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2.组合数的两个性质


复习提问

? 排列的定义 ? 组合的定义 ? 二者的区别 ? 排列数、组合数的公式 (乘积的形式和阶乘的形 式)

10! 10 ? 9 ? 8 (1)C ? ? ? 120 7!3! 3! 10 ? 9 ? 8 3 (2)C10 ? ? 120 3! m n?m 7 3
7 10

某班级一个小组有10名同学,参加班级 组织的一次大扫除活动(这一组负责公 共区和教室) (1)从中选7人打扫公共区有多少种选法 (2)从中选3人打扫教室多少种选法

C10 ? C10

Cn ? Cn

组合数的性质 性质1 规定:

C =C

m n

n -m n

C= 1
197 200 n ?4 18
2

0 n

例:(1)求C
5n 18

(2)已知C ? C
n=1,2,4

,求n

10 ? 9 ? 8 (1)C ? ? 120 3 !
3 10
2 9

例2: 某班级一个小组有包括1名组长在内的10名同学 (1)从中选3人共有多少种选法 (2)从中选3人,组长必须在内,共有多少种选法 (3)从中选3人,组长不包括在内,共有多少种选法

(2)C
3 9

9?8 ? ? 36 2 !

C ? C ?C
3 10 2 9

3 9

m m ?1 m 9?8? 7 (3)C ? ? 84 Cn ?1 ? Cn ? Cn 3 !

组合数的性质 性质2

C

注: 1? 公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之 和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数. 2? 此性质的作用:恒等变形,简化运算.
5 6 7 例:(1)C8 +2C8 +C8 51 52 51 C100 ? C99 ? C99 (2) 49 C101
=120

m ?1 n

?C ? C
m n

m n ?1

=1

组合数的两个性质:
性质1

C ?C
m n

n?m n

性质2

C

m ?1 n

?C ? C
m n

m n ?1

? 性质1体现的是:“取法”与“剩法” 一一对应的思想 ? 性质2体现的是“含与不含其它元素” 的分类讨论的思想.

? 这两种思想是解决复杂排列与组合的 常用思想.

性质应用
1、计算

C +C
98 100 2x 25

97 100 x+4 25 2 6 9 13

2、解方程 3、计算 C
0 4

C =C
1 5

+C +C + ? ? ? +C

14 4 t 练习 1 :已知Ct ? Ct , 求C20

?14 ? 4,?必有: ? 4 ? t ,即t ? 18, 14 20 ?19 18 2 ? C20 ? C20 ? ? 190 1? 2

2:已知C
显然x=6,

x x?2

?C

5 x ?1

?C ,
6 x ?1

求C
11 12 10 12 11 13

x ?5 2x

?C
2 13

x?4 2x

13 ?12 C ?C ? C ? C ? ? 78. 1? 2

练习
1、
17-n 3n C2n +C13+n

=______________ 成等差数列,则

2、已知

4 5 6 Cn ,Cn,Cn

12 ________ Cn =

m 4、若An

m ? 60, Cn

? 10, 则m=

,n=

7 7 5、若Cn ?1 ? Cn
0 6、C4 1 ? C5

8 ? Cn , 则n=
96 ? ..... ? C100

2 ? C6

?

思考题:
(6)100件产品,有10件是次品,从这100件产品中任意 抽出3件 1)一共有多少种不同的抽法? 2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种? 3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?


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