 4 1 1 1 猜想: 1 ? 2 ? 2 ? ? ) 2 ?( 2 3 2014 4025 4026 4027 4028 A、 B、 C、 D、 2014 2014 2014 2014
2、观察下列式子: 1 ?
2

1

, 根据以上式子可以

3

3、演绎推理“因为对数函数 y ? loga x (a>0 且 a≠1)是增函数,而函数 y ? log 1 x 是对数
2

函数,所以 y ? log 1 x 是增函数”所得结论错误的原因是(
2



A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、大前提和小前提都错误 4、下面使用的类比推理中恰当的是( ) A、“若 m ·2 ? n · 2 ,则 m ? n ”类比得出“若 m ·0 ? n · 0 ,则 m ? n ” · b)c ? ac · bc ” B、“ (a ? b)c ? ac ? bc ”类比得出“ (a a?b a b C、“ (a ? b)c ? ac ? bc ”类比得出“ ? ? (c ? 0) ” c c c n n n n D、“ ( pq) ? p · q ”类比得出“ ( p ? q) ? p n ? q n ”

3 1 1 3 1 4 1 1 ? ? 1? 2 ; ? ? ? 2 ? 1? ; 1? 2 2 1? 2 2 2 ? 3 2 2 3 ? 22 3 1 4 1 5 1 1 ? ? ? 2? ? 3 ? 1? , 由以上等式推出一个一般结论: 1? 2 2 2 ? 3 2 3? 4 2 4 ? 23 3 1 4 1 n?2 1 * 对于 n ? N , ? ? ? 2 ??? ? n = 1? 2 2 2 ? 3 2 n(n ? 1) 2
5、给出下列等式: 6、由下列事实:



(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (a ? b)(a3 ? a2b ? ab2 ? b3 ) ? a4 ? b4 (a ? b)(a4 ? a3b ? a2b2 ? ab3 ? b4 ) ? a5 ? b5
可得到合理的猜想是 .

2S , a?b?c 将此结论类比到空间四面体:设四面体 S—ABCD 的四个面的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4 , 体积为 V ,则四面体的内切球半径 r = .

b、 7、 设Δ ABC 的三边长分别为 a 、 Δ ABC 的面积为 S , 则Δ ABC 的内切圆半径为 r ? c,

8、在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按如图所标边 长,由勾股定理有 c ? a ? b .设想正方形换成正方体,把截线换成如图截面,这时从正方体 上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O ? LMN ,如果用 S1 , S 2 , S 3 表示三个侧面面积, S 4 表示截
2 2 2

面面积,那么类比得到的结论是



1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? , . n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? 1)(n ? 2) 2n(n ? 1) 2(n ? 1)(n ? 2) 1 ? __________________________. 由以上两式,可以类比得到: n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)
9、已知:

4

【例题演练】
1、D 【解析】 由所给等式知,偶函数的导数是奇函数.∵f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数,从而 g(x)是奇函数.∴g(-x)=-g(x). 2、C【解析】 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,∴上述推理过程中小前提不正确. 3、A【解析】 正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥,它们的体积之和为正四面体的体积,设点到四个 3 2 面的距离分别为 h1,h2,h3,h4,每个面的面积为 a2,正四面体的体积为 a3, 4 12 1 3 2 6 则有 × a2(h1+h2+h3+h4)= a3,得 h1+h2+h3+h4= a. 3 4 12 3 4、B 【解析】 ∵72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,76=117 649,77=823 543,? ∴7n(n∈Z,且 n≥2)的末两位数字呈周期性变化,且最小正周期为 4,又∵2 011=502×4+3, ∴72 011 与 73 的末两位相同,末两位数字为 43. 2 x1+x2? ?x1+x2?2 f?x1?+f?x2? x2 1+x2 5、C 【解析】 结合图象,直观观测 C 满足,事实上 f? = , = . 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 ?x1+x2?2=x1+x2+2x1x2<x1+x2,因此 f?x1+x2?<f?x1?+f?x2?, ∵2x1x2<x2 1+x2(x1≠x2),∴ 4 2 2 ? 2 ? ? 2 ? y=f(x)=x2 在 D 上为凹函数. 1 1 1 1 6、C 【解析】 ∵a<b<0,∴ > ,又 b>a,∴b+ >a+ . a b a b 7、B 【解析】 “自然数 a,b, c 中恰有一个偶数”的否定为“a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数”. 8、C 【解析】 ∵P2=2a+7+2 a a+7=2a+7+2 a2+7a, Q2=2a+7+2 a+3 a+4=2a+7+2 a2+7a+12, ∴P2<Q2,∴P<Q. 1 9、 【解析】 对于①,2x+ x取得最小值为 2 的条件是 x=0,这与 x>0 相矛盾;对于③,将函数 y=sin 2x 的图 2 π π π 象向右平移 个单位,可以得到函数 y=sin 2 x- 6 =sin 2x-3 的图象;易证②成立;对于④,可将该三棱 6 锥补成长方体,其外接球的直径恰好是长方体的体对角线. 【答案】 ①③ 10、 【解析】 ∵f(x)=sin x 在区间(0,π)上是凸函数,且 A、B、C∈(0,π), f?A?+f?B?+f?C? ?A+B+C? π π 3 3 ∴ ≤f 3 ? 3 ?=f 3 ,即 sin A+sin B+sin C≤3sin 3= 2 ,

