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三角函数必备知识点及练习(1)


三角函数必备知识点
1. 任意角的三角函数: (1) 弧长公式: l ? a R (2) 扇形的面积公式: S ? R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数, l 为弧长。

1 lR 2

R 为圆弧的半径, l 为弧长。

(3) 三角函数(6 个)表示: a 为任意角,角 a 的终边上任意点 P 的坐标为 ( x, y ) ,它与 原点的距离为 r(r>0)那么角 a 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是:

sin a ?

y x y r x r , cos a ? , tan a ? , cot a ? , sec a ? , csc a ? . r r x x y y

(4) 同角三角函数关系式: ①倒数关系: tan a cot a ? 1 ③平方关系: sin a ? cos a ? 1
2 2

②商数关系: tan a ?

sin a , cos a

cot a?

cos a sin a

(5) 诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)k·? /2+ a 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性 函 数

x
?a 2? ? a ? ?a 2
2.两角和与差的三角函数: (1)两角和与差公式:

sin x ? sin a ? sin a

cos x cosa cosa
? sin a

tan x ? tan a ? tan a

cot x ? cot a ? cot a

cosa

? cot a

? tan a

cos(? ? ? ) ? cosa cos ? ? sin a sin ?

s i na(? ? ) ? s i n ac o ? s ?co a ssin ?
注:公式的逆用或者变形 .........

tana(a ? ? ) ?

tana ? tan? 1 ? tana tan?

(2)二倍角公式:

sin 2a ? 2 sin a cos a

cos2a ? cos2 a ? sin 2 a ? 1 ? 2 sin 2 a ? 2 cos2 a ? 1
从二倍角的余弦公式里面可得出 降幂公式: cos a ?
2

tan 2a ?

2 tan a 1 ? tan 2 a

1 ? cos 2a , 2

sin 2 a ?

1 ? cos 2a 2

(3)半角公式(可由降幂公式推导出) :

sin

a 1 ? cos a a 1 ? cos a sin a 1 ? cos a a 1 ? cosa , , ?? cos ? ? tan ? ? ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos a 1 ? cos a sin a

3.三角函数的图像和性质: (其中 k ? z ) y ? sin x 三角函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性
[2k? ?

y ? cos x
(-∞,+∞) [-1,1]

y ? tan x
x ? k? ?

?
2

(-∞,+∞) [-1,1]

(-∞,+∞)

T ? 2?

?
2 ,2k? ?

T ? 2?


T ??

?
2

?
2

]

[(2k ? 1)? ,2k? ]

单调性

单调递增
[2k? ?

?
2

,2k? ?

3? ] 2

单调递增 [(2k? , (2k ? 1)? ] 单调递减

( k? ?

, k? ?

?
2

)

单调递增

单调递减 对称性
x ? k? ?

?
2

x ? k?

(

(k? ,0)
零值点

? (k? ? ,0) 2
x ? k? ?

k? ,0) 2

x ? k?
x ? k? ?

?
2

x ? k?

?
2

ymax ? 1
ymin ? ?1

最值点

x ? 2k? , ymax ? 1 ;
x ? (2k ? 1)? , ymin ? ?1

x ? k? ?

?
2



4.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像与性质: (本节知识考察一般能化成形如 y ? A sin(?x ? ? ) 图像及性质) (1) 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期都是 T ?

2?

?
? ?
? 3? 、? 、 、 2? 来 2 2

?x ? ? ) 和 y ? A cot( ?x ? ? ) 的周期都是 T ? (2) 函数 y ? A tan(
(3) 五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、

求相应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图。 (4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个 变换总是对字母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化” 多少。 (附上函数平移伸缩变换): 函数的平移变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a)(a ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位 (左加右减)

② y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b(b ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 y 轴向上(下)平移 b 个单位 (上加下减) 函数的伸缩变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( wx)(w ? 0) 将 y ? f ( x) 图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的

1 倍( w ? 1 缩短, 0 ? w ? 1伸长) w
② y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0) 将 y ? f ( x) 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来 的 A 倍( A ? 1 伸长, 0 ? A ? 1缩短) 函数的对称变换: ① y ? f ( x) ? y ? f (? x) ) 将 y ? f ( x) 图像绕 y 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 x 轴对称) ② y ? f ( x) ? y ? ? f ( x) 将 y ? f ( x) 图像绕 x 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 y 轴对称) ③ y ? f ( x) ? y ? f ( x ) 将 y ? f ( x) 图像在 y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕 y 轴翻 折到左侧(偶函数局部翻折) ④ y ? f ( x) ? y ? f ( x) 保留 y ? f ( x) 在 x 轴上方图像, x 轴下方图像绕 x 轴翻折上 去(局部翻动) 5.三角变换: 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运 用三角公式,掌握运算、化简的方法技能。 (1) 角的变换:角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,还可作添加、 删除角的恒等变形 (2) 函数名称变换:三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式:

as i n ? ? bc o ? s ? a 2 ? b2 s i n?( ? ? ) 其中 cos? ?

a a ?b
2 2

, sin ? ?

b a ? b2
2

(3) 常数代换:在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数, 特别是常数“1” 。 (4) 幂的变换:对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理,有时需要升幂例如:

1 ? cosa 常用升幂化为有理式。
(5) 公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。 (6) 结构变化:在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或 移项,或变乘为除,或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因 式、配方等。 (7) 消元法:如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法 (8) 思路变换:如果一种思路无法再走下去,试着改变自己的思路,通过分析比较 去选择更合适、简捷的方法去解题目。

