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2-2.1.10导数及应用复习小结--高二理科上学期学案


高二数学学案

高二数学组

[导数的概念,导数与单调性的关系,导数与极值、最值的关系]
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分, 共 50 分)
1.设函数 f(x)在 x0 处可导,则 lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 等于 ?x
C. -





A.

f ' ( x0 )

B.

f ' ( ? x0 )

f ' ( x0 )

D.-

f ' ( ? x0 )

2.若函数 f(x)的导数为 f′(x)=-sinx,则函数图像在点(4,f(4) )处的切 线的倾斜角为( A.90°
3

) C.锐角 D.钝角

B.0°

3.函数 y=x -3x 在[-1,2]上的最小值为 (

) A、2 B、-2 C、0 D、-4 2 4.设函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? x ? ? x ? 2 x ? f ? ?1? ,则 f ? ? 0 ? 等于 ( ) A、 0 B、 ?4 C、 ?2 D、 2 3 2 5.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( ) A、-1<a<2 B、-3<a<6 C、a<-1 或 a>2 D、a<-3 或 a>6 6、设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2 ? k 2 +1 在区间(0,4)上是减函数,则 k 的取值范围 是 ( ) A、 k ?

1 3

B、 0 ? k ?

1 3

C、 0 ? k ?

1 3

D、 k ?

1 3

7、设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下图所示,则导函数 y=f ?(x) 可能为 ( )
y x y x y x y x y x

O A

O B

O C

O D

O

8、对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,且 f ' (1) ? 0 若满足(x-1) f ?(x) >0,则必有 ( ) A、f(0)+f(2)?2f(1) B、f(0)+f(2)?2f(1) C、f(0)+f(2)>2f(1) D、f(0)+f(2)?2f(1) 9、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有

f ( x) ≥ 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f ?(0)
B.

)

5 2

C. 2

D.

3 2

10、f( x )是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g( x )=af( x )+b, 则下 列关于函数 g( x )的叙述正确的是( )

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A.若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称. B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g( x )=0 有大于 2 的实根. C.若 a≠0,b=2,则方程 g( x )=0 有两个实根. D.若 a≥1,b<2,则方程 g( x )=0 有三个实根. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.求 f ? x ? ? sin 3

1 的导数 x


12.曲线 S:y=3x-x3 的过点 A(2,-2)的切线的方程是

13. 设 P 为曲线 C: y ? x 2 ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围 为 ?0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为

? ?? ? 4?

. 处的切

14.设函数 f ( x) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在 线的斜率为 15. 已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,P 是抛物线的弧 上求一点 P,当△PAB 面积最大时,P 点坐标为

三、解答题(共 6 小题, ,共 75 分)

16、 (本题满分 12 分)对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,定义: 设 f ??( x) 是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的导数,若 f ??( x) ? 0 有实数解 。现已知 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 x ? 2 , x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”
请解答下列问题: (1)求函数 f ( x ) 的“拐点”A 的坐标; (2)求证 f ( x ) 的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关 “拐点”的一个结论(此结论不要求证明).

17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 是 (0,??) 上的可导函数, 若 xf ?( x) ? f ( x) 在 x ? 0 时恒成立. (1)求证:函数 g ( x) ?

f ( x) 在 (0,??) 上是增函数; x

(2)求证:当 x1 ? 0, x2 ? 0 时,有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

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18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

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20. (本题满分 13 分)已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处取得极值.
3 2

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (Ⅲ)若过点 A(1,m) (m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.

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21. (本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x , 其中 e 是自然常数, x

a ? R.
(Ⅰ)讨论 a ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理 由.

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参考答案:

3 2 (2)设 P( x0 , y0 ) 是 y ? f ( x) 图象上任意一点,则 y0 ? x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 2 ,因为 P( x0 , y0 )

关于 A(1, ?2) 的对称点为 P?(2 ? x0 , ?4 ? y0 ) ,把 P? 代入 y ? f ( x) 得
3 2 左边 ? ?4 ? y0 ? ? x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 2 , 3 2 右边 ? (2 ? x0 )3 ? 3(2 ? x0 )2 ? 2(2 ? x0 ) ? 2 ? ? x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 2

? 右边=右边? P?(2 ? x0 , ?4 ? y0 ) 在 y ? f ( x) 图象上? y ? f ( x) 关于 A 对称
猜想:所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。

f ( x) xf ?( x) ? f ( x) , 因为 xf ?( x) ? f ( x) , 得 g ?( x) ? x x2 f ( x) 所以 g ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,所以函数 g ( x) ? 在 (0,??) 上是增函数. x f ( x) (2)由(1)知函数 g ( x) ? 在 (0,??) 上是增函数,所以当 x1 ? 0, x2 ? 0 时, x
17. 17. (1)由 g ( x) ? 有

f ( x1 ? x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) ? , ? 成立, x1 ? x2 x1 x1 ? x2 x2 x1 x2 f ( x1 ? x2 ), f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x1 ? x2

从而 f ( x1 ) ?

