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2014-2015学年江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高一(下)3月学情检测数学试卷


2014-2015 学年江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高一 (下) 3 月学情检测数学试卷
一、填空题: (本大题共 70 分) 1. (5 分) (2015 春?射阳县校级期末)化简 sin20°cos40°+cos20°sin40°= 2. (5 分) (2015 春?睢宁县校级月考) 设等比数列{an}中, a1=3, q=﹣2, 则 a6= 3. (5 分) (2015 春?睢宁县校级月考) 在△ ABC 中, a=4 , b=4, A=60°, 则 C= 4. (5 分) (2015 春?睢宁县校级月考) 已知数列{an}满足 a1=1, an+1=an+1, 求 an= 5. (5 分) (2014 春?利州区校级期中)在△ ABC 中,已知

. . . . ,则△ ABC

的形状是 . 6. (5 分) (2015 春?睢宁县校级月考)等差数列{an}中,a4+a5+a6+a7+a8=150,则 a6= . 7. (5 分) (2014 春?睢宁县校级期中) △ ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列, 且 A﹣C=40°, 则 A= . 8. (5 分) (2014 秋?灌南县校级期中) 已知 3, x, 12 成等比数列, 则正数 x 的值为 . 9. (5 分) (2011?苏州校级模拟)在△ ABC 中,若 A=60°, ,则 = .

10. (5 分) (2014 春?洪泽县校级期末)已知各项为正项的等比数列{an}中,a5, a7,a6 成

等差数列,则

=



11. (5 分) (2014 春?江宁区校级期末)已知 α,β 均为锐角,且 .则 tanβ 的值等于 .



12. (5 分) (2015 春?睢宁县校级月考) 令数列{an}满足 an+1=an+2n, a1=1, 则 an= . 13. (5 分) (2014 春?睢宁县校级期中)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S6<S7,且 S7>S8,则下列结论中正确的有 . (填序号) ①此数列的公差 d<0; ②S9<S6; ③a7 是数列{an}的最大项; ④S7 是数列{Sn}中的最小项. 14. (5 分) (2009?江苏)设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…) , 若数列{bn}有连续四项在集合{﹣53,﹣23,19,37,82}中,则 6q= . 二、解答题: (本大题共 90 分) 15. (14 分) (2014 春?高邮市校级期末) 已知各项均为正数的等比数列{an}中, a2=4, a4=16. (1)求公比 q;
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(2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,求数列{bn}的通项公式. 16. (14 分) (2016 春?江阴市期中)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (2a+c)cosB=﹣bcosC (1)求角 B 的大小; (2)若 b=7,a+c=8,求 a、c 的值. 17. (14 分) (2015 春?睢宁县校级月考)在等差数列{an}中,Sn 为数列{an}的前 n 项和,满 足 a5=﹣1,S8=﹣12 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求前 n 项和 Sn,并指出当 n 为何值时,Sn 取最小值; (3)若 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Tn. 18. (16 分) (2013?宁波模拟) 已知△ ABC 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 且 sinC=2sinB. (1)若 A=60°,求 的值; (2)求函数 f(B)=cos(2B+ )+2cos B 的值域.
2

19. (16 分) (2015 春?睢宁县校级月考)如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一 点,OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC. 问:当点 B 在什么位置时,四边形 OACB 的面积最大?

20. (16 分) (2015 春?睢宁县校级月考)已知点 P(an, 象上,且 a1=1,an>0 (1)求证:数列{
2 2

)为函数 f(x)=

的图

}为等差数列,并求出数列{an}的通项公式;

(2)设数列{an ?an+2 }的前 n 项和为 Sn ①Sn; ②若对任意 n∈N*,不等式 Sn<t ﹣3t﹣
2

恒成立,求正整数 t 的最小值.

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2014-2015 学年江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高 一(下)3 月学情检测数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 70 分) 1. (5 分) (2015 春?射阳县校级期末)化简 sin20°cos40°+cos20°sin40°= 【分析】逆用两角和的正弦即可求得答案. 【解答】解:sin20°cos40°+cos20°sin40° =sin(20°+40°) =sin60°= 故答案为: , . .

