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黑龙江省牡丹江一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年黑龙江省牡丹江一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)下面各组函数中为相同函数的是() A.f(x)= = C. f(x)=lne ,g(x)=e
x lnx

,g(x)=x﹣1

B. f(x)=

,g(x)

D.f(x)=x ,g(x)=

0

2. (5 分)已知 R 是实数集,集合 P={x|y=ln(x +2014x﹣2015)},Q={y|y= 则(?RP)∪Q() A.(0,1]

2

},

B.[0,1]

C.(﹣2015,1]

D.[﹣2015,2]

3. (5 分)设 A={0,1,2,4}, 映射的是() A.f:x→x ﹣1
3

,下列对应法则能构成 A 到 B 的

B.f:x→(x﹣1)

2

C.f:x→2

x﹣1

D.f:x→2x

4. (5 分)如果幂函数 A.﹣1≤m≤2 B.m=1 或 m=2
d

的图象不过原点,则 m 取值是() C.m=2 D.m=1

5. (5 分)已知 b>0,log5b=a,lgb=c,5 =10,则下列等式一定成立的是() A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c 6. (5 分)若命题“?x0∈R,使得 x0 +mx0+2m﹣3<0”为假命题,则实数 m 的取值范围是() A.[2,6] B.[﹣6,﹣2] C.(2,6) D.(﹣6,﹣2) 7. (5 分)已知函数 y=f(2 )的定义域为(1,2) ,则 y=f(log2x)的定义域为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,16) 8. (5 分) 已知 f (x) , g (x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数, 且f (x) ﹣g (x) =x +x +1, 则 f(1)+g(1)=() A.﹣3 B . ﹣1 C. 1 D.3
3 2 x 2

9. (5 分)函数 y=3

,x∈[﹣1,2]的值域是()

A.R

B.

C.[9,243]

D.[3,+∞)

10. (5 分) 若( f x) 是定义在 (﹣∞, 0) ∪ (0, +∞) 上的奇函数, 且当 x>0 时, 则 f(x)的图象大致是()



A.

B.

C.

D.

11. (5 分)已知奇函数 f(x)在(﹣∞,0)上是单调减函数,且 f(2)=0,则不等式(x﹣1) f(x﹣1)>0 的解集为() A.{x|﹣3<x<﹣1} B. {x|﹣1<x<1 或 1<x<3} C. {x|﹣3<x<0 或 1<x<3} D.{x|﹣3<x<1 或 x>2} 12. (5 分)若定义在[﹣2014,2014]上的函数 f(x)满足:对于任意的 x1,x2∈[﹣2014,2014], 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2013,且 x>0 时,有 f(x)>2013,f(x)的最大、小值分 别为 M、N,则 M+N 的值为() A.4026 B.4028 C.2013 D.2014

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上)

13. (5 分)已知函数 f(x)=

,那么 f{f[f(﹣1)]}=.

14. (5 分)设 f(x+ )=x +

2

,则 f(x)=.

15. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,若函数 取值范围是.

在[3,4]是增函数,则 a 的

16. (5 分)下列四个命题: (1)奇函数 f(x)在(﹣∞,0)上增函数,则(0,+∞)上也是增函数; 2 2 (2)命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的否命题是“若 x ﹣3x+2=0,则 x≠1”; 2 (3)y=x ﹣2|x|﹣3 的单调递增区间为[1,+∞) ; (4)已知函数 f(x)满足 2f(x)=f( )+ ,则 f(x)的最小值为 2 其中正确结论的是(填写正确结论的序号) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)计算下列各式 (1) ( ) ﹣( ) +(0.008)
0.5

×

+( ) ;

0

(2)



18. (12 分)已知 p:x∈A={x|x ﹣2x﹣3≤0,x∈R},q:x∈B={x|x ﹣2mx+m ﹣9≤0,x∈R,m∈R} (1)若 A∩B=[2,3],求实数 m 的值; (2)若 p 是?q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 19. (12 分)已知一次函数 f(x)满足 2f(2)﹣3f(1)=5,2f(0)﹣f(﹣1)=1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)= ,求函数 g(x)的定义域和值域.

