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2012高考总复习《走向清华北大》精品课件5函数的定义域与值域


第五讲

函数的定义域与值域

回归课本 1.函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.

注意:(1)确定函数定义域的原则:
①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数 x的集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴 上投影所覆盖的实数的集合;

③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式 有意义的实数的集合; ④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题

的意义确定.
(2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类: ①如果只给函数解析式(不注明定义域),其定义域应为使解析 式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域; ②如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定

定义域.

(3)复合函数定义域的求法: 若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域 应由不等式a≤g(x)≤b解出.

2.函数的值域 在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值,函 数值的集合叫做函数的值域.

注意:确定函数的值域的原则
①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上 的投影所覆盖的实数y的集合;

③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域 及其对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义

确定.

考点陪练

1 1.(2010?湖北)函数 ? 的定义域为( ) log 0.5 (4 x ? 3) ?3 ? A. ? ,1? ?4 ? C.(1, ??) ?3 ? B. ? , ?? ? ?4 ? ?3 ? D. ? ,1? ? (1, ??) ?4 ?

解析 :由log 0.5 ? 4x ? 3? ? 0且4x ? 3 ? 0得0 ? 4x ? 3 ? 1, 3 ?3 ? ? x ? 1.即函数的定义域是 ? ,1? , 选A. 4 ?4 ?
答案:A

2.(2010? 重庆)函数y ? 16 ? 4 x的值域是( ) A.?0, ?? ? C.?0, 4 ?  B.?0, 4?  D. ? 0, 4 ?

解析 :由已知得0≤16 ? 4x ? 16,0≤ 16 ? 4 x ? 16 ? 4, 即函数y ? 16 ? 4 x的值域是?0, 4 ? , 选C.
答案:C

3.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( A.{-1,0,3} C.{y|-1≤y≤3} 答案:A B.{0,1,2,3} D.{y|0≤y≤3}

)

3x 2 4.函数f ? x ? ? ? lg ? 3x ? 1?的定义域是( ) 1? x ? 1 ? ? 1 ? A. ? ? , ?? ? B. ? ? ,1? ? 3 ? ? 3 ? ? 1 1? C. ? ? , ? ? 3 3?
答案:B

1? ? D. ? ??, ? ? 3? ?

5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值 域是( A.[-2,2] C.[0,4] ) B.[-4,0] D.[-1,1]

答案:A

类型一

函数的定义域

解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各 部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组, 然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,

最后定义域必须写成集合或区间的形式.

(2)确定函数的定义域 ①当f(x)是整式时,其定义域为R. ②当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合.

③当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或
等于0的实数的集合. ④对于x0,x不能为0,因为00无意义.

⑤f(x)=tanx的定义域为

? ? ? ? x | x ? R, 且x ? ? k? , k ? Z ? . 2 ? ?
⑥f(x)=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}. ⑦由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要 具体问题具体分析.

⑧分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集.

⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非 0<2x+1<1;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义 域时,应由0<2x+1<1得出x的范围即为所求.

【典例1】求函数f ? x ? ?

lg ( x 2 ? 2 x) 9 ? x2

的定义域.

[分析] 只需要使解析式有意义,列不等式组求解.
2 ? x ? ? 2 x ? 0, [解]要使函数有意义, 则只需要 : ? 2 9 ? x ? 0, ? ? ? x ? 2或x ? 0. 即? ??3 ? x ? 3,

解得 ? 3 ? x ? 0或2 ? x ? 3.故函数的定义域是

? ?3, 0 ? ? ? 2,3? .

类型二

复合函数的定义域

解题准备:已知f[g(x)]的定义域为x∈(a,b),求f(x)的定义域,其 方法是:利用a<x<b,求得g(x)的范围,此即为f(x)的定义域. 已知f(x)的定义域为x∈(a,b),求f[g(x)]的定义域,其方法是:利

用a<g(x)<b,求得x的范围,此即为f[g(x)]的定义域.
定义域经常作为基本条件出现在试题中,具有一定的隐蔽性. 所以在解决函数问题时,必须按照“定义域优先”的原则, 通过分析定义域来帮助解决问题.

【典例2】 (1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定 义域:①f(x2);② f ( x ?1). (2)已知函数f[lg(x+1)]的定义域是[0,9],则函数f(2x)的定义域 为________.

[分析] 根据复合函数定义域的含义求解. [解析] (1)∵f(x)的定义域是[0,1], ∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1, 解得-1≤x≤1. ∴f(x2)的定义域为[-1,1].

