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河北省正定中学2015-2016学年高二上学期第二次月考(本部联考)数学试题


2015—2016 学年度第一学期高二年级第二次联考

数学试卷
试卷Ⅰ(共 60 分)
一、选择题(本题共 12 个小题,每题只有一个正确答案 ,每题 5 分,共 60 分)
2 1.已知集合 M ? ? x | 0 ? x ? 3? , N ? x | x ? 5 x ? 4 ? 0 , 则 M ? N ? (

?

?



A.

?x | 0 ? x ? 1?

B. ?x | 1 ? x ? 3? .

C. ?x | 0 ? x ? 4? )

D.

?x | x ? 0或x ? 4?

2.双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? ( A. ?

1 4

B. ?4
x?1

C. 4

D.

1 4

3.设命题 p :函数 f ? x ? ? e

在 R 上为增函数;命题 q :函数 f ? x ? ? cos ? x ? ? ? 为奇函 ) C. ? ?p ? ? ? ?q ? D. p ? ? ?q ?

数.则下列命题中真命题是( A. p ? q B. ? ?p ? ? q

4.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表,已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( ) 一年级 二年级 三年级 A. 24 B. 18 y 女生 373 x C. 16 D. 12 男生 377 370 z 5.已知具有线性相关的两个变量 x , y 之间的一组数据如下:
x

0 2.2
?

1 4.3

2 t

3 4.8 )

4 6.7

y

且回归方程是 A. 2.5

y ? 0.95 x ? 2.6 ,则 t ? (
B. 3.5 C. 4.5

D. 5.5 )

6.已知 ? ? (0, ? ) ,且 sin ? ? cos ? ? A. ?

1 ,则 cos 2? 的值为( 2
D. ?

7 4

B.

7 4

C. ?

7 4

3 4
) .

7.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,则以点 M ? ?1, 2? 为中点的弦所在直线方程为( 12 16
B. 3x ? 8 y ? 13 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 4 ? 0

A. 3x ? 8 y ? 19 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0

8.如图给出的是计算 是( )

1 1 1 1 ? ? ?? ? 的值的一个程序框图, 则判断框内应填入的条件 2 4 6 2014

A. i ? 1006 9.已知椭圆 C :

B. i ? 1007

C. i ? 1007

D. i ? 1006

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A ,上顶点 a 2 b2
6 | F1F2 | ,则椭圆 C 的离心率 e ? ( 6
2 3
D. )

为 B ,若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为

A.

2 2

B.

3 2

C.

3 3

10.设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? m , m ? R .若在区间 ? ?2, 4? 上随机取一个数 x , f ( x) ? 0 的 概率为 A. 2

2 ,则 m 的值为( 3
B. ?2

) C. 3 D. ?3 )

11.设 a, b ? R ,则“ a > b ”是“ a a > b b ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知椭圆

x2 y2 若 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点的对称点为点 B, F 为其右焦点, a2 b2
?? ? ? ,则该椭圆离心率 e 的取值范围为( ?6 4? ?
C. [ )

AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? ? ,

A. [

2 , 3 ? 1] 2

B. [

2 ,1) 2

2 3 , ] 2 2

D. [

3 6 , ] 3 3

试卷 Ⅱ(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 由 命 题 “ 是

?x ? R, 使 x 2 ? mx ? 1 ? 0 ” 是 假 命 题 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围


14.已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 , C1 与 ,双曲线 的方程为 C 2 a 2 b2 a 2 b2

C2 的离心率之积为
? ?

3 2

,则 C2 的渐近线方程为



15.已知向量 a ? b ? 2 , a 与 b 的夹角为 值是 .

?

?

?? ?? ? ? ?? ? .若向量 m 满足 m ? a ? b ? 1 ,则 m 的最大 3

16. 已知球 O 是棱长为 12 的正四面体 S ? ABC 的外接球,D, E, F 分别是棱 SA, SB, SC 的 中点,则平面 DEF 截球 O 所得截面的面积是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 . (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3 sinx cosx ? 1 .在 ?ABC 中,角

A, B, C 所对的边是 a, b, c ,满足 f ? A? ? 1
(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 sin B ? 3sin C , ?ABC 面积为

3 3 .求 a 边的长. 4

18. (本题满分 12 分) (Ⅰ)已知线段 AB 的长为 3 ,其两端点 A, B 分别在 x 轴, y 轴上运 动,点 M 为线段 AB 的一个靠近 B 点的三等分点,求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)在 ?ABC 中,已知 | AB |? 4 2 ,且三内角 A、B、C 满足 sin A ? sin B ? 2sin C , 建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.