2

2

2

20. (12 分)已知函数 f(x)=a﹣ (1)若 f(x)为奇函数,求实数 a 的值; (2)判断 f(x)的单调性并利用单调性定义证明. 21. (12 分)设函数 (1)求 f(x)解析式并判断其奇偶性; x (2)当 x∈[﹣1,0)时,求 f(3 )的值域; (3) 时,f(x)≤g(x)有解,求实数 k 取值集合. (a∈R) ,若 .

22. (12 分)函数 f(x)的定义域为 R,并满足以下条件: ①对任意的 x∈R,有 f(x)>0; y ②对任意的 x,y∈R,都有 f(xy)=[f(x)] ; ③ .

(Ⅰ)求 f(0)的值; (Ⅱ)求证:f(x)是(﹣∞,+∞)上的单调递增函数; (Ⅲ)解关于 x 的不等式:[f(x﹣2a)]
(x+1)

>1.

2014-2015 学年黑龙江省牡丹江一中高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)下面各组函数中为相同函数的是() A.f(x)= = C. f(x)=lne ,g(x)=e
x lnx

,g(x)=x﹣1

B. f(x)=

,g(x)

D.f(x)=x ,g(x)=

0

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可以根据选项中函数的定义域、值域、解析式等方面来判断它们是否为同一个 函数,得到本题结论. 解答: 解:选项 A 中,f(x)= 选项 B 中,g (x) =
lnx

,y≥0,与函数 g(x)=x﹣1 的值域 R 不符; 的 x≥1, 与函数
x

的定义域 R 不符;

选项 C,g(x)=e =x,x>0,与 f(x)=lne =x 的定义域 R 不符; 选项 D 中,f(x)=x =1,x≠0,
0

,x≠0,两个函数相同.

故选 D. 点评: 本题考查了函数的定义,本题难度不大,属于基础题. 2. (5 分)已知 R 是实数集,集合 P={x|y=ln(x +2014x﹣2015)},Q={y|y= 则(?RP)∪Q() A.(0,1]
2

},

B.[0,1]

C.(﹣2015,1]

D.[﹣2015,2]

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 本题考查集合的交、并、补的混合运算,首先将集合 P、Q 化简,然后求集合 P 的补 集,再和集合 Q 求并集. 2 2 解答: 解:∵集合 P={x|y=ln(x +2014x﹣2015)}={x|x +2014x﹣2015>0}═{x|x<﹣2015, 或 x>1}=, ∴?RP={x|﹣2015≤x≤1}, 又∵Q={y|y= }即函数 y= 值域,

∵函数 y=

定义域为{x|﹣x +2x+3≥0},值域为[0,2],

2

∴(?RP)∪Q=[﹣2015,1]∪[0,2] =[﹣2015,2]. 故选:D 点评: 本题中集合以描述法形式给出,解题关键是理解描述法中代表字母的意义,例如本 题,集合 P 是函数的定义域,而集合 Q 是函数的值域. 3. (5 分)设 A={0,1,2,4}, 映射的是() A.f:x→x ﹣1
3

,下列对应法则能构成 A 到 B 的

B.f:x→(x﹣1)

2

C.f:x→2

x﹣1

D.f:x→2x

考点: 映射. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的两个集合,对于集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有唯一的一个元 素与它对应,从集合 A 中取一个特殊的元素 4,进行检验,去掉两个答案,去掉元素 2,去掉 一个不合题意的,得到结果. 解答: 解:当 x=4 时,x ﹣1=63,在 B 集合中没有元素和它对应,故 A 不能构成, 2 当 x=4 时, (x﹣1) =9,在 B 集合中没有元素和它对应,故 B 不能构成, 当 x=2 时,2x=4,在 B 集合中没有元素和它对应,故 D 不能构成, 根据映射的定义知只有 C 符合要求, 故选 C. 点评: 本题考查映射到概念,是一个基础题,这种题目可以作为选择或填空出现在大型考 试的前几个题目中,是一个送分题目.
3

