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6.1正余弦函数的图像与性质


正弦函数、余弦函数的图象

y
P(x,y)
1

? 的终边
T

sin ? ? MP
x

-1

o

A(1,0) M
1

cos ? ? OM tan ? ? AT

-1

1.如何画出正弦函数y=sinx x∈[0,2π ]的图象呢?

y

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

o1

M -1 1

A

o
-1 -

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

-

-

2.如何画出正弦函数y=sinx (x∈R)的图象呢?
因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
y
1
?4? ?3?
?2?

??
? 3? 2 ?

?
?
2

2?

3?

4?

?

7? 2

?

5? 2

0
-1

? 2

3? 2

5? 2

7? 2

x

y=sin x, x∈R

3 如何画余弦函数y=cosx的图象
y

余弦曲线
1

???

? ?? ?

???

? ?? ?

??

? ? ?
-1

? ?

?

?? ?

??

?? ?

??

x

y ? cos x ? sin( ? x) 2

?

? 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 各单位长度而得到. 2

正弦曲线:y ? sin x
?? ??? ? ?? ??? ? ????? ? ?? ? ? ? ?

x?R
??
? ?

y
1

?

?

-1

? ?

?

?? ?? ?? ? ?

??

形状完全一样 只是位置不同

正弦曲 线

?? ?

?? ?? ?

?? x

y ? cos x 余弦曲线:
?
?? ??? ?? ??? ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ?

x?R
??
?
? ?

y
1

-1

? ?

?

?? ?? ?? ? ?

??

余弦曲 线
?? ?

?? ?? ?? x ?

y
1-

y ? sin x

x ?[0, 2? ]

-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有: 最高点: (

?
2
2

最低点: ( 3? ,?1) 与x轴的交点: (0,0) (? ,0) (2? ,0) 在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出函数 的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。

-

,1)

y

y ? cos x
-

x ?[0, 2? ]

1-

-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

在函数 y ? cos x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有: 最高点:(0,1) 最低点:

(? , ?1)
?
2 , 0)
3? ( , 0) 2

与x轴的交点: (

-

(2? ,1)

例题分析
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]的简图。 (1)y=-sin x;
解 (1)列表:

(2)y=1+sin x.
?
2
1
-1

x y=sin x
y=-sin x 描点得y=-sin x的图 象

0 0
0 y 1

?
0
0

3? 2

2?
0
0

-1
1

y=sin x x∈[0,2π]
3? 2

2. π π . . . . 0 x
? 2

-1 y=-sin x x∈[0,2π]

(2) 列表:
x y=sin x 0 0

?
2
1 2

?
0 1

3? 2

2?
0 1

-1 0

1 y=1+sin x 描点得y=1+sin x的图象 y 1

y=1+sin x x∈[0,2π]

2. π π . . . . 0 x
? 2

3? 2

-1

y=sin x x∈[0,2π]

练习1
用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]的简图。 (1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1; (3)y=3sin x.
y y=2+sin x x∈[0,2π] 3 2 1 2. π π . . . . 0 x
? 2
3? 2

y=sin x -1 x∈[0,2π] -1

y=sin 3x x∈[0,2π]

练习
在同一直角坐标系下,用五点法分别作出下列 ? 3? 函数的图象 ? 2 2 ①y=sinx,x∈[-π,π] ② y=cosx,x∈[ , ]

1

??

? ? 2

0 -1

?

y=sinx

y=cosx

单调性: 先看正弦函数图像
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

? ?? ? 递增区间: 2k? ? ,2k? ? ? ? 2 2? ?
? 3? ? ? 递减区间: 2k? ? ,2k? ? ? ? 2 2 ? ?

再来观察余弦函数图像
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

?2k? - ? ,2k? ? 递增区间:

?2k? ,2k? ? ? ? 递减区间:

对称性 由诱导公式sin(-x)=-sinx知道,正弦 函数y=sinx,(x∈R)是奇函数。
y 1
? 4?

? 3?

? 2?

??

o -1

?

2?

3?

4?

x

正弦曲线关于坐标原点O对称。

y=sinx
? 3? ? 2?

y

??
3? 2 ? ? 2

?

2?

3?

x

?

5? 2

?

O ?
2

3? 2

5? 2

? (k ? Z) 对称轴方程为 x ? k? ? 2

正弦函数

y=Asin(ωx+φ)的图形

在同一坐标系下画出y=sinx y=3sinx

y= sinx
3
1
2? - 2?

1 2

-?

-

?
2

-1

? 2

?

3? 2

y=1/2sin x y=sin x y=3sin x

-3

在同一坐标系下画出y=sinx y=sin2x

y= sin( 12 x)
3
1
y=sin
- 2?

1 2

x

-?

-

?
2

-1

? 2

?
y=sin 2x

3? 2

2?

y=sin x

-3

在同一坐标系下画出y=sinx y=sinx(x+ ? )
4

y= sin(x- ? )
4

3
y=
? sin(x+ 4

) y=
7? 4

1
5? 4
- 2?

3? 2

? sin(x-4 2?

)

-?

-

?
2

-1

? 4

? 3? 2 4

?

y=sin x

-3


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