19. (本题满分 12 分)为了了解某年龄段 1000 名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干学 生的百米成绩,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组

?13,14? ,第二组 ?14,15? ,……,第五组 ?17,18? ,得到如下图所示的频率分布直方图.已知
图中从左到右的前 3 个组的频率之比为 3 : 8 :19 ,且第二组的频数为 8 .

(Ⅰ)本次调查一共抽取了多少名学生的百米成绩? (Ⅱ)估计该年龄段 1000 名学生的百米平均成绩是多少秒?

(Ⅲ)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩之差的绝对值大于 1 秒的概率. 20. (本题满分 12 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 ,

AA1 ? 4 ,点 D 是 BC 的中点.

(Ⅰ) 求异面直线 A 1B 与 C1 D 所成角的余弦值; (Ⅱ)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值.

21.(本题满分 12 分)
2 设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和, a1 ? 1, S n ? an ? S n ?

? ?

1? ?(n ? 2) . 2?

(1)求 {an } 的通项; (2)设 bn ?

Sn ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2n ? 1

22. (本题满分 12 分)已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P 2, 3 ,且它的 离心率 e ?

?

?

1 . 2
2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
2 (Ⅱ)与圆 ? x ? 1? ? y ? 1 相切的直线 l : y ? kx ? t 交椭圆于 M , N 两点, 若椭圆上一点 C

满足 OM ? ON ? ? OC ,求实数 ? 的取值范围.

???? ? ????

??? ?

2015—2016 学年度第一学期第二次月考

高二年级数学答案
一、选择题 BADCC CCBAD 二、填空题 13. [?2, 2] 三、解答题 CA

14. y ? ?

2 x 2

15. 2 3 ? 1

16. 48?

17. 【解析】 (Ⅰ) f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ?

? 3 ? 1 ?? ? 2x ? ? ? 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ? ? 2sin ? 6? ? ? ?

由 f ? A? ? 1 ,得到 2sin ? 2 A ? ∵ A 为三角形的内角,∴ 2 A ?

? ?

??
?

?? 1 ? ? ? 1 ,即 sin ? 2 A ? ? ? , 6? 6? 2 ?
?

5? ? ,即 A ? 6 6 3 (Ⅱ)利用正弦定理化简 sin B ? 3sin C 得: b ? 3c ,
∵ S?ABC ?

1 3 3 3 3 3 ,即 ,解得: c ? 1 ,∴ b ? 3 , bc sin A ? ? 3c 2 ? 2 4 4 4

2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9 ? 1 ? 3 ? 7 ,则 a ?

7

18.答案: (1) x ?
2

y2 ?1 4

(2)

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 32 24

19. 【解析】 (1)设图中从左到右前 3 个组的频率分别为 3 x , 8 x , 19 x 依题意,得 3x ? 8 x ? 19 x ? 0.32 ? 1 ? 0.08 ? 1 ? 1 ,解得, x ? 0.02 设调查一共抽取了 n 个学生的百米成绩, 则 8 ? 0.02 ?

8 n

解得 n ? 50 ,即本次调查一共抽取了 50 名学生的百米成绩 (2)估计该年龄段 1000 名学生的百米成绩是

13.5 ? 3 ? 0.02 ? 14.5 ? 8 ? 0.02 ? 15.5 ? 19 ? 0.02 ? 16.5 ? 0.32 ? 17.5 ? 0.08 ? 15.7 ( 列
式、计算各 1 分) (3)百米成绩在第一组的学生数有 3 ? 0.02 ? 1 ? 50 ? 3 ,记他们的成绩为 a, b, c ;百米成 绩在第五组的学生数有 0.08 ? 1 ? 50 ? 4 ,记他们的成绩为 m, n, p , q 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有:

?a, b?, ?a, c?, ?b, c?, ?m, n?, ?m, p?, ?m, q?, ?n, p?, ?n, q?, ?p, q?, ?a, m?, ?a, n?, ?a, p?, ?a, q?, ?b, m?, ?b, n?, ?b, p?, ?b, q?, ?c, m?, ?c, n?, ?c, p?, ?c, q? 共 21 个
其中,成绩之差的绝对值大于 1 秒所包含的基本事件有 ?a, m?, ?a, n?, ?a, p?, ?a, q?