两式相加得 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

18. 解析: f ( x) 的定义域为(0,+?), ????1 分 ??????3 分 f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e 1 1 ? ? ? ? 从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ??????5 分 ? e? ?e ?

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1 1 时, f ( x ) 取得最小值 ? . ?????????? 6 分 e e (Ⅱ)解法一:令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ?1) ,则 ????????8 分 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? 1 ? a ? ln x , ① 若 a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 , 故 g ( x) 在 (1 ,+?) 上为增函数, 所以, x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 f ( x) ? ax ? 1 .???????? 10 分 ② 若 a ? 1 ,方程 g ?( x) ? 0 的根为 x0 ? ea?1 ,
所以,当 x ? 此时,若 x ? (1 ,x0 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以 x ? (1 ,x0 ) 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 , 即 f ( x) ? ax ? 1 ,与题设 f ( x) ? ax ? 1 相矛盾. ????????13 分 综上,满足条件的 a 的取值范围是 (??, 1] . ??????????????14 分 解法二:依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1, ? ?) 上恒成立,

1 对于 x ?[1 ????????8 分 , ? ?) 恒成立 . x 1 1 1 1 1 ? ? 令 g ( x) ? ln x ? , 则 g ?( x )? ? 2 ? ? 1 ? ? . ????????10 分 x x x x? x? 1? 1? 当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ? ?1 ? ? ? 0 , x? x? 故 g ( x) 是 (1 , ? ?) 上的增函数, 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , ?????? 13
即不等式 a ? ln x ? 分 所以 a 的取值范围是 (??, 1] . ????????????????14 分

19、解:设正六棱锥的高为 x m,则正六棱锥底面边长为 32 ? x2 (单位:m) 。 ??????2 分 于是底面正六边形的面积为(单位:m2) : S ? 6? 帐篷的体积为(单位:m3) :

3 3 3 ? ( 9 ? x 2 )2 ? (9 ? x 2 ) 。 4 2
??????4 分

V ( x) ?

3 3 3 3 ?1 ? (9 ? x2 ) ? x ? 1? ? (9 ? x 2 )(3 ? x) ? (? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? 27) (1 ? x ? 3) 2 3 2 2 ? ? ??????8 分

求导数,得 V ?( x) ? ?

令 V ?( x) ? 0 解得 x=-3(不合题意,舍去),x=1。 ??????10 分 当 0<x<1 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为增函数;当 1<x<3 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为减函数。 所以当 x=1 时,V(x)最大。即当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大。 ????12 分 w.ks5u.com 2 20. 解: (I)f′(x)=3ax +2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,
即?

3 3 2 ( x ? 2 x ? 3) ; 2

?3a ? 2b ? 3 ? 0 , ?3a ? 2b ? 3 ? 0

解得 a=1,b=0.

∴f(x)=x -3x.

3

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(III)f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x -3x,∴点 A(1,m)不在曲线上.
3 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 .
3

2

3 x0 ? 3x0 ? m 因 f ?( x0 ) ? 3( x ? 1) ,故切线的斜率为 3( x ? 1) ? , x0 ? 1
2 0

2 0

3 2 整理得 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0 .∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线, 3 2 ∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根.????????10 分 3 2 2 设 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 ,则 g′(x0)=6 x0 ? 6 x0 ,

由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0) , (1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
3 2 ∴函数 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 的极值点为 x0=0,x0=1??????12 分 3 2 ∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根的充要条件是

? g (0) ? 0 ,解得-3<m<-2.故所求的实数 a 的取值范围是-3<m<-2. ? ? g (1) ? 0
21.解: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x

??1 分

∴当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 当 1 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ??3 分 ??4 分

(Ⅱ)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) ? 0 , f ( x)min ? 1 ??5 分

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令 h( x ) ? g ( x ) ?

1 ln x 1 1 ? ln x ? ? , h ?( x) ? , ??6 分 2 x 2 x

当 0 ? x ? e 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ??7 分 ∴ h( x) max ? h(e) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min e 2 2 2

∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

1 2

??9 分

(Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3,

f / ( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

??9 分

① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 所以,此时 f ( x) 无最小值. ②当 0 ? ??10 分

4 (舍去) , e

1 1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ??11 分 a
③ 当

1 4 ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,a ? (舍去) , a e

2 所以,此时 f ( x) 无最小值.综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3.


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