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1.3.2函数的奇偶性 第1课时 函数的奇偶性 课件(人教A版必修1)_图文

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第一章 1.3.2 奇偶性

第一课时 函数的奇偶性

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●课标展示 1.理解函数的奇偶性及其几何意 义,会判断函数的奇偶性. 2.了解奇函数和偶函数图象的对

称性.

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●温故知新 旧知再现 1.轴对称图形:如果一个图形上的任意一点关于某一条 直线 的对称点仍是这个图形上的点,就称该图形关于该直线 _____

对称轴 . 成轴对称图形,这条直线称作该轴对称图形的________
2.中心对称图形:如果一个图形上的任意一点关于某一 ____ 点 的对称点仍是这个图形上的点,就称该图形关于该点成中 心对称图形,这个点称作该中心对称图形的__________ . 对称中心 (-a,b) 3.点P(a、b)关于y轴的对称点为P′__________ ,关于 (-a,-b) . 原点的对称点P″__________

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1 4.对于函数 f(x)= ,f(-1)=f(1)=1. |x| 1 1 f(-2)=f(2)= ,f(-3)=f(3)= ,?, 2 3 1 可类推出:f(-x)____ = f(x)=|x|(x≠0) 5.对于函数 f(x)=x3,f(-1)=-f(1)=-1, f(-2)=-f(2)=-8,f(-3)=-f(3)=-27,
= -f(x)=-x3. ?可类推出:f(-x) ____

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新知导学
1.偶函数和奇函数 偶函数 定 义 条 件 结论 图象特征 f(-x)=_____ f ( x) 奇函数 f(-x)=_____ -f(x)

任意 一个x,都有 如果对于函数f(x)的定义域内_____

函数f(x)叫做偶函数
图象关于_____ y轴 对称

函数f(x)叫做奇函数
图象关于_____ 原点 对称

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[名师点拨]

(1)奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指

定义域中所有的实数;由于f(-x)与f(x)有意义,则-x与x同时 属于定义域,即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称. (2)函数f(x)是偶函数 ?对定义域内任意一个 x,都有f(-x)

-f(x)=0?f(x)的图象关于y轴对称.
(3)函数f(x)是奇函数 ?对定义域内任意一个 x,都有f(-x) +f(x)=0?f(x)的图象关于原点对称.

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2.奇偶性
如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说函 奇偶性 数f(x)具有_________

定义

图象特征 图象关于原点或y轴对称

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[归纳总结] 基本初等函数的奇偶性如下:
函数 正比例函数(y=kx,k≠0) k 反比例函数(y=x,k≠0) 一次函数(y=kx+b,k≠0) 二次函数(y=ax2+bx+c, a≠0) b=0 b≠0 b=0 b≠0 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 偶函数 非奇非偶函数 奇偶性

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●典例探究

1

函数奇偶性的判断

例1.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x+1; (2)f(x)=x3+3x,x∈[-4,4);

(3)f(x)=|x-2|+|x+2|; ?1 2 ?2x +1,x>0 (4)f(x)=? ?-1x2-1,x<0 ? 2

.

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[分析] ?→ 定义域关于原点对称 利用函数奇偶性 ? —? 研究f?-x?与 分段函数需分 的定义进行判断 ?→ → f ? x ? 的关系 段来研究 ?

[解析]

(1)函数f(x)=x+1的定义域为实数集R,关于

原点对称.
因为 f( - x) =- x + 1 =- (x - 1) ,- f(x) =- (x + 1) , 即 f( - x)≠ - f(x) , f( - x)≠f(x) ,所以函数 f(x) = x + 1 既不是 奇函数又不是偶函数.

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(2)因为函数的定义域不关于原点对称,即存在-
4∈[ - 4,4) ,而 4?[ - 4,4) ,所以函数 f(x) = x3 + 3x ,

x∈[-4,4)既不是奇函数又不是偶函数.
(3)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R, 关于原点对称. 因为 f( - x) = | - x - 2| + | - x + 2| = |x + 2| + |x - 2| =f(x),所以函数f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数.

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(4)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 1 1 2 2 当 x>0 时,-x<0,f(-x)=-2(-x) -1=-(2x +1) =-f(x); ① 1 1 2 2 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=2(-x) +1=2x +1 1 2 =-(-2x -1)=-f(x).
? ?1x2+1,x>0 ?2 综上可知,函数 f(x)=? ? 1 2 -2x -1,x<0 ? ?



是奇函数.

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1 [注释] ①由于这里的-x<0, 因此应将-x 代入 f(x)=-2 1 2 x -1;②由于这里的-x>0,因此应将-x 代入 f(x)=2x +1.
2

[ 领悟整合 ]

分段函数的奇偶性应分段说明 f( - x) 与 f(x) 的

关系,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时,才能

判断函数的奇偶性,否则该分段函数既不是奇函数又不是偶函
数.