4. (5 分)如果幂函数 A.﹣1≤m≤2 B.m=1 或 m=2

的图象不过原点,则 m 取值是() C.m=2 D.m=1

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: 幂函数的图象不过原点,所以幂指数小于等于 0,系数为 1,建立不等式组,解之即 可. 解答: 解:幂函数 的图象不过原点,所以

解得 m=1 或 2,符合题意. 故选 B. 点评: 本题主要考查了幂函数的图象及其特征,考查计算能力,属于基础题. 5. (5 分)已知 b>0,log5b=a,lgb=c,5 =10,则下列等式一定成立的是() A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c 考点: 对数值大小的比较.
d

专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出. 解答: 解:由 5 =10,可得 ∴cd=lgb =log5b=a.
d



故选:B. 点评: 本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式,属于基础题. 6. (5 分)若命题“?x0∈R,使得 x0 +mx0+2m﹣3<0”为假命题,则实数 m 的取值范围是() A.[2,6] B.[﹣6,﹣2] C.(2,6) D.(﹣6,﹣2) 考点: 特称命题;命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先写出原命题的否定,再根据原命题为假,其否定一定为真,利用不等式对应的是 二次函数,结合二次函数的图象与性质建立不等关系,即可求出实数 m 的取值范围. 解答: 解:命题“?x0∈R,使得 “?x0∈R,都有 由于命题“?x0∈R,使得 则其否定为:“?x0∈R,都有
2 2

”的否定为: ”, ”为假命题, ”,为真命题,

∴△=m ﹣4(2m﹣3)≤0,解得 2≤m≤6. 则实数 m 的取值范围是[2,6]. 故选 A. 点评: 本题考查二次不等式恒成立,解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理. 7. (5 分)已知函数 y=f(2 )的定义域为(1,2) ,则 y=f(log2x)的定义域为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,16) 考点: 对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. x x x 分析: 由函数 f(2 )的定义域(1,2) ,解出 2<2 <4,由代换知,2<log2 <4 求解即可. x 解答: 解:∵函数 f(2 )的定义域(1,2) , x ∴2<2 <4, x ∴2<log2 <4 4<x<16 x ∴f(log2 )的定义域是(4,16) 故选 D. 点评: 本题主要考查抽象函数的定义域,要注意理解应用定义域的定义,特别是代换之后 的范围不变.解题时要认真审题,仔细解答,注意指数函数和对数函数性质的灵活运用.
x

8. (5 分) 已知 f (x) , g (x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数, 且f (x) ﹣g (x) =x +x +1, 则 f(1)+g(1)=() A.﹣3 B . ﹣1 C. 1 D.3 考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将原代数式中的 x 替换成﹣x,再结合着 f(x)和 g(x)的奇偶性可得 f(x)+g(x) , 再令 x=1 即可. 3 2 解答: 解:由 f(x)﹣g(x)=x +x +1,将所有 x 替换成﹣x,得 3 2 f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣x +x +1, 根据 f(x)=f(﹣x) ,g(﹣x)=﹣g(x) ,得 f(x)+g(x)=﹣x +x +1,再令 x=1,计算得, f(1)+g(1)=1. 故选:C. 点评: 本题属于容易题,是对函数奇偶性的考查,在高考中,函数奇偶性的考查一般相对 比较基础,学生在掌握好基础知识的前提下,做题应该没有什么障碍.本题中也可以将原代数 式中的 x 直接令其等于﹣1 也可以得到计算结果.
3 2

3

2

9. (5 分)函数 y=3 A.R B.

,x∈[﹣1,2]的值域是() C.[9,243] D.[3,+∞)

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 由二次函数值域的求法求出 t=x ﹣3x+2 的范围, 然后结合指数函数的单调性得答案. 2 解答: 解:令 t=x ﹣3x+2, ∵x∈[﹣1,2], ∴t=x ﹣3x+2= 则 ∈ .
2



∴函数 y=3

,x∈[﹣1,2]的值域是



故选:B. 点评: 本题考查了复合函数的单调性,考查了二次函数和指数函数值域的求法,是中档题.

