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2.3离散型随机变量的均值与方差(习题课)_图文


高二数学 选修2-3

2.3.2离散型随机变 量的期望与方差

1.离散型随机变量的均值和方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为
X
P

x1
p1

x2
p2

… …

xi
pi

… …

Xn
pn

x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的 则称 E(X)=__________________________ 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. [x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+ 称 D(X)= [xi-E(X)]2pi=___________________________
…+[xn-E(X)]2pn 为随机变量 X 的方差.它反映了随机变量取值 _______________ 相对于均值的平均波动大小.
方差 D(X)的算术平方根 D?X?叫做随机变量 X 的标准差, 记作 σ(X).

2.均值和方差的性质 设 a、b 是常数,随机变量 X、Y 满足 Y=aX+b,则

aE(X)+b E(Y)=E(aX+b)=________ ,
a2D(X). D(Y)=D(aX+b)=_______ 3.两点分布、二项分布及超几何分布的均值和方差 p ,D(X)=_________ p(1-p) . (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=___ np ,D(X)=__________ np(1-p) . (2)若 X~B(n,p),则 E(X)=___

1.已知随机变量ξ的分布列是:
ξ 1 2 3

P

0.4

0.2

0.4

则 D(ξ)=( B ) A.0.6 B.0.8

C.1
则 n、p 的值为( B ) A.n=4,p=0.6

D.1.2

2.已知随机变量ξ~B(n,p),且 E(ξ)=2.4,D(ξ)=1.44,
B.n=6,p=0.4

C.n=8,p=0.3

D.n=24,p=0.1

3.已知 X 的分布列如下表,设 Y=2X+1,则 Y 的数学期 望是( B )
X P -1 1 2 0 1 6 1 a

1 A.-6

2 B.3

C.1

29 D.36

4.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表.若 E(X)=0,
5 1 D(X)=1,则 a= 12 ,b= 4 .
X
P -1 a

0
b

1
c

2
1 12

5.甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变

量ξ、η,其分布列分别为:
ξ 0 1 2 3 η P 0 0.3 1 0.5 2 0.2

P

0.4

0.3

0.2

0.1

若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的 乙. 是___

【例1】某公园有甲、乙两个相邻景点,原拟定甲景 点内有2个A班的同学和2个B班的同学;乙景点内有2 个A班的同学和3个B班的同学,后由于某种原因,甲、 乙两景点各有一个同学交换景点参观.求甲景点A班同 学数ξ的分布列及期望.

分析


ξ所有可能的取值为1,2,3.
1 1 1 1 C3 1 C2 C2 C2 ,P(ξ=2)= 1 1 ? 1 1 ? C4C5 C4C5 2

设甲景点内A班同学数为ξ,则

1 1 C2 C3 3 P(ξ=1)= 1 1 ? C4C5 10
1 1 C2 C2 1 P (ξ=3 ) = 1 1 ? C4C5 5

故ξ的分布列为 ξ

1
3 10

2
1 2

3
1 5

p

3 1 1 19 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ∴E(ξ)= 10 2 5 10

【例2】

【例3】厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批 产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产 品做检验,以决定是否接收这批产品. (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取
出 4 件进行检验.求至少有 1 件是合格品的概率; (2)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同 规定该商家从中任取 2 件,都进行检验,只有 2 件都合格时才 接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ 的分布列及期望 E(ξ),并求该商家拒收这批产品的概率.

解题思路:第(1)问是可看成是 4 次独立重复试验,根据对 立事件的概率求解更容易.第 (2)问是一个不放回抽样问题,随 机变量 ξ 服从超几何分布. 解析:(1)记“厂家任取 4 件产品检验,其中至少有 1 件是合 格品”为事件 A, 用对立事件 A 来算, 有 P(A)=1-P( A )=1-0.24 =0.998 4.
(2)设 ξ 为不合格产品数量,ξ 可能的取值为 0,1,2.
1 C2 136 68 C1 51 17 3C17 P(ξ=0)=C2 =190=95;P(ξ=1)= C2 =190; 20 20

C2 3 3 P(ξ=2)=C2 =190. 20

其分布列为:
ξ P 0 136 190 1 51 190 2 3 190

136 51 3 57 3 E(ξ)=0×190+1×190+2×190=190=10. 记“商家任取 2 件产品检验, 都合格”为事件 B, 则商家拒收 136 27 这批产品的概率 p=1-P(B)=1-190=95.

27 所以商家拒收这批产品的概率为 . 95

【互动探究】 1.某工厂在试验阶段大量生产一种零件,这种零件有 A、 B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影 5 响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为 12,至少一项技术 11 指标达标的概率为12.按质量检验规定:两项技术指标都达标的 零件为合格品. (1)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少?
(2)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件 是合格品的概率是多少? (3)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ξ 表示其中合格品的个 数,求 E(ξ)与 D(ξ).

解:(1)设 A、B 两项技术指标达标的概率分别为 p1、p2.
5 ? p ? (1 ? p2 ) ? (1 ? p1 ) ? p2 ? ? ? 1 12 由题意得: ? , ?1 ? (1 ? p ) ? (1 ? p ) ? 11 1 2 ? 12 ?

3 2 2 3 1 解得:p1=4,p2=3或 p1=3,p2=4,?p=p1p2=2. 1 即一个零件经过检测为合格品的概率为2.

(2)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格 品的概率为 13 4?1?5 5?1?5 1-C5? ? -C5? ? = .
?2? ?2?

16

(3)依题意知

? 1? 1 ? ? ξ~B 4,2 ,E(ξ)=4× 2=2, ? ?

1 1 D(ξ)=4× 2× 2=1.

【例4】

【例5】

【例6】

【例7】

11

12

13


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