②由0≤ x ? 1≤1得1≤ x≤2.?1≤x≤4(x≥0时, x才有意义) ?函数f ( x ? 1)的定义域为?1, 4? ? 2 ? ?f ? ?lg ? x ? 1? ? ? 的定义域为?0,9? , ? 0≤x≤9,1≤x ? 1≤10,? 0≤lg ? x ? 1? ≤1 ? f ? x ?的定义域为? 0,1?.由0≤2 x ≤1, 解得x≤0. ? f ? 2 x ?的定义域为? ??, 0? .

[答案] [1,4] (-∞,0]

类型三

求函数的值域

解题准备:求函数值域的总原则:由定义域?对应法则f在等价 条件下,巧妙地转化为与y有关的不等式.求值域问题技巧性 强,要根据题目特点确定合理的方法,因与函数的最值密切

相关,常可转化为求函数的最值问题.

【典例3】 (1) y ? x ? 1 ? 2 x ; 4 (2) y ? x ? ; x sinx (3) y ? ; 2 ? cosx (4) y ? x ? 1 ? x 2 .求下列函数的值域 :

[分析] 本题主要考查函数值域问题,考查运算能力?数形转 化的思想,对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题; 对于(2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解;对于 (3),由函数的有界性或由几何法求解;对于(4),用求导数法 求解.

1? t2 [解] ?1? 解法一 : 设 1 ? 2 x ? t(t≥0), 得x ? , 2 1? t2 1 1 ?y ? ? t ? ? (t ? 1)2 ? 1≤ (t≥0), 2 2 2 1? ? ? y ? ? ?? ? . 2? ?

1 解法二 : ?1 ? 2x≥0,? x≤ , 2 1? 1? ? ? ? 定义域为? ??, ? .?函数y ? x, y ? ? 1 ? 2 x在 ? ??, ? 2? 2? ? ? 上均单调递增, 1 1 1 1? ? ? y≤ ? 1 ? 2 ? ? ,? y ? ? ??, ? . 2 2 2 2? ?

4 4 ? 2 ? 解法一 : 当x ? 0时, y ? x ? ≥2 x? ? 4, x x 4 ? 4 ? 当且仅当x ? 2时, 取等号;当x ? 0时, y ? ? ?(? x) ? ? ≤ ? 2 (? x)? ?x ? ?x ? ? ?4,当且仅当x ? ?2时, 取等号. 综上, 所求函数的值域为? ??, ?4? ? ? 4, ?? ? .

解法二 : 先证此函数的单调性任取x1 , x 2 , 且x1 ? x 2 , 4 ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 ? x1 ? 4 ? ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 4) ? ? x2 ? ? ? x2 ? x1 x2 ? ?当x1 ? x 2 ? ?2或2 ? x1 ? x 2时, f ? x ? 递增, 当 ? 2 ? x ? 0或0 ? x ? 2时, f ? x ? 递减.故x ? ?2时, f ? x ?极大 ? f ? ?2 ? ? ?4, x ? 2时, f ? x ?极小 ? f ? 2 ? ? 4, ? 所求函数的值域为 ? ??, ?4? ? ? 4, ?? ? .

? 3? 解法一 : 利用函数的有界性将原函数化为sinx ? ycosx ? 2y,
1 ? y (sinx ?
2

1 1? y
2 2

?

y 1? y
2

cosx) ? 2 y, 令cos? ?

1 1? y2

且sin? ?

y 1? y

, 2y ,| 2y 1? y
2

? sin(x ? ? ) ? 平方得3y 2 ≤1,

1? y

2

≤1,

? 3 3? 3 3 ?? ≤y≤ ,? 原函数的值域为 ? ? , ?. 3 3 ? 3 3 ?

解法二 : 数形结合法或图象法. sinx 0 ? (? sinx) 原函数式可化为y ? ? 2 ? cosx 2 ? cosx 此式可以看作点 ? 2, 0 ? 和 ? cosx, ?sinx ? 连线的斜率, 而点 ? cosx, ?sinx ?的轨迹方程为x 2 ? y 2 ? 1, 如图所示, 在坐标系中作出圆x 2 ? y 2 ? 1和点 ? 2, 0 ? . 由图可看出,当过 ? 2, 0 ?的直线与圆相切时, 斜率分别 取得最大值和最小值,由直线与圆的位置关系知识, 可设直线方程为y ? k ? x ? 2 ? , 即kx ? y ? 2k ? 0,

?

| ?2k | 1? k 2

? 1, 解得k ? ?