10. (5 分) 若( f x) 是定义在 (﹣∞, 0) ∪ (0, +∞) 上的奇函数, 且当 x>0 时, 则 f(x)的图象大致是()



A.

B.

C.

D.

考点: 奇偶函数图象的对称性;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数在 x>0 上的单调性和取值范围即可得到结论. 解答: 解:∵当 x>0 时, ,

∴当 x>0 时,函数 f(x)单调递增,排除 A. 又当 x>0 时,f(x)∈(1,2) ,排除 C,D. 故选:B. 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数的性质是解决本题的关键,本题主 要是利用指数函数的单调性和取值范围即可得到结论. 11. (5 分)已知奇函数 f(x)在(﹣∞,0)上是单调减函数,且 f(2)=0,则不等式(x﹣1) f(x﹣1)>0 的解集为() A.{x|﹣3<x<﹣1} B. {x|﹣1<x<1 或 1<x<3} C. {x|﹣3<x<0 或 1<x<3} D.{x|﹣3<x<1 或 x>2} 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 不等式(x﹣1)f(x﹣1)>0 化为 ,或 .再利用

f(2)=0,f(﹣2)=0.f(x)在(﹣∞,0)上是单调减函数,即可得出. 解答: 解:不等式(x﹣1)f(x﹣1)>0 化为 ,或 .

∵f(2)=0,∴f(﹣2)=0,且 f(x)在(﹣∞,0)上是单调减函数, ∴ ,或 ,

解得 1<x<3 或﹣1<x<1. ∴不等式(x﹣1)f(x﹣1)>0 的解集为{x|1<x<3 或﹣1<x<1}. 故选:B. 点评: 本题考查了函数的奇偶性单调性、不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题. 12. (5 分)若定义在[﹣2014,2014]上的函数 f(x)满足:对于任意的 x1,x2∈[﹣2014,2014], 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2013,且 x>0 时,有 f(x)>2013,f(x)的最大、小值分 别为 M、N,则 M+N 的值为() A.4026 B.4028 C.2013 D.2014

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用赋值法,f(0)=2f(0)﹣2013 可求 f(0) ,结合已知设 x1<x2,先证明函数的 f(x)的单调性,进而可求函数的最大值与最小值. 解答: 解:∵对于任意 x1,x2∈[﹣2014,2014]有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2013, ∴f(0)=2f(0)﹣2013, ∴f(0)=2013, 令 x1=2014,x2=﹣2014, ∴f(0)=f+f(﹣2014)﹣2013, ∴f+f(﹣2014)=4026, 设 x1<x2∈[﹣2014,2014], 则 x2﹣x1>0, ∵x>0 时,f(x)>2013, ∴f(x2﹣x1)>2013, ∴f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣2013>f(x1) , ∴函数 f(x)在[﹣2014,2014]上单调递增, ∴f(x)的最大值与最小值分别为 M=f 和 N=f(﹣2014) , 则 M+N=f+f(﹣2014)=4026, 故选:A 点评: 本题考查抽象函数及其应用,先利用单调性的定义证明函数 f(x)在 R 上为单调递 增函数是关键,也是难点,考查分析、推理与运算能力,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上)

13. (5 分)已知函数 f(x)=

,那么 f{f[f(﹣1)]}=2.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据自变量所属的范围,将 x 的值代入相应段中,求出值.

解答: 解:∵f(x)=



∴f(﹣1)=0; f[f(﹣1)]=f(0)=



f{f[f(﹣1)]}= =2 故答案为:2 点评: 本题考查分段函数求函数值,关键是判定出自变量所属的范围,属于基础题. 14. (5 分)设 f(x+ )=x +
2

,则 f(x)=x ﹣2,x≥2 或 x≤﹣2.