【点评】本题考查两角和的正弦公式的逆用,属于基础题. 2. (5 分) (2015 春?睢宁县校级月考)设等比数列{an}中,a1=3,q=﹣2,则 a6= ﹣96 . 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【解答】解:在等比数列{an}中,a1=3,q=﹣2, 5 5 则 a6=a1q =3×(﹣2) =﹣96, 故答案为:﹣96. 【点评】本题主要考查等比数列通项公式的应用,比较基础. 3. (5 分) (2015 春?睢宁县校级月考)在△ ABC 中,a=4 ,b=4,A=60°,则 C= 90° . 【分析】由已知数据和正弦定理可得 sinB,结合三角形的边角关系可得 B,进而由三角形的 内角和可得 C 【解答】解:∵在△ ABC 中,a=4 ,b=4,A=60°, ∴由正弦定理可得 = ,

∴sinB=

=

= ,

又∵a=4 >b=4,∴A>B, ∴B=30° ∴C=180°﹣(A+B)=90° 故答案为:90° 【点评】本题考查正弦定理,涉及三角形的大边对大角,属基础题. 4. (5 分) (2015 春?睢宁县校级月考)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=an+1,求 an= n . 【分析】根据数列的递推关系,构造等差数列,即可得到结论. 【解答】解:∵an+1=an+1,
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∴an+1﹣an=1, 即数列{an}是首项为 1,公差 d=1 的等差数列, 则 an=1+(n﹣1)×1=n, 故答案为:n 【点评】 本题主要考查数列通项公式的求解, 根据递推关系得到数列是等差数列是解决本题 的关键.比较基础. 5. (5 分) (2014 春?利州区校级期中)在△ ABC 中,已知 的形状是 等边三角形 . 【分析】根据正弦定理表示出 a,b 和 c,分别代入已知的 中,利用同角 ,则△ ABC

三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值即可得到三角形的三个内角相等, 得到三角形 为等边三角形. 【解答】解:根据正弦定理得到: 则 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 代入 中得: = = , = = =2R,

即 tanA=tanB=tanC,得到 A=B=C, 所以△ ABC 的形状是等边三角形. 故答案为:等边三角形 【点评】 此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值, 灵活运用同角三角函数间的基本关系及 特殊角的三角函数值化简求值,是一道综合题. 6. (5 分) (2015 春?睢宁县校级月考)等差数列{an}中,a4+a5+a6+a7+a8=150,则 a6= 30 . 【分析】由题意和等差数列的性质易得答案. 【解答】解:由题意和等差数列的性质可得: a4+a5+a6+a7+a8=5a6=150, 解得 a6=30 故答案为:30 【点评】本题考查等差数列的通项公式和性质,属基础题. 7. (5 分) (2014 春?睢宁县校级期中) △ ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列, 且 A﹣C=40°, 则 A= 80° . 【分析】利用等差数列的性质,求出 A+C=2B=120°,再利用 A﹣C=40°,可求 A. 【解答】解:∵在△ ABC 中,A、B、C 成等差数列, ∴A+C=2B, ∵A+B+C=180°, ∴3B=180°,即 B=60° ∴A+C=120°, ∵A﹣C=40°, ∴A=80°. 故答案为:80°.
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【点评】利用等差数列的性质,求出 A+C=120°是解题的突破口. 8. (5 分) (2014 秋?灌南县校级期中)已知 3,x,12 成等比数列,则正数 x 的值为 6 . 【分析】利用等比数列的性质求解. 【解答】解:∵3,x,12 成等比数列, 2 ∴x =3×12=36, 解得 x=±6, ∴正数 x 的值为 6. 故答案为:6. 【点评】本题考查正数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合 理运用. 9. (5 分) (2011?苏州校级模拟)在△ ABC 中,若 A=60°, 2 . 【分析】首先根据正弦定理得出 2r= =2,然后利用正弦定理将所求的式子转化成

,则

=

即可求出结果. 【解答】解:由正弦定理可得 2r= 则 = = =2, (r 为外接圆半径) ; =2r=2,

故答案为 2. 【点评】本题考查正弦定理的应用,求出 2r 的值,是解题的关键. 10. (5 分) (2014 春?洪泽县校级期末)已知各项为正项的等比数列{an}中,a5, a7,a6 成

等差数列,则

=



【分析】利用 a5, a7,a6 成等差数列,求出公比,利用∴ 【解答】解:设公比为 q,则 ∵a5, a7,a6 成等差数列, ∴a7=a5+a6, 2 ∴q =1+q, ∵q>0, ∴q= ∴ = , ,
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= ,可得结论.