3 , 3

? 3 3? ? 斜率的范围是 ? ? , ?, ? 3 3 ? ? 3 3? sinx 即函数y ? 的值域为 ? ? , ?. 2 ? cosx ? 3 3 ?

? 4 ?函数的定义域为? ?1,1?.当x ? ? ?1,1?时,
f ??x? ? 1? x 1? x
2

?
2

1 ? x2 ? x 1? x
2

.

2 令f ? ? x ? ? 0, 得 1 ? x ? x ? 0, 得x ? , 2 ? 2? ?f? ? 2 ? ? ? 2, ? ? 又f ? ?1? ? ?1, f ?1? ? 1, ? f ? x ?max ? 2? ? f? ? 2 ? ? ? 2, f ( x) min ? f (?1) ? ?1. ? ?

? 值域为[?1, 2 ].

[反思感悟] 第(1)小题利用换元法易忽视t≥0的条件,第(2)小 题利用基本不等式时易漏掉对x<0的讨论.

类型四

定义域与值域的综合应用

解题准备:函数的定义域?值域问题主要转化为方程或不等式 解决,可求解相关参数或其它综合应用.

【典例4】 (2009·广东六校联考)已知函数

f (x) ? ax 2 ? bx . 若至少存在一个正实数b,使得函
数f(x)的定义域与值域相同,求实数a的值. [分析] 函数f(x)的定义域因a的取值不同而不同,因此应对a

进行讨论.

[解]①若a ? 0, 则对于每个正数b, f ? x ? ? bx 的定义域和值域都是 ? 0, ?? ? , 故a ? 0满足条件; ②若a ? 0, 则对于正数b, f ? x ? ? ax 2 ? bx的定义域为 b? ? D ? {x | ax ? bx ? 0} ? ? ??, ? ? ? [0, ??), a? ? 但f ? x ?的值域A ? ? 0, ?? ? , 故D ? A,即a ? 0不符合条件;
2

③若a ? 0, 则对于正数b, f ? x ? ? ax 2 ? bx的定义域 b? b ? ? b ? D ? ?0, ? ? ,由于此时f ? x ?max ? f ? ? ? ? , a? ? ? 2a ? 2 ? a b ? ? 故f ? x ?的值域为 ?0, ?, ? 2 ?a ? ? b b ?a ? 0, 则? ? ?? ? a ? ?4. a 2 ?a ? ?2 ?a ? ? a. 综上所述 : a的值为0或 ? 4.

[反思感悟] 对于函数g(x)=ax2+bx,由于a的取值不同,将影响 到其值域,所以在研究其定义域?值域时,应对a进行讨论,对 每一种情况分别进行讨论,求解.

错源一

求函数值域不考虑定义域

x2 ?1 【典例1】求函数f ? x ? ? 的值域. x ?1

x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) [错解]因为f ? x ? ? ? ? x ? 1, x ?1 x ?1 所以函数的值域为R.

[剖析] 错解在求解时没有考虑函数的定义域且化简过程不 等价,所以出现错误.

[正解]函数的定义域为{x | x ? R, 且x ? ?1}, x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) f ( x) ? ? ? x ? 1, x ?1 x ?1 因为x ? ?1, 所以f ? x ? ? ?2. 故函数的值域为{y | y ? R且y ? ?2}.

[评析] 处理函数问题时,必须树立定义域优先考虑的意识.

错源二

“定义域”?“有意义”?“恒成立”混矣!

【典例2】已知函数y ? 1 ? 2 x ? a?4 x的定义域为? ??,1? , 求实数a的取值范围. [错解]依题意 不等式 , ? x1? 2? x≥ a4 在 ? ?? 0 ,1 ? 上恒成立 . ?? 1 ? ? 1 ? ? ?? 1 ? ? 1 ? ? 即a≥ ? ?? ? x ? ? ? x ? 而g ? x ? ? ?, ?? ? x ? ? ? x ? ?? 2 ? ? 4 ? ? ?? 2 ? ? 4 ? ? 3 在 ? ??,1? 上单调递增, 所以g ? x ? 最大值为 ? , 4 3 故a的取值范围是a≥ ? . 4

[剖析] 本题的错误在于将函数f(x)的定义域为(-∞,1]同函数 f(x)在(-∞,1]上有意义混淆了.事实上,f(x)的定义域为(-∞,1], 说明f(x)在(-∞,1]上且只在(-∞,1]上有意义.