2

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 运用换元法,配方法求解,注意范围. 解答: 解:设 t=x+ ,t≥2 或 t≤﹣2 ∵f(x+ )=x +
2 2



∴f(t)=t ﹣2,t≥2,t≤﹣2, 2 即 f(x)=x ﹣2,x≥2 或 x≤﹣2 2 故答案为:x ﹣2,x≥2 或 x≤﹣2 点评: 本题考查了换元法函数求解析式,难度不大. 15. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,若函数 取值范围是(1,+∞) . 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 先根据复合函数的单调性确定函数 g(x)=ax ﹣x 的单调性,进而分 a>1 和 0<a< 1 两种情况讨论. 2 解答: 解:令 g(x)=ax ﹣x(a>0,且 a≠1) ,当 a>1 时,由 g(x)在[3,4]上单调递增, 在[3,4]是增函数,则 a 的

可得

,解得 a>1

当 0<a<1 时,由 g(x)在[3,4]上单调递减,可得

,解得 a∈?,

综上可得:a>1 故答案为: (1,+∞) 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,复合函数的单调性和对数函数的真数一 定大于 0,属于中档题. 16. (5 分)下列四个命题: (1)奇函数 f(x)在(﹣∞,0)上增函数,则(0,+∞)上也是增函数; 2 2 (2)命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的否命题是“若 x ﹣3x+2=0,则 x≠1”; 2 (3)y=x ﹣2|x|﹣3 的单调递增区间为[1,+∞) ; (4)已知函数 f(x)满足 2f(x)=f( )+ ,则 f(x)的最小值为 2 其中正确结论的是(1) (填写正确结论的序号) .

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 阅读型;函数的性质及应用. 分析: 对于(1) ,由奇函数的图象关于原点对称,即可判断;对于(2) ,运用否命题的特 点,即可判断; 对于(3) ,由偶函数的图象特点,即可得到增区间有两个;对于(4) ,先求函数的解析式,将 x 换为 ,运用函数方程,即可得到 f(x) ,再讨论 x>0,x<0,求出最值,即可判断. 解答: 解:对于(1) ,由奇函数的图象关于原点对称,可得奇函数 f(x)在(﹣∞,0)上 增函数, 则(0,+∞)上也是增函数,故(1)正确; 对于(2) ,命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的否命题是“若 x ﹣3x+2≠0,则 x≠1”,故(2)错误; 2 对于(3) ,y=x ﹣2|x|﹣3 为偶函数,x>0 时,增区间为(1,+∞) ,x<0 时,增区间为(﹣1, 0) , 故(3)错误; 对于(4) ,2f(x)=f( )+ ,①,将 x 换为 得到,2f( )=f(x)+3x,② 由①②解得,f(x)=x+ ,当 x>0 时,f(x)有最小值 2 ,当 x<0 时,有最大值﹣2 ,
2 2

故(4)错误. 故答案为: (1) 点评: 本题考查函数的性质和运用,考查函数的奇偶性和单调性及运用,同时考查否命题 的表示,函数的解析式的求法和最值的求法,属于中档题和易错题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)计算下列各式 (1) ( ) ﹣( ) +(0.008)
0.5

×

+( ) ;

0

(2)



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)运用指数幂的运算性质求解, (2)根据对数的运算性质,结合 lg2+lg5=1 求解. 解答: 解: (1)原式=( ) ﹣( ) +(0.008)
0.5

×

+( )

0

=( =



﹣( +1=

) +(0.008) +2+1= ;

