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2016高考数学(文)一轮复习配套课件:第三章 三角函数、解三角形 第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例_图文

第三章 三角函数、解三角形 第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例 第三章 三角函数、解三角形 1.仰角和俯角 上方 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线__________ 的 下方 角叫仰角,在水平线__________ 的角叫俯角(如图①). 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 2.方位角 北 方向顺时针转到目标方向线的角(如图②,B 点 从正______ 的方位角为 α). 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 3.方向角 相对于某一正方向的角(如图③). (1)北偏东 α:指从正北方向顺时针旋转 α 到达目标方向. (2)东北方向:指北偏东 45°. (3)其他方向角类似. 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 [做一做] 1.在某次测量中,在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的 仰角是 60°,C 点的俯角为 70°,则∠BAC 等于( D ) A.10° C.120° B.50° D.130° 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 1.辨明两个易误点 (1)易混淆方位角与方向角概念:方位角是指正北方向与目 标方向线(按顺时针)之间的夹角, 而方向角是正北或正南方 向线与目标方向线所成的锐角. (2)解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数 据(原始数据),少用间接求出的量. 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 2.解三角形应用题的一般步骤 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 [做一做] 2. 若点 A 在点 C 的北偏东 30°, 点 B 在点 C 的南偏东 60°, 且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( B ) A.北偏东 15° C.北偏东 10° 解析:如图所示,∠ACB=90°, 又 AC=BC, ∴∠CBA=45°, 而 β=30°, ∴α =90°-45°-30°=15°. ∴点 A 在点 B 的北偏西 15°. 栏目 导引 B.北偏西 15° D.北偏西 10° 第三章 三角函数、解三角形 3.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧, 选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠ 50 2 m . CAB=105°,则 A,B 两点间的距离为________ 解析:由正弦定理得 2 50× 2 AC·sin∠ACB AB= = =50 2(m). sin B 1 2 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 考点一 考点二 考点三 测量距离 测量高度 测量角度 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 考点一 测量距离 如图,隔河看两目标 A 与 B,但不能到达,在岸边 先选取相距 3千米的 C, D 两点, 同时, 测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C, D 在同一平面内),求两目标 A,B 之间的距离. 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 [解] 在△ACD 中,∠ACD=120°, ∠CAD=∠ADC=30°,∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45°,∠BDC=75°, 3sin 75° 6+ 2 ∠CBD=60°.∴BC= = . 2 sin 60° 在△ABC 中,由余弦定理,得 6+ 2 6+ 2?2 ? AB =( 3) +? -2× 3× ×cos 75° ? 2 ? 2 ? 2 2 =3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5(km), ∴A,B 之间的距离为 5 km. 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 [规律方法] 求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要求距离问题的注意事项求解的三角形,即 所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知 量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更 便于计算的定理. 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 1.如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点 间的距离,其方法为:先选定适当的位置 C,用经纬仪测 出角 α,再分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可求出 A,B 两点间的距离,即 AB= a2+b2-2abcos α .若测得 CA= 400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,试计算 AB 的长. 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 解:在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos ∠ACB, ∴AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000. ∴AB=200 7 m. 即 A,B 两点间的距离为 200 7 m. 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 考点二 测量高度 (2014· 高考课标全国卷Ⅰ)如图,为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN = 60 °, C 点的仰角∠CAB = 45 °以及 ∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC= 150 100 m,则山高 MN=________m. 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 [解析] 根据题图,AC=100 2 m. 在△MAC 中,∠CMA=180°-75°-60°=45°. AC AM 由正弦定理得 = ?AM=100 3 m. sin 45° sin 60° MN 在△AMN 中, =sin 60°, AM 3 ∴MN=100 3× =150(m). 2 栏目 导引 第三章 三角函数、解三角形 [规律方法] 求解高度问题的注意事项: (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角 都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解 问题的答

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