( ) (

)

()

所以 sin A+sin B+sin C 的最大值为

3 3 . 2

1 3 11、 【解】(1)选择②式,计算如下:sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° =1- sin 30° = . 2 4 3 (2)归纳三角恒等式 sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= . 4 2 2 证明如下: sin α+cos (30° -α)-sin αcos(30° -α) 1-cos 2α 1+cos?60° -2α? = + -sin α(cos 30° cos α+sin 30° sin α) 2 2 1 1 1 1 3 1 = - cos 2α+ + (cos 60° cos 2α+sin 60° sin 2α)- sin αcos α- sin2α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- (1-cos 2α) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α- + cos 2α= . 4 4 4 4 12、 【解】 (1)由题意有 f(1)=3, f(2)=f(1)+3+3×2=12.,f(3)=f(2)+3+3×4=27. f(4)=f(3)+3+3×6=48. f(5)=f(4)+3+3×8=75. (2)由题意及(1)知,f(n+1)=f(n)+ 3+3×2n=f(n)+6n+3,即 f(n+1)-f(n)=6n+3, 所以 f(2)-f(1)=6×1+3,f(3)-f(2)=6×2+3,f(4)-f(3)=6×3+3, f(n)-f(n-1)=6(n-1)+3,将上面(n-1)个式子相加,得: ?1+n-1??n-1? f(n)-f(1)=6[1+2+3+?+(n-1)]+3(n-1)=6× +3(n-1)=3n2-3. 2 又 f(1)=3,所以 f(n)=3n2. 13、 【解】 (1)证明 ∵f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, 5

c 1 1 1 ∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的根,又 x1x2= ,∴x2= a≠c ,∴ 是 f(x)=0 的一个根. a a a 1 即 是函数 f(x)的一个零点. a 1 1 1 1 1 1 1 (2)假设 <c,又 >0,由 0<x<c 时,f(x)>0,知 f a >0 与 f a =0 矛盾,∴ ≥c,又∵ ≠c,∴ >c. a a a a a

( ) ()

()

【针对性练习】
1、B 【解析】观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11, ,其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项 的和,所求值为数列中的第八项.继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123, ,第十项为 47, 即a
8

? b8 ? 47 .

考点:归纳推理.

2、C 【解析】由 1 ?

3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 3 4 2 2 3 2 3 4
2

1

, 可以发现:每一项不等式右

边的分子恰好构成一个以 3 为首项以 2 为公差的等差数列,分母恰好构成一个以 2 为首项以 1 为公差的等差数 列,此项 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

?

?

1 2014
2

? 为 2013 项所以此时右边为

4027 2014

.

考点:归纳推理. 3、A 【解析】根据对数函数的单调性知,当 a>1 时,函数 <a<1 时,此函数是一个减函数.所以函数

y ? loga x (a>0 且 a≠1)是一个增函数;当 0

y ? loga x (a>0 且 a≠1)是增函数这个大前提是错误的,从而

导致结论错误.故选 A. 考点:演绎推理. 4、C 【解析】A:等式的基本性质要求同时除以的是不为 0 的数或式,∴A 错误; B: (a ? b)c ? a(b ? c) ,由乘法分配律不能类比到乘法结合律,∴B 错误; C:这是等式的基本性质的类比,∴C 正确; D:不能由幂的乘方类比到和的乘方也有类似性质,∴D 错误. 考点:类比推理.

3 1 1 ? ? 1? 2 ; 5、 【解析】由 已 知 中 的 等 式 : 1? 2 2 2 3 1 4 1 1 3 1 4 1 5 1 1 ? ? ? 2 ? 1? ? ? ? 2? ? 3 ? 1? ; , 2 1? 2 2 2 ? 3 2 1? 2 2 2 ? 3 2 3? 4 2 4 ? 23 3? 2 3 1 4 1 n?2 1 1 * ? ? ? 2 ??? ? n =1我 们 可 以 推 断 : 对于 n ? N , . 1? 2 2 2 ? 3 2 n(n ? 1) 2 (n ? 1) ? 2n 6、 【解析】从所给的等式中观察到,每个等式都有因式 (a ? b) ,而另一个因式是按字母 a 的次数进行降次排
列,每一项的次数都是一样的,所以可得到合理的猜想:

? ab n ?1 ? b n ) ? a n ?1 ? b n ?1 , n ? N* . 考点:归纳推理. 1 7、 【解析】根据类比原理,Δ ABC 的面积为 S ? r ( a ? b ? c ) ,四面体的体积 2 1 3V 为 V ? r ( S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ) ,因此 r ? . 考点:类比 3 S1 ? S2 ? S3 ? S4
8、 【解析】由正方形截下的一个直角三角形,有勾股定理 c 以类比得 s1
2

(a ? b)(a n ? a n ?1b ? a n ? 2b 2 ?

2

? a 2 ? b 2 ,即两边的平方等于截边的平方,所

? s2 ? s3 ? s4

2

2

2



考点:合情推理的运用

9、 【解析】观察所给式子,类比可推得

1 1 1 ? ? . n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 3n(n ? 1)(n ? 2) 3(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)

6


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