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2018届北京四中高考数学二轮复习 专题一 第3讲 导数与函数综合问题(教师版) Word版 含答案


专题一 函数、导数与不等式 第3讲 导数与函数综合问题 考向预测 1.利用导数研究函数的性质,以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体,研究函数的 单调性、极值、最值,并能解决简单的问题. 2. 在高考压轴题中,函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常以含指数函数、对数函 数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 知识 与 技 巧 的 梳 理 1.导数的几何意义 函数 f(x) 在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线 f(x)在点 P 处的切 线的斜率 k=f′(x0),相应的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.四个易误导数公式 (1)(sin x)′=cos x; (2)(cos x)′=-sin x; (3)(ax)′=axln a(a>0,且 a≠1); (4)(logax)′= 1 (a>0,且 a≠1,x>0). xln a 3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. ①f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数 f(x)=x3 在(-∞,+∞)上单调递增,但 f′(x)≥0. ②f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件, 如果函数在某个区间内恒有 f′(x)=0 时, 则 f(x) 为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. ①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0. ②若已知函数的单调性,则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题来求 解. 4.利用导数研究函数的极值、最值 (1)若在 x0 附近左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 则 f(x0)为函数 f(x)的极大值; 若在 x0 附近左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值. (2)设函数 y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则 f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且 在极值点或端点处取得. 5.利用导数研究函数的零点 函数的零点、方程的实根、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问 题可以通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解. 6.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下,由于当 x→∞时,函数值也趋向∞,只要按照极值与 零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点 x1,x2 且 x1<x2 的函数 f(x)=ax3+bx2 +cx+d(a≠0)的零点分布情况如下: a 的符号 a>0 (f(x1)为极大值, f(x2)为极小值) a<0 (f(x1)为极小值, f(x2)为极大值) 7.利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式. 若证明 f(x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数 F(x)=f(x)-g(x),如果能证明 F(x)在(a,b)上的 最大值小于 0,即可证明 f(x)<g(x),x∈(a,b). (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题. ①f(x)>g(x)对一切 x∈I 恒成立?I 是 f(x)>g(x)的解集的子集?[f(x)-g(x)]min>0(x∈I). ②?x∈I,使 f(x)>g(x)成立?I 与 f(x)>g(x)的解集的交集不是空集?[f(x)-g(x)]max>0(x∈I). ③对?x1,x2∈I

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