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18学年高中数学第2章统计2.4线性回归方程教学案苏教版必修3

2.4 线性回归方程 预习课本 P74~75,思考并完成以下问题 1.变量间有哪些常见关系? 2.什么叫散点图?怎样作出散点图? 3.什么叫线性回归方程? [新知初探] 1.变量间的常见关系 (1)函数关系:变量之间的关系可以用函数表示,是一种确定性关系. (2)相关关系:变量之间有一定的联系,但不能完全用函数来表达. [点睛] 函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系,如试验 田的施肥量 x 与水稻的产量 y.当自变量 x 每取一确定值时,因变量 y 的取值带有一定的随 机性,即还受其他环境因素的影响. 2.散点图 (1)概念:将样本中 n 个数据点(xi,yi)(i=1,2,?,n)描在平面直角坐标系中,用来 表示两个变量的一组数据的图形叫做散点图. (2)作法:建立平面直角坐标系,用横坐标表示一个变量,用纵坐标表示另一个变量, 将给出的数据所表示的点在坐标系内描出,即可得到散点图. [点睛] 对于散点图要注意以下几点. ①若所有的样本点都落在某一函数曲线上,则变量间具有函数关系. ②若所有的样本点都落在某一函数曲线附近,则变量间就具有相关关系. ③若散点图中的点的分布没有什么规律, 则这两变量之间不具有相关关系, 它们之间是 相互独立的. 1 3.线性相关关系 ^ 能用直线y=bx+a 近似表示的相关关系叫线性相关关系. 4.线性回归方程 (1)概念:设有 n 对观察数据如下: x y x1 y1 x2 y2 x3 y3 ? ? xn yn 当 a,b 使 Q=(y1-bx1-a) +(y2-bx2-a) +?+(yn-bxn-a) 取得最小值时,就称方 ^ 程y=bx+a 为拟合这 n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. (2)用回归直线进行数据拟合的一般步骤 ①作出散点图,判断散点是否在一条直线附近. ②如果散点在一条直线附近,用公式 2 2 2 ? ?x y -n x ?b= ? ?x -nx ? ?a= y -b x n i i i=1 n 2 y = ? i=1 n ?xi- x ??yi- y ? , n - 2 i ? i=1 ?xi- x ? 2 i=1 求出 a,b,并写出线性回归方程. [小试身手] 1.下列各组变量是相关关系的是________. (1)电压 U 与电流 I; (2)圆面积 S 与半径 R; (3)粮食产量与施肥量; (4)广告费支出与商品销售额. 解析:(1)(2)中两个变量间是函数关系,(3)(5)中两个变量之间有关系,但不能用函数 表达,是相关关系. 答案:(3)(4) 2.5 名学生的化学和生物成绩如下表所示: 学生 A 化学成绩(分) 80 学生 B 75 学生 C 70 学生 D 65 学生 E 60 2 生物成绩(分) 70 65 68 64 62 判断化学和生物成绩之间是否具有相关关系________(填“具有”“不具有”). 答案:具有 相关关系的概念 [典例] 在下列各个量与量的关系中: ①正方体的表面积与棱长之间的关系; ②某同学的数学成绩和物理成绩之间的关系; ③家庭的收入与支出之间的关系; ④某户家庭用电量与水费之间的关系. 其中是相关关系的为________________. [解析] ①正方体的表面积与棱长之间的关系是确定的函数关系; ④某户家庭用电量与 水费之间无任何关系.②③中,都是非确定的关系,但自变量取值一定时,因变量的取值带 有一定的随机性. [答案] ②③ 判断两个变量是否具有相关关系,主要有两种方法:一是根据相关关系的定义进行判 断,看这两个变量是否具有不确定性.二是利用散点图,看散点图中的点是否都落在某一 函数曲线附近. [活学活用] 关于人体的脂肪含量(百分比)与年龄关系的研究中,得到如下一组数据: 年龄 脂肪 23 9.5 27 17.8 39 21.2 41 25.9 45 27.5 49 26.3 50 28.2 53 29.6 (1)将上表中的数据制成散点图; (2)你能从散点图中发现年龄与脂肪含量近似成什么关系吗? (3)若成线性相关关系,请你画一条直线近似地表示这种线性关系. 解:(1)以年龄作为 x 轴,脂肪含量为 y 轴,可得相应散点图,如图所示. 3 (2)从散点图可以发现,年龄与脂肪含量之间具有线性相关关系. (3)画出的一条直线如上图. 线性回归方程的求法及应用 [典例] 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(单位:万元)有如下的统 计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 若由资料知 y 与 x 成线性相关关系.试求: ^ (1)线性回归方程y=bx+a 的系数 a,b; - - (2)所求的回归直线必过点 P( x , y )吗? (3)使用年限为 10 年时,试估计维修费用是多少? (4)若设备的使用年限 x 每增加一年,则所支出的维修费用 y 如何变化? - - 2 [解] (1)∵ x =4, y =5, ?xi=90, ?xiyi=112.3, i=1 i=1 5 5 -- ?xiyi-5 x y i=1 5 ∴b= 2 i-5 x ?x2 5 - 112.3-5×4×5 = =1.23. 2 90-5×4 i=1 a= y -b x =5-1.23×4=0.08. ^ (2)线性回归方程是y=1.23x+0.08, - - - - 又 x =4, y =5,把点 P(4,5)代入线性回归方程知必过点 P( x , y ). ^ (3)当 x=10 时,y=1.23×10+0.08=12.38, 所以估计使用 10 年时维修费用是 12.38 万元. (4)由线性回归方程知,使用年限每增加一年维修费用就提高 1.23 万元. - - (1)知道 x 与

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