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2017高二数学选修2-1 双曲线的简单几何性质(二) ppt.ppt_图文

双曲线的性质(二)

图形

A1

.
2 2

y
B2 O

F1

.

F2

A2

x

. .
B2

y

F1(-c,0) B1 F2(c,0)
方程 范围

F1(-c,0)
2

F1

A1 A2
O

F2

B1
2

x F2(c,0)

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

x y ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b
2 2

?a? x?a

?b ? y ?b

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1(- a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

c e? a

(0 ? e ? 1)

c e? a

(e ? 1)



b y?? x a

B2

. .
B2 A2
2 2 2 2

图形

. .
F1(-c,0)
2 2

y

y
F2

F1

A1 A2
O

F2(0,c)
B1

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

y ? a 或 y ? ?a,x ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

1、“共渐近线”的双曲线

x2 y 2 x2 y 2 与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线;λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

2、“共焦点”的双曲线
x2 y 2 (1)与椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)有共同焦点的双曲线方程表

示为

x2 y2 2 2 ? ? 1( b ? ? ? a ). 2 2 a ?? ? ?b

x2 y 2 (2)与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)有共同焦点的双曲线方 a b 2 2 x y 程表示为 2 2

a ??
2

?

b ??
2

? 1(?b ? ? ? a )

复习练习:
x2 y 2 1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点,且离心率 49 24 5 e ? 的双曲线方程。 4
x2 y2 ? ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 2. 求与椭圆 16 8

x ? 3y ? 0 的双曲线方程。
x y 3、求以椭圆 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。
2 2

例题讲解
例1、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径

为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′ 0

y
13 C 12 A x

B′

25

B

例2、点M(x,y)与定点F(5,0),的距离 16 和它到定直线 l : x ? 的距离的比是常 5 5 数 , 求点M的轨迹.

4

y

l
d

0

动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c ? 0) 的距离和它到定直线 a2 c c ? : x ? 的距离的比是常数 ( ? 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a

a2 a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 ? : x ? 的距离 d ? x ? , c c

MF ? ( x ? c ) ? y ,
2 2

MF c ∴ ? , 依题意 d a

( x ? c )2 ? y 2 a2 x? c

c ? ①, a

令 c 2 ? a 2 ? b2 ,方程②化为

x2 y2 ? 1② 方程①两边平方化简整理得 2 ? 2 2 c ?a a 2 2

x y ? 2 ? 1 这就是所求的轨迹方程. 2 a b

∴点 M 的轨迹是实轴长为 2a、虚轴长为 2b 的双曲线.

直线与双曲线问题:
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 , 例3、如图,过双曲线 3 6 ? 倾斜角为 30 的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一 :如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.

练习:
? x2 y2 ? 1 的左焦点 F1 作倾角为 1.过双曲线 ? 4 9 16

的直线与双曲线

192 交于 A、B 两点,则|AB|= 7 .
2.双曲线的两条渐进线方程为x ? 2 y ? 0 ,且截直线x ? y ? 3 ? 0
8 3 所得弦长为 ,则该双曲线的方程为( D ) 3 2 2 2 x2 y y x 2 2 ? 1 (C) x 2 ? ? 1 (D) ? y 2 ? 1 (A) ? y ? 1 (B) x ? 2 4 2 4

切点三角形
x y ? ? 1 上的一点P与左、右 例4、由双曲线 9 4 两焦点 F1、F2构成 ?PF 1F 2 ,求 ?PF 1F 2 的内切圆与
边F 1 F2 的切点坐标。
说明:双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形,其中 | PF | PF2 |和 | F1F2 | 1 |、 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题,要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。
2 2

x2 2 ? y ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 例5、设双曲线C: 2 a 相交于两个不同的点A、B。
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围。
??? ? 5 ??? ? (2)设直线l与y轴的交点为P,且PA ? PB, 求a的值。 12

练习:

y ? 1 ,过点P(1,1)的直线l与 1、已知双曲线 x ? 4
2

2

双曲线只有一个公共点,求直线l 的斜率。


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