= =



故答案为:



【点评】本题考查等差数列的性质,考查等比数列,考查学生分析解决问题的能力,确定公 比 q 是关键. 11. (5 分) (2014 春?江宁区校级期末)已知 α,β 均为锐角,且 .则 tanβ 的值等于 . ,利用两角差 ,

【分析】由条件求得 sinα 的值,可得 tanα 的值,再由 的正切公式,求得 tanβ 的值. 【解答】解:根据已知 α,β 均为锐角,且

,可得 sinα= ,tanα= .

再由

=

=

,可解得 tanβ=



故答案为



【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式的应用,属于中档题. 12. (5 分) (2015 春?睢宁县校级月考) 令数列{an}满足 an+1=an+2n, a1=1, 则 an= n ﹣n+1 . 【分析】通过 an+1=an+2n 可知 an﹣an﹣1=2(n﹣1) 、an﹣1﹣an﹣2=2(n﹣2) 、…、a2﹣a1=2?1, 叠加计算即得结论. 【解答】解:∵an+1=an+2n, ∴an+1﹣an=2n, ∴an﹣an﹣1=2(n﹣1) , an﹣1﹣an﹣2=2(n﹣2) , … a2﹣a1=2?1, 累加得:an﹣a1=2[1+2+…+(n﹣1)]= =n ﹣n,
2 2

又∵a1=1, 2 2 ∴an=a1+n ﹣n=n ﹣n+1, 2 故答案为:n ﹣n+1. 【点评】本题考查数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题. 13. (5 分) (2014 春?睢宁县校级期中)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S6<S7,且 S7>S8,则下列结论中正确的有 ①② . (填序号) ①此数列的公差 d<0;
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②S9<S6; ③a7 是数列{an}的最大项; ④S7 是数列{Sn}中的最小项. 【分析】由已知条件 S6<S7 且 S7>S8,得到 a7>0,a8<0.进一步得到 d<0,然后逐一判 断四个结论得答案. 【解答】解:由 S6<S7,得 S7﹣S6>0,即 a7>0, S7>S8,得 S8﹣S7<0,即 a8<0. ∴d=a8﹣a7<0,故①正确; S9﹣S6=a9+a8+a7=3a8<0,故②正确; ∵a1﹣a7=﹣6d>0,即 a1>a7,命题③错误; 数列{an}的前 7 项为正值,即前 7 项的和最大,命题④错误. ∴正确的结论是①②. 故答案为:①②. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查了等差数列的函数特性,关键在于得到公差 d 的符号,是中低档题. 14. (5 分) (2009?江苏)设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…) , 若数列{bn}有连续四项在集合{﹣53,﹣23,19,37,82}中,则 6q= ﹣9 . 【分析】根据 Bn=An+1 可知 An=Bn﹣1,依据{Bn}有连续四项在{﹣53,﹣23,19,37,82} 中,则可推知则{An}有连续四项在{﹣54,﹣24,18,36,81}中,按绝对值的顺序排列上述 数值,相邻相邻两项相除发现﹣24,36,﹣54,81 是{An}中连续的四项,求得 q,进而求 得 6q. 【解答】解:{Bn}有连续四项在{﹣53,﹣23,19,37,82}中 Bn=An+1 An=Bn﹣1 则{An}有连续四项在{﹣54,﹣24,18,36,81}中 {An}是等比数列,等比数列中有负数项则 q<0,且负数项为相隔两项 等比数列各项的绝对值递增或递减,按绝对值的顺序排列上述数值 18,﹣24,36,﹣54,81 相邻两项相除 =﹣ =﹣ =﹣ =﹣ 很明显,﹣24,36,﹣54,81 是{An}中连续的四项 q=﹣ 或 q=﹣ (|q|>1,∴此种情况应舍) ∴q=﹣ ∴6q=﹣9 故答案为:﹣9
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【点评】本题主要考查了等比数列的性质.属基础题. 二、解答题: (本大题共 90 分) 15. (14 分) (2014 春?高邮市校级期末) 已知各项均为正数的等比数列{an}中, a2=4, a4=16. (1)求公比 q; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,求数列{bn}的通项公式. 【分析】 (1)由已知得 解可得 q 值;