0.5

×

+1

(2)分子=lg5(3+3lg2)+3(lg2) =3lg5+3lg2(lg2+lg5)=3; 分母=(lg6+2)﹣lg6+1=3; ∴原式=1. 点评: 本题考查了指数幂,对数的运算性质,属于化简计算题. 18. (12 分)已知 p:x∈A={x|x ﹣2x﹣3≤0,x∈R},q:x∈B={x|x ﹣2mx+m ﹣9≤0,x∈R,m∈R} (1)若 A∩B=[2,3],求实数 m 的值; (2)若 p 是?q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: (1) 由题意得 A={x|﹣1≤x≤3, x∈R}, B={x|m﹣3≤x≤m+3, x∈R, m∈R}, 因为 A∩B=[2, 3]所以 m=5. (2)B={x|m﹣3≤x≤m+3,x∈R,m∈R}可得 CRB={x|x<m﹣3 或 x>m+3,x∈R,m∈R},因为 p 是?q 的充分条件,所以 A??RB,所以 m>6 或 m<﹣4. 解答: 解: (1)由题意得 A={x|﹣1≤x≤3,x∈R},B={x|m﹣3≤x≤m+3,x∈R,m∈R}, ∵A∩B=[2,3]如图所示
2 2 2

2

∴m﹣3=2 ∴m=5 所以实数 m 的值为 5. (2)由题意得 q:x∈B={x|x ﹣2mx+m ﹣9≤0,x∈R,m∈R} 所以 B={x|m﹣3≤x≤m+3,x∈R,m∈R}, 所以?q:CRB={x|x<m﹣3 或 x>m+3,x∈R,m∈R}, ∵p 是?q 的充分条件, ∴A??RB, ∴m>6 或 m<﹣4. 所以实数 m 的取值范围是 m>6 或 m<﹣4. 点评: 本题不但考查集合的交集、并集、补集得知识点还结合不等式考查了充分条件的转 化、判断及应用,充要条件的判断也可以转化为与两个条件对应的两个集合之间的判断. 19. (12 分)已知一次函数 f(x)满足 2f(2)﹣3f(1)=5,2f(0)﹣f(﹣1)=1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)= ,求函数 g(x)的定义域和值域.
2 2

考点: 函数的值域;一次函数的性质与图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)运用待定系数法求解,解方程组. (2)把 f(x)代入求解,得出 g(x) = 解不等式﹣x +3x﹣2≥0,得 1≤x≤2,0≤﹣x +3x﹣2
2 2

,即可得到定义域,值域.

解答: 解: (1)设 f(x)=kx+b, (k≠0) , 由条件得: ,

解得



故 f(x)=3x﹣2; (2)由(I)知 f(x)﹣x =﹣x +3x﹣2, 即 g(x)= ﹣x +3x﹣2≥0, 1≤x≤2,0≤﹣x +3x﹣2 定义域为[1,2]; 值域为[0, ] 点评: 本题考查了函数的性质,不等式的求解,运用求解定义域,值域,属于容易题. 20. (12 分)已知函数 f(x)=a﹣ (1)若 f(x)为奇函数,求实数 a 的值; (2)判断 f(x)的单调性并利用单调性定义证明. 考点: 函数奇偶性的判断;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)函数 f(x)=a﹣ ,且为奇函数,则 f(﹣x)+f(x)=0,计算即可得到 a;
2 2 2 2

(2)运用函数的单调性的定义,即可判断,注意作差、变形、判断符号等步骤. 解答: 解: (1)函数 f(x)=a﹣ 则 f(﹣x)+f(x)=0, 即有 a﹣ +a﹣ =0, ,且为奇函数,

即 2a=

=2,则 a=1;

(2)f(x)在定义域 R 上递增. 理由如下:设 m<n,则 f(m)﹣f(n)=1﹣ ﹣(1﹣ )

=2

,由于 m<n,则 0<2 <2 ,则有 2 ﹣2 <0,

m

n

m

n

故 f(m)﹣f(n)<0, 即有 f(x)在定义域 R 上递增.