(9) 利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子: sin a ? cos a , sin a cos a sin a ? cos a ,已知其中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元。 6.函数的最值(几种常见的函数及其最值的求法) : ① y ? a sin x ? b (或 a cos x ? b) 型:利用三角函数的值域,须注意对字母的讨论 ② y ? a sin x ? b cos x 型:引进辅助角化成 y ?

a 2 ? b2 sin(x ? ? ) 再利用有界性

③ y ? a sin 2 x ? b sin x ? c 型:配方后求二次函数的最值,应注意 sin x ? 1的约束 ④y?

a sin x ? b 型:反解出 sin x ,化归为 sin x ? 1解决 c sin x ? d

⑥ y ? a(sin x ? cos x) ? b sin x ? cos x ? c 型:常用到换元法: t ? sin x ? cos x ,但须 注意 t 的取值范围: t ?

2。
A B?C ? cos , 2 2

(3)三角形中常用的关系:

sin A ? sin(B ? C ) , sin 2 A ? ? sin 2( B ? C ) ,

cos A ? ? cos(B ? C ) , co2 sA? c o 2 s (B ? C)

sin

练习题:
1. y ? (sin x ? cos x)2 ?1 是( A.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 2.为得到函数 y ? cos ? x ? A.向左平移 ) B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 )

? ?

π? ? 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图像( 3?
π 个长度单位 6 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移

π 个长度单位 6 5π C.向左平移 个长度单位 6

3.若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是( ) A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

4.函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为( ) A.1 B.

2

C. 3

D.2 )

5.函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(

A. x ? ?

?
6

6 12 ? 6.函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 个单位后, 得到函数 y=g(x)的图象, 则 g(x)的解析 2
式为( )A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx )

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?

D. x ?

?

7.已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是( A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数 B、最小正周期为

? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2
) D. -2,

8.函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 B. -2,2 C. -3,

9.将函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象 F 向右平移 轴是直线 x ?

? , 则 ? 的一个可能取值是( ) 1 5 5 A. ? B. ? ? 12 12 sin x 10.函数 f ( x) ? 是( ) x sin x ? 2sin 2 A.以 4? 为周期的偶函数
C.以 2? 为周期的偶函数

? 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称 3

3 2

3 2

C.

11 ? 12

D. ?

11 ? 12

B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数

11. 若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则

MN 的最大值为(
A.1 B. 2

) C. 3 D.2 )

12.已知 cos ? ? ?

? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? 的值是( ? ? sin ? ? 6? 5 6 ? ?
B.

A. ?

2 3 5

2 3 5
) C.

C. ?

4 5

D.

4 5

13. sin 330? 等于( A. ?

3 2

B. ?

1 2

1 2

D.

3 2

14.

? tan x ? cot x? cos2 x ? (

) D. cot x

A. tan x B. sin x C. cos x

15.把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 上所有点的横坐标缩短到原来的 A. y ? sin ? 2 x ?

? 个单位长度,再把所得图象 3


1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( 2
B. y ? sin ?

? ? ? ?

?? ?,x ? R 3? ?? ?,x ? R 3?

? x ?? ? ?,x ? R ?2 6? ? ? ?? ? ?,x ? R 3 ?
) D. b ? a ? c

C. y ? sin ? 2 x ? 16.设 a ? sin A. a ? b ? c

D. y ? sin ? 2 x ?

5? 2? 2? , b ? cos , c ? tan ,则( 7 7 7
B. a ? c ? b C. b ? c ? a

17.函数 y ? (sin x ? cos x) 2 ?1 的最小正周期是( ) A.

? 2

B. ?

C.

3? 2

D. 2?

18.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( 点个数是( )A.0 B.1 C.2

x 3? 1 ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 y ? 的交 2 2 2

D.4 .

, ? 2) ,则 tan 2? 的值为 19.若角 ? 的终边经过点 P(1
20. f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?
2sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x




21.设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ? 22.若 sin(

? ?

?? 2?

?

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? _________。 2 5

? 23.函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 24.求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。
2 4

25.已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

? 2π ? ? ?

26.已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合.

? . 2

27. 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

28.已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?

练习题参考答案:
1.D 11.B 19. 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 14.D 7.D 8.C 9.A 10.A 17.B 22. ? 18.C 12.C 13.B 20. 10 15.C 16.D 21. 3

4 3

7 25

23.2

24. 解: y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x

? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11 , ? 中的最大值为
2

zmax ? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10
2

最小值为

zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6
2

故当 sin 2 x ? ?1 时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 【点评】 :此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】 :利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关 键; 25. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ? 因为 0 ≤ x ≤

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

2π , 3

所以 ? 所以 ?

π π 7π ≤ 2x ? ≤ , 6 6 6

1 π? ≤ sin ? ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? ? ? ? π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ? 26. 解:

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ?

? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2? 2 2

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
?
16 ? k? ?? ?k ? Z ? 时, sin ? ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以函数 2 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

? k? ? ? f ?x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? ,k ? Z? 16 2 ? ?
27. 解: (1)

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? sin(2 x ? ) 6

?

∴周期T ?

(2)

x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6

? ?

2? ?? 2

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

?
6

) 在区间 [?

?
3

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 12 3 3 2

? ?

? ?

时, f ( x ) 取最大值 1



f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,∴ 当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2

所以 函数 f ( x ) 在区间 [?

? ?

28. 解: (Ⅰ)

x x ? x π? f ( x) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 2 ?2 3?

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2?

? 函数 g ( x) 是偶函数.


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