(2)由(1)可得 b3=a3=8,b5=a5=32,可求公差 d,进而可得其通项公式. 【解答】解: (1)由已知得 又 q>0,∴q=2.…(7 分) (2)由(1)可得 .∴b3=a3=8,b5=a5=32. , ,∴q =4,…(4 分)
2

设等差数列{bn}的公差为 d,则

∴an=8+(n﹣3)×12=12n﹣28.…(14 分) 【点评】本题为等差数列与等比数列的结合,准确求解公差和公比是解决问题的关键,属基 础题. 16. (14 分) (2016 春?江阴市期中)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (2a+c)cosB=﹣bcosC (1)求角 B 的大小; (2)若 b=7,a+c=8,求 a、c 的值. 【分析】 (1) 由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得: 2sinAcosB=﹣sinA, 结合 sinA>0,即可解得 B 的值. 2 (2)利用余弦定理及(1)可得 b =49=64﹣ac,可得 ac=15,结合 a+c=8,即可求得 a、c 的值. 【解答】解: (1)由正弦定理可得: (2sinA+sinC)cosB=﹣sinBcosC, ∴2sinAcosB=﹣sinBcosC﹣cosBsinC=﹣sin(B+C)=﹣sinA, 又∵sinA>0,∴ ∵B∈(0,π) , ∴
2



…(7 分)
2 2 2 2 2

(2)b =49=a +c ﹣2accosB=a +c +ac=(a+c) ﹣ac=64﹣ac, ∴ac=15, 又∵a+c=8,∴ …(14 分)

【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理及三角函数恒等变换的应用,属于基础题.

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17. (14 分) (2015 春?睢宁县校级月考)在等差数列{an}中,Sn 为数列{an}的前 n 项和,满 足 a5=﹣1,S8=﹣12 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求前 n 项和 Sn,并指出当 n 为何值时,Sn 取最小值; (3)若 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Tn. 【分析】 (1)通过联立 a5=﹣1、S8=﹣12,计算即可; (2)通过公式求和,结合二次函数的最值,计算即可; (3)通过令 an=n﹣6≥0 得 n≥6,分 n≤5 与 n≥6 两种情况计算即可. 【解答】解: (1)∵ ∴a1=﹣5,d=1, ∴an=n﹣6; (2)∵a1=﹣5,an=n﹣6, ∴ 而 n﹣ ∵S5= S6=
2



, n= (n﹣ )﹣
2



=﹣15, =﹣15,

∴当 n 为 5 或 6 时,Sn 取最小值; (3)令 an=n﹣6≥0,则 n≥6, , 当 n≥6 时,Tn=﹣a1﹣a2﹣a3﹣a4﹣a5+a6+a7+…+an= ,

综上,



【点评】本题考查求数列的通项、求和及和的最值,考查运算求解能力,注意解题方法的积 累,属于中档题. 18. (16 分) (2013?宁波模拟) 已知△ ABC 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 且 sinC=2sinB. (1)若 A=60°,求 的值; (2)求函数 f(B)=cos(2B+ )+2cos B 的值域.
2

【分析】 (1)利用正弦定理化简已知的等式得到 c=2b,利用余弦定理表示出 cosA,将 A 的 度数及 c=2b 代入,整理后即可求出所求式子的值; (2)由 sinC 表示出 sinB,根据 sinC 的值域求出 sinB 的范围,由 B 为三角形内角,利用余 弦函数图象与性质求出 B 的范围,f(B)解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及 特殊角的三角函数值化简, 第二项利用二倍角的余弦函数公式化简, 整理后再利用两角和与
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差的余弦用函数公式化为一个角的余弦函数,由 B 的范围求出这个角的范围,进而求出余 弦函数的值域,即可确定出 f(B)的值域. 【解答】解: (1)由 sinC=2sinB,利用正弦定理得:c=2b, 又在△ ABC 中,cosA= ,即 = ,