点评: 本题考查函数的奇偶性的运用,考查函数的单调性的判断,注意定义的运用,考查 运算能力,属于基础题. 21. (12 分)设函数 (1)求 f(x)解析式并判断其奇偶性; (2)当 x∈[﹣1,0)时,求 f(3 )的值域; (3) 时,f(x)≤g(x)有解,求实数 k 取值集合.
x

(a∈R) ,若



考点: 函数奇偶性的判断;函数解析式的求解及常用方法;幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 求得 a 的值,可得 f(x)的解析式,求得它的定义域关于原

点对称,且满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,可得 f(x)为奇函数. x (2)由 f(x)的解析式求得 f(3 )的解析式,再利用不等式的性质求得它的值域. (3)由条件可得 ,根据
2

,可得 x+1>0.根据 h(x)=1﹣x 在

2

[ , ]上是减函数,求得 h(x)的最大值,可得 k ≤ .又由 g(x)定义域知 k>0,从而求 得 k 的范围.

解答: 解: (1)由于

,∴

,即

,解得 a=1,

∴ 再由

. >0,求得﹣1<x<1

,∴定义域为(﹣1,1) ,定义域关于原点对称. 再根据 ∴f(x)为奇函数.﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) (2)f(x)= ,∴ . =﹣f(x)

∵﹣1≤x<0,∴﹣ ≤3 ﹣1<0,∴

x

≤﹣3,即﹣

≥3,



,∴



∴值域为[1,+∞) .﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)

(3)∵ ∵

= ,∴x+1>0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分)
2

,∴



令 h(x)=1﹣x ,显然 h(x)在[ , ]上是减函数,∴ ∴只需 k ≤ .又由 g(x)定义域知 k>0,∴
2

= , ) .﹣﹣﹣

,即 k 的范围为 (0,

﹣﹣(13 分) 点评: 本题主要考查函数的奇偶性的判断,用待定系数法求函数的解析式,求函数的值域, 属于中档题. 22. (12 分)函数 f(x)的定义域为 R,并满足以下条件: ①对任意的 x∈R,有 f(x)>0; y ②对任意的 x,y∈R,都有 f(xy)=[f(x)] ; ③ .

(Ⅰ)求 f(0)的值; (Ⅱ)求证:f(x)是(﹣∞,+∞)上的单调递增函数; (Ⅲ)解关于 x 的不等式:[f(x﹣2a)]
(x+1)

>1.

考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. y 分析: (Ⅰ)可以令 y=0,代入 f(xy)=[f(x)] ,即可求得 f(0)的值; (Ⅱ)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,可令 x1= P1,x2= P2,故 p1<p2,再判断 f(x1)﹣f(x2) 的符号,从而可证其单调性; , (Ⅲ)根据 f(x)是增函数,利用 f(0)=1,代入不等式,再利用单调性进行求解; 解答: 解: (1) : (1)∵对任意 x∈R,有 f(x)>0, 2 ∴令 x=0,y=2 得:f(0)=[f(0)] ?f(0)=1; (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则令 x1= P1,x2= P2,故 p1<p2, ∵函数 f(x)的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x∈R,有 f(x)>0;②对任意 x, y∈R,有 f(xy)=[f(x)] ;③ ∴f(x1)﹣f(x2)=f( P1)﹣f( P2)=[f( )] ﹣[f( )] <0, ∴f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)是 R 上的单调增函数. (3)∵解关于 x 的不等式:[f(x﹣2a)] >1=f(0) ,f(x)是(﹣∞,+∞)上的单调递 增函数, x+1 ∴f[(x﹣2a) ]>0, x+1 ∴f[(x﹣2a) (x+1)]=f(x﹣2a) >0,∵对任意的 x∈R,有 f(x)>0; ∴(x﹣2a) (x+1)>0,比较 2a 与﹣1 的大小
(x+1)

y

P1

P2

当 当 当

时,f(x)的解集为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) ; 时,即 2a>﹣1,f(x)的解集为(﹣∞,﹣1)∪(2a,+∞) ; 时,即 2a<﹣1,f(x)的解集为(﹣∞,2a)∪(﹣1,+∞) .

点评: 本题考查抽象函数及其应用, 难点在于用单调函数的定义证明其单调递增时“任取 x1, x2∈R,且 x1<x2,则 x1= P1,x2= P2,”这一步比较灵活需要学生的理解与应用,属于中档 题.


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