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规律总结:函数奇偶性判断的方法 (1)定义法:

(2)图象法:即若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函
数;若函数图象关于 y轴对称,则函数为偶函数.此法多用在 解选择填空题中.

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1

(1)设定义在R上的函数f(x)=|x|,则f(x)( A.是奇函数,又是增函数 B.是偶函数,又是增函数 C.是奇函数,又是减函数 D.是偶函数,但不是减函数

)

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(2)判断下列函数的奇偶性 1 ①y=x + . x
3

②y= 2x-1+ 1-2x. ③y=x4+x. ?x2+2,x>0, ? ④y=?0,x=0, ?-x2-2,x<0. ?
[答案] (1)D (2)①奇函数 ②非奇非偶函数 ③非奇非 偶函数 ④奇函数

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[解析]

(1) 定义域关于原点对称,且 f(-x)=| -x|=|x| =

f(x),所以是偶函数,但是它既有减区间也有增区间,故不是减 函数.选 D. (2)①定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且 f(-x) =-f(x),奇函数. 1 ②定义域为{2},不关于原点对称,该函数不具有奇偶性.

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③定义域为R,关于原点对称, 但f(-x)=x4-x≠x4+x, f(-x)=x4-x≠-(x4+x),故其不具有奇偶性. ④定义域为 R,关于原点对称,当x>0时,f(-x) =-(-

x)2-2=-(x2+2)=-f(x);
当x<0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0;故该函数为奇函数.

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2

奇(偶)函数图象的对称性

例2.已知偶函数f(x)(图(1))和奇函数g(x)(图(2))在y
轴右边的一部分图象,试根据偶函数和奇函数的性质,

分别作出它们在y轴左边的图象.

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[ 解析 ]

(1) 根据偶函数图象关于 y 轴对称的性质,画出函

数在y轴左边的图象,如图(1). (2)根据奇函数的图象关于原点对称的性质,画出函数在y 轴左边的图象,如图(2).

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规律总结: 由函数奇偶性的对称性质,找到函数的
最高、低点与x轴y轴的交点作出对称.

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(1)如图①是奇函数y=f(x)的部分图象,则f(-4)·f(-2)=
________. (2)如图②是偶函数y=f(x)的部分图象,比较f(1)与f(3)的大 小的结果为________.

[答案] (1)2

(2)f(3)>f(1)

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[解析]

(1)∵奇函数的图象关于原点对称,且奇函数f(x)图

象过点(2,1)和(4,2), ∴必过点(-2,-1)和(-4,-2), ∴f(-4)·f(-2)=(-2)×(-1)=2.

(2)∵偶函数f(x)满足f(-3)>f(-1),
∴f(3)>f(1). [ 点评 ] (1) 可由奇函数的性质,先去掉函数记号 “ f” 内的

负号,f(-4)· f(-2)=-f(4)· [-f(2)]=f(4)· f(2)=2×1=2.

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利用函数奇偶性的定义求值或参数

例3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,
则f(2)等于(
A.-26

)
B.-18

C.-10

D.10

[分析]

无法直 考察函数的 借助函数奇 → → 接计算 结构特征 偶性解决

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[解析]

方法一:令 g(x)=x5+ax3+bx,易知 g(x)是 R

上的奇函数,从而 g(-2)=-g(2),又 f(x)=g(x)-8, ∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18, ∴g(2)=-g(-2)=-18. ∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.

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方法二:由已知条件,得
5 3 ? f ? - 2 ? = ? - 2 ? + a ? - 2 ? +b?-2?-8 ? ? 5 3 ? f ? 2 ? = 2 + a · 2 +b· 2-8 ② ?





①+②得 f(2)+f(-2)=-16.又 f(-2)=10, ∴f(2)=-26.

[答案] A

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3

(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-
1,2a],则a=________,b=________; (2)设函数f(x)是奇函数,若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+ 3,则f(1)+f(2)=________. (3)若f(x)=(m-2)x2-3mx+1为偶函数,则它的单调递增 区间是________.
1 [答案] (1)a=3 b=0 (2)-3 (3)(-∞,0]

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[分析] (1) 定义域关于原点对称 ? ? 得到a,b所满足 → ? f?x?关于y轴对称 ? 的关系,进而求值

(2)利用奇偶性质求值. (3)利用奇偶性确定 m 的值,再求单调区间.

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[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以 a-1 1 =-2a,解得 a=3. 1 2 又函数 f(x)=3x +bx+b+1 为二次函数,结合偶函数图象 的特点,易得 b=0.

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(2)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(-2)=- f(2),f(-1)=-f(1),所以-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3. 即2(f(1)+f(2))=-6,f(1)+f(2)=-3.

(3)因为f(x)=(m-2)x2-3mx+1为偶函数,所以-3m=0,
解得m=0,所以f(x)=-2x2+1,它的单调递增区间是 (-∞, 0].

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利用函数的奇偶性求解析式

例4.已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且当x
>0时,f(x)=x2-2x+3.试求f(x)在R上的表达式,并 画出它的图象,根据图象写出它的单调区间. [分析] 由函数图象关于原点对称可知y=f(x)是奇 函数.利用奇函数性质可求得解析式.

