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www.8646.com:必修四1.2任意角的三角函数第一课时[PPT课件白板课件]人教版高中数学_图文

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人教版2017高中数学 —PPT课件—
2

复习回顾

1.2.1任意角的三角函数
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的?

P c

sin? ?

a
?
Ob M

cos? ?

tan? ?
2 、在上节课中是如何定义象限角和轴线角的?

3 、我们以什么为工具来研究象限角和轴线角的?

新课 导入
4.在直角坐标系中如何表示锐角?
P
a
Ob M y
x

新课 导入
5.在直角坐标系中如何用锐角终边上点的坐标表示锐角 三角函数?

y

﹒P?a, b ?

o


Mx

合作 探究

6.如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?为什么?

y
P?
﹒ P(a,b)

O

M M?

?OMP ∽ ?OM ?P?

sin ? ? MP
OP

? M ?P? OP?

cos? ? OM ? OM ?

x

OP OP?

tan? ? MP ? M ?P?
OM OM ?

7.锐角三角函数(在单位圆中)
若OP ? r ?1,则

y
1 oM

sin? ? MP ? b
OP
x cos? ? OM ? a
OP

tan? ? MP ? b OM a

以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆.

8.任意角的三角函数定义

设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y)

? 那么:(1)y 叫做 的正弦,记作 sin ?,即



? x (2) 叫做 的余弦,记作 cos?,即



? y
(3) 叫做

的正切,记作tan? ,即

x

我们将它们统称为三角函数


任意角的三角函数的定义过程:
直角三角形中定义锐角三角函数 直角坐标系中定义锐角三角函数
单位圆中定义锐角三角函数 单位圆中定义任意角的三角函数

说明
(1)sin?,cos?, tan?分别叫做角?的正弦函数、余弦函数、
正切函数.以上三种函数都称为三角函数;
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的 坐标或坐标的比值为函数值的函数, 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是以实数为自变量,以实数为函数值的函数.
使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.

三角函数

定义域
R R

实例 剖析

例1 求 的正弦、余弦和正切值.

解:在直角坐标系中,作 ?AOB ? 5? ,易知 ?AOB

3
的终边与单位圆的交点坐标为

(1 , ? 3)

22



所以

y



思考:若把角 改为 呢?

o ﹒x


几个特殊角的三角函数值

角α 0o

角α

的弧 度数

0

sinα 0

cosα 1

tanα 0

30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? ? ? ? ?
6 4 32

3? 2?
2

0 1 ?1 1

2

3

2

2

2

0

0 3

2

1

2

2

2

?1 0 1

31
3

3 不存在 0 不存在 0

例2 已知角 的终边经过点 弦和正切值 .

,求角 的正弦、余

解:由已知可得 OP0 ? (?3)2 ? (?4)2 ? 5

y

设角 ? 的终边与单位圆交于 P(x, y) ,

分别过点 P 、P0 作 x 轴的垂线 MP、M 0P0

M0 M O

x

M0P0 ? 4

OM ? ?x

P?x, y?

OM0 ? 3

MP ? ?y

?OMP ∽ ?OM 0P0

P0?? 3,?4?

于是, sin? ? y ? y ? ? | MP | ? ? M0P0 ? ? 4 ;

1 OP

OP0

5

cos? ? x ? x ? ? OM ? ? OM0 ? ? 3 ;

1 OP

OP0

5

tan? ? y ? sin ? ? 4 x cos? 3

定义推广:

设角? 是一个任意角,P(x, y) 是终边上的任意一点,
点 P 与原点的距离 r ? x2 ? y2 ? 0

那么① ②

y 叫做? 的正弦,即

r

x r

叫做?

的余弦,即



y x

叫做 ?

的正弦,即

任意角 的三角函数值仅与 有关,而与点 在角的 终边上的位置无关.

巩固 提高

练习 1、已知角 的终边过点



求 的三个三角函数值.

解:由已知可得:

于是,

2、已知角?的终边上一点P??15a,8a??a?R且a ? 0?,

求角?的sin?, cos?, tan?的值.

解:由于x ? -15a, y ? 8a,
所以r ? ??15a?2 ? ?8a?2 ? 17 a ?a ? 0?

?1?若a ? 0则r ?17a,于是

sin? ? 8a ? 8 , cos? ? ?15a ? ? 15 , tan? ? 8a ? ? 8

17a 17

17a 17

?15a 15

?2?若a ? 0则r ? -17a,于是

sin? ? 8a ? ? 8 , cos? ? ?15a ? 15 , tan? ? 8a ? ? 8

?17a 17

?17a 17

?15a 15

变式1:已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a>0),求角α 的正弦、余弦、正切值.

变式2:

已知角?的终边在直线y ? 2x上,求角?的sin?,cos?, tan?的值.
解:?1?当角?的终边在第一象限时,
在角?的终边上取点?1, 2?,则r= 12 ? 22 ? 5

sin? ? 2 ? 2 5 ,cos? ? 1 ? 5 , tan? ? 2 ? 2

55

55

1

?2?当角?的终边在第三象限时,

在角?的终边上取点??1, ?2?,则r ? ??1?2 ? ??2?2 ? 5

sin? ? ?2 ? ? 2 5 ,cos? ? ?1 ? ? 5 , tan? ? ?2 ? 2

55

55

?1

sin ?、c os?、tan ?在各象限的符号问题?

y

y

y

y

ox o

x

o

x

(1)sinα ? y r
(2)cosα ? x r
(3)tanα ? y x

ox

y

y

y

oxoxox

sin? cos ? tan?

一、三角函数值的符号:

sin?
y

cos ?
y

ox

ox

tan?
y
ox

y
全为+
ox

规律:
一全正
三正切

二正弦 四余弦

例1:确定下列三角函数值的符号:

(1)cos 7 ? ; (2)sin(?465 ); (3)tan 11 ?

12

3

解:(1) 7 ?是第二象限的角,?cos 7 ? ? 0.

12

12

(2) -465 =-2? 360 +255 ,即-465 是第三象限的角, ?sin(?465 ) ? 0.

(3) 11? ? 2? ? 5 ? ,即11? 是第四象限的角,

3

3

3

?tan 11? ? 0.
3

例题

练习:确定下列三角函数值的符号:

?1?

cos

2500

????????????????????

2?

sin

? ??

?

?
4

? ??

?3? tan ??6720 ??????+????????

口答 设α是三角形的一个内角,在sinα,

cosα,tanαtan(α/2)那些可能取负值?

0?? ??, 0?? ?? ,
22

sin?

?

?
0, tan

?

0

? ?? ??

2 cos? ? 0, tan? ? 0

2

例题

例2、求证:当不等式组

?sin ? ??tan?

? ?

0 成立时, 0

角?为第三象限角。反之也对。

证明:如果①②式都成立,那么θ 为第三象限 角. 若sinθ <0,那么θ 角的终边可能位于第三或 第四象限,也可能位于y轴的非正半轴上 又若tanθ >0,那么θ 角的终边可能位于第一 或第三象限. 因为①②式都成立,所以θ 角的终边只能位 于第三象限.于是θ 为第三象限角

归纳 总结
1. 内容总结: ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域
?三角函数在各个象限内的符号。
2 .解题方法总结:
运用了定义法、数形结合法、分类讨论法解题.
3 .体现的数学思想: 划归的思想(例2),数形结合的思想 、分类讨论 的思想

敬请批评指正
—2017年—
28

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