整理得: =



(2)∵sinC=2sinB,即 sinB= sinC∈(0, ) , ∴B∈(0, 当 B∈( ∴B∈(0, )∪( ,π) ,

,π) ,不能构成三角形,舍去; ) , )+2cos B= cos2B﹣ ) ,
2

f(B)=cos(2B+ ∵2B+ ∈(0,

sin2B+1=

cos(2B+

)+1,

∴cos(2B+

)∈(0,1) ,

则 f(B)的值域为(1, +1) . 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,余弦函数的定义域与值 域,以及二倍角的余弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 19. (16 分) (2015 春?睢宁县校级月考)如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一 点,OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC. 问:当点 B 在什么位置时,四边形 OACB 的面积最大?

【分析】在△ AOB 中,由已知 OA=2,OB=1,设∠AOB=α,则可应用余弦定理将 AB 的长 用 α 的三角函数表示出来, 进而四边形 OACB 面积 S=S△ AOB+S△ AB 表示成为 α 的三角函数, 再注意 α∈(0,π) ,将三角函数化简成为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,就可求得使四边形 OACB 面积最大的角 α 的值,从而就可确定点 B 的位置. 【解答】解:设∠AOB=α, (1 分) 在△ AOB 中,由余弦定理得
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AB =OA +OB ﹣2×OA×OBcos∠AOB 2 2 =1 +2 ﹣2×1×2×cosα =5﹣4cosα, . (4 分) 于是,四边形 OACB 的面积为 S=S△ AOB+S△ ABC= OA?OBsinα+ = ×2×1×sinα+ =sinα﹣ cosα+ )+ . (10 分) = ,α= , (5﹣4cosα) AB (6 分)
2

2

2

2

=2sin(x﹣

因为 0<α<π,所以当 α﹣ 即∠AOB=

时,四边形 OACB 面积最大. (12 分)

【点评】本题考查四边形面积最大时点的位置的确定,是中档题,解题时要认真审题,注意 空间思维能力的培养.

20. (16 分) (2015 春?睢宁县校级月考)已知点 P(an, 象上,且 a1=1,an>0 (1)求证:数列{
2 2

)为函数 f(x)=

的图

}为等差数列,并求出数列{an}的通项公式;

(2)设数列{an ?an+2 }的前 n 项和为 Sn ①Sn; ②若对任意 n∈N*,不等式 Sn<t ﹣3t﹣
2

恒成立,求正整数 t 的最小值.

【分析】 (1)运用等差数列的定义和通项公式,计算即可得到; (2)①运用裂项相消求和即可得到; ②由不等式恒成立思想求得 Sn 的最值,注意运用单调性和不等式的性质,解不等式,即可 得到 t 的最小值. 【解答】 (1)证明:点 P(an, )为函数 f(x)= 的图象上,



=



即有



=1,

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则数列{

}为首项是 1,公差为 1 的等差数列,

=1+(n﹣1)=n,即为 an=
2 2



(2)解:an ?an+2 = ①Sn= (1﹣ + +

= ( ﹣ + ﹣ +…+

) , ﹣ + ﹣ )= ( ﹣ ﹣ ) ,

②由于 Sn 是正整数上的递增数列,即有 S1≤Sn< , 对任意 n∈N*,不等式 Sn<t ﹣3t﹣ 即有 t ﹣3t﹣
2 2 2

恒成立,



即为 t ﹣3t﹣4≥0, 解得 t≥4,或 t≤﹣1. 则正整数 t 的最小值为 4. 【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用,主要考查构造数列的方法,以及裂项 相消求和的方法,考查不等式恒成立思想转化为求数列的最值问题,属于中档题和易错题.

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参与本试卷答题和审题的老师有: wfy814; maths; lincy; sllwyn; 刘长柏; zlzhan; wubh2011; caoqz;cst;sxs123;zhwsd;w3239003;双曲线(排名不分先后) 菁优网 2016 年 5 月 13 日

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