?b, m?, ?b, n?, ?b, p?, ?b, q?, ?c, m?, ?c, n?, ?c, p?, ?c, q?共 12 个
所以,成绩之差的绝对值大于 1 秒的 P ?

12 4 ? 21 7

20. 【解析】(1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

则 A(0, 0, 0) , B(2, 0, 0) , C (0, 2,0) , D(1,1, 0) , A 1 (0,0, 4) , C1 (0, 2, 4) , ∴A 1B ? (2,0, ?4) , C1D ? (1, ?1,4) , ∵

????

???? ?

???? ???? ? ???? ???? ? A1 B ? C1 D (2, 0, ?4) ? (1, ?1, ?4) 18 3 10 , ? ? cos ? A1 B, C1 D ?? ???? ???? ? ? 2 2 2 2 2 10 | A1 B | ? | C1D | 20 ? 18 2 ? (?4) ? 1 ? (?1) ? (?4)
∴异面直线 A 1B 与 C1 D 所成角的余弦值为

3 10 . 10

(2)设平面 ADC1 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,因为 AD ? (1,1,0) , AC1 ? (0, 2, 4) ,

?

????

???? ?

? ???? ? ? ?x ? y ? 0 ?n ? AD ? 0 ∴ ? ? ???? ,即 ? ,取 z ? 1 ,得 x ? 2 , y ? ?2 ,∴ n ? (2, ?2,1) , ? ? y ? 2z ? 0 ? ?n ? AC1 ? 0 ?? 取平面 AA1 B 的一个法向量为 m ? (0,1,0) , 设平面 ADC1 与平面 AA1 B 所成的二面角的大小
为? ,

? ?? 5 | n ? m | (2, ?2,1) ? (0,1,0) 2 2 ?? ? 由 | cos ? |? ? , ? ? ,得 sin ? ? 3 | n |?| m| 9? 1 9? 1 3
故平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值

5 . 3

2 21. 【解析】 【解析】 (1)? S n ? an ? Sn ?

? ?

1? 1? ? 2 ?,? n ? 2 时, Sn ? ( Sn ? Sn ?1 )? Sn ? ? , 2? 2? ?

整理得, Sn ?1 ? Sn ? 2Sn ?1Sn ?

1 1 ? ?2, Sn Sn ?1 1 ?1. S1

∴数列 {an } 是以 2 为公差的等差数列,其首项为

?1, n ? 1 2 2S n 1 1 ? ? ? 1 ? 2(n ? 1) ? S n ? ,? an ? ?? ?2 ,n ? 2 S1 2n ? 1 2S n ? 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 3)
(2)由(1)知, bn ?

Sn 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? Tn ?
?Tn ?

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? ?
1 1 n (1 ? )? . 2 2n ? 1 2n ? 1

22. 【解析】 (Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

3 ?4 ? a 2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? ?a 2 ?c 2 ? a 2 ? b2 ? ?

解得 ?

2 ? x2 y2 ?a ? 8 ? ?1 ,所以椭圆的标准方程为 : 2 8 6 b ? 6 ? ?

(Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切

1? t2 所以, ? 1 ? 2k ? ( t ? 0) t 1? k2
x2 y2 ? ? 1 并整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 24) ? 0 把 y ? kx ? t 代入 8 6
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有

t?k

8kt 3 ? 4k 2 6t y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ? 3 ? 4k 2 x1 ? x 2 ? ?

因为, ? OC ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 所以, C ? ?

?

? 6t ? 8kt ? , 2 2 ? ? (3 ? 4k ) ? (3 ? 4k ) ? ?

又因为点 C 在椭圆上, 所以,

8k 2 t 2 6t 2 ? ?1 (3 ? 4k 2 )2 ? 2 (3 ? 4k 2 )2 ? 2

2t 2 2 ?? ? ? 2 1 1 3 ? 4k ( 2 )2 ? ( 2 ) ? 1 t t
2

因为 t 2 ? 0 ,所以 (

1 2 1 ) ? ( 2 ) ?1 ? 1 2 t t

所以 0 ? ? 2 ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 (? 2 , 0) ? (0,

2)


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