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[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称. ∴f(x)为奇函数,则 f(0)=0, 设 x<0,则-x>0,∵x>0 时,f(x)=x2-2x+3, ∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3 于是有: ?x2-2x+3 ? f(x)=?0 ?-x2-2x-3 ? ?x>0? ?x=0? ?x<0?

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先画出函数在y轴右边的图象,再根据对称性画出y轴左边
的图象.如下图.

由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1]、[1,+
∞),单调递减区间是[-1,0)、(0,1].

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规律总结:利用函数奇偶性求函数解析式

利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关
系式f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立,但要注意求给定哪个区 间的解析式就设这个区间上的变量为 x,然后把x转化为-x(另 一个已知区间上的解析式中的变量),通过适当推导,求得所求 区间上的解析式.

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4

已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,则x>0时,
f(x)=________. [答案] -x+1 [解析] x>0时,-x<0,∴f(-x)=-x+1, 又∵f(x)为偶函数,∴f(x)=-x+1.

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●误区警示
易错点 忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误

例5.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=(x-1) 1-x2 (2)f(x)= . |x+2|-2 x+1 ; x-1

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x +1 [错解] (1)f(x)=(x-1)· = x2-1. x -1 ∵f(-x)= ?-x2?-1=f(x),∴f(x)为偶函数. 1-?-x?2 1-x2 (2)f(-x)= = , |-x+2|-2 |x-2|-2 ∵f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x), ∴f(x)为非奇非偶函数.
[ 错因分析] 要判断函数的奇偶性,必须先求函数定义域

(看定义域是否关于原点对称 ).有时还需要在定义域制约条件

下将f(x)进行变形,以利于判定其奇偶性.

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x+1 [正解] (1)由 ≥0 得{x|x>1,或 x≤-1}, x-1 ∵f(x)定义域关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数.
2 ? ?1-x ≥0 (2)由? ? ?|x+2|-2≠0

得-1≤x≤1 且 x≠0,

定义域关于原点对称,又- 1≤x≤1 且 x≠0 时, f(x) = 1-x2 1-x2 = x , x+2-2 1-?-x?2 1-x2 ∵f(-x)= =- x =-f(x), -x ∴f(x)为奇函数.

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(2013 ~ 2014 武汉模拟 ) 已知函数 f(x) =x2 - 2ax + b 是定义 在区间[-2b,3b-1]上的偶函数,求函数f(x)的值域. [错解] ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),即a=0.

∴f(x) = x2 + b ,从而得到函数的值域为 [b,4b2 + b] 或 [b ,
(3b-1)2+b].

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[ 错因分析]

错解忽略了函数的定义域关于原点对称这一

条件,即-2b+3b-1=0. [正解] ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),即a=0. 又定义域为[-2b,3b-1],∴-2b+3b-1=0,∴b=1,

∴f(x)=x2+1,x∈[-2,2],
∴函数f(x)的值域为[1,5].

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随堂测评

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1.函数f(x)=x4+x2( A.是奇函数 B.是偶函数

)

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数
[答案] B [解析] 定义域是R,f(-x)=(-x)4+(-x)2=x4+x2=f(x),

所以函数是偶函数.

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x2?x+1? 2.函数 y= ( x+1 A.是奇函数 B.是偶函数

)

C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
[答案] D [ 解析 ] 定义域是 ( -∞ ,- 1)∪( - 1 ,+ ∞ ) ,不关于原点

对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.

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f?-x? 3.若函数 f(x)满足 =1,则 f(x)图象的对称轴是( f?x? A.x 轴 C.直线 y=x
[答案] B [ 解析 ]

)

B.y 轴 D.不能确定

由于 f( - x) = f(x) ,则 f(x) 是偶函数,其图象关于 y

轴对称.

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4.若函数 y=f(x) 为奇函数,则下列坐标表示的点一定在 函数f(x)的图象上的是( A.(a,-f(a)) C.(-a,f(a)) ) B.(-a,-f(-a)) D.(-a,-f(a))

[答案] D
[解析] ∵-f(a)=f(-a),∴点(-a,-f(a))在y=f(x)的图 象上,故选D.

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2 5. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 当 x≥0 时, f(x)= , x+1 试求 f(x)的解析式.
2 [解析] 当 x<0 时,-x>0,此时 f(x)=f(-x)= , -x+1 ? ? 2 ,x≥0, ?x+1 ∴f(x)=? ? 2 ,x<0. ? ?-x+1 2 即 f(x)= . |x|+1

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6.定义在 [ -3,-1]∪[1,3] 上的函数 f(x) 是奇函数,其部
分图象如图所示.

(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象;

(2)比较f(1)与f(3)的大小.

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[解析] 如图所示.

(1)因为f(x)是奇函数,所以其图象关于原点对称,

(2)观察图象,知f(3)<f(1).

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课后强化作业
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