[正解]依题意,1 ? 2 x ? a ?4 x ≥0的解集恰为? ??,1?. ?? 1 ? ? ?1? 即 ?? ? x ? 2 ? ? ? x ? a≥0的解集是 ? ??,1?. ?2? ?? 2 ? ? ?1 ? 1 ? 4a ?1? 由于 ? ? x≤ (不合题意, 舍去), 2 ?2? ?1 ? 1 ? 4a ?1? 或 ? ? x≥ , 2 ?2? ?1 ? 1 ? 4a ? x≤log 1 , 2 2 因此有log 1
2

?1 ? 1 ? 4a 3 ? 1, 解得a ? ? . 2 4

3 即实数a的取值范围是a ? ? . 4

技法 求函数值域的方法

一?换元法 【典例1】求函数y ? x ? 1 ? 2 x的值域. t2 1 [解]令t ? 1 ? 2 x (t≥0), 则x ? ? ? , 2 2 t2 1 1 2 所以y ? ? ? ? t ? ? ? t ? 1? ? 1? t≥0 ? , 2 2 2 所以y ? ? ??,1?.(也可画图象得出)

[方法与技巧] 对于一些无理函数通过换元把它化成有理函 数,然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函 数的值域求出来.

二?配方法 【典例2】 求二次函数y=x2-5x+6(-3≤x≤2)的值域.

[解]因为y ? x 2 ? 5x ? 6, 且 ? 3≤x≤2, 5? 1 ? 所以y ? ? x ? ? ? .因为 ? 3≤x≤2是 2? 4 ? 函数减区间的一部分, 所以y max
2 2

5? 1 ? ? ? ?3 ? ? ? ? 30, 2? 4 ?

2

5? 1 ? y min ? ? 2 ? ? ? ? 0, 2? 4 ? 所以函数的值域是 ? 0,30?.(若不限定定义域, 值域为 ? 1 ? ? , ? ? ?). ? ? 4 ?

[方法与技巧] 对于含有二次三项式的有关题型,常常根据求 解问题的要求,用配方法来解决.

三?图象法(数形结合法)

4 2 【典例3】求y ? ? x ? 4 ? x ? ? ?2, 3??的值域. 3

4 [解]画出y ? ? x 2 ? 4在区间? ?2,3? 上的图象(如图所示), 3 据图分析易知 : 当x ? 0时, y max ? 4,当x ? 3时, y min ? ?8,

所以函数的值域为? ?8, 4?.

[方法与技巧] y=ax2+bx+c(a≠0)中,若对x有限制,如限制x在 区间[m,n]上时,也可结合图形去考虑,此时函数的图象是抛 物线的一部分.

四?分离常数法 a ? bx 【典例4】求定义域在区间? ?1,1? 上的函数y ? a ? bx ? a ? b ? 0 ?的值域.

a ? bx 2a ? a ? bx 2a [解]因为y ? ? ? ?1 ? , a ? bx a ? bx a ? bx 2a 2a a ?b 由 ? 1≤x≤0可得 ≤ ≤2, 从而 ≤y≤1; a ? b a ? bx a?b 2a 2a 由0≤x≤1可得2≤ ≤ , a ? bx a ? b a?b a ?b a?b 从而1≤y≤ .所以 ≤y≤ . a ?b a?b a ?b ?a ?b a ?b? 所以函数的值域为 ? , . ? ?a ?b a ?b?

ax ? b [方法与技巧]形如y ? 的分子分母均为一次式 cx ? d ax ? b 分式函数, 一般要采用分离常数法,因为使函数y ? cx ? d 中的自变量相对集中到分子或分母时, 便于用熟悉的函 数求值域.

五?判别式法 2x ? x ? 2 【典例5】求函数y ? 2 的值域. x ? x ?1
2

[解] 因为x2+x+1>0恒成立, 所以函数的定义域为R.由原式得 (y-2)x2+(y+1)x+y-2=0,

①当y-2=0,即y=2时,
方程为3x=0,所以x=0∈R;

②当y-2≠0,即y≠2时,因为x∈R, 所以方程(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0恒有实根, Δ=(y+1)2-4×(y-2)×(y-2)≥0,

即3y2-18y+15≤0,解得1≤y≤5.
所以函数的值域为[1,5].

dx ? ex ? f [方法与技巧]形如y ? 2 的分子?分母之 ax ? bx ? c 一或二者均是二次式时, 一般常将函数转化为一个
2

关于x的方程, 先讨论二次项系数, 再考虑用判别式 法求出y的范围.


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