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第九章 9.6 椭 圆


一轮复习讲义





要点梳理
1.椭圆的概念

忆一忆知识要点

(1)第一定义: 在平面内到两个定点 F1、 2 的距离的和等 F 于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做 椭圆 .这两定点叫 做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 . 集合 P={M|MF1+MF2=2a}, 1F2=2c, F 其中 a>0, c>0, 且 a,c 为常数: ①若 a>c ,则集合 P 为椭圆; ②若 a=c ,则集合 P 为线段; ③若 a<c ,则集合 P 为空集.

忆一忆知识要点

(2)第二定义: 平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线(F 不在 l 上)的距离的比是常数 e (0<e<1) 时,则这个点的轨迹 是椭圆.定点是椭圆的 焦点 ,定直线叫椭圆的 准线 ,常 数是椭圆的 离心率 .

忆一忆知识要点

2.椭圆的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 标准方程 a2+b2=1 (a>b>0) a2+b2=1 (a>b>0)

图形

范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系 准线

-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b F1F2=2c c e=a∈(0,1) c2=a2-b2 a2 x=±c a2 y=±c

[难点正本

疑点清源]

椭圆方程中的 a、b、c、e 与坐标系无关,而焦点坐标、顶点 坐标等与坐标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件,两 个定形条件:a、b;一个定位条件:焦点坐标. (1)椭圆中有一个十分重要的三角形 OF1B2 (如右图),它的三边长分别为 a、b、c.易见 c2=a2-b2,且若记∠OF1B2=θ,则 cos θ c =a=e. (2)椭圆的定义中应注意常数大于 F1F2.因为当平面内的动点 与定点 F1、F2 的距离之和等于 F1F2 时,其动点轨迹就是线 段 F1F2; 当平面内的动点与定点 F1、 2 的距离之和小于 F1F2 F 时,其轨迹不存在.

求椭圆的标准方程
x2 y2 例 1 已知 F1,F2 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左,右焦点, a b A, 分别是此椭圆的右顶点和上顶点, 是椭圆上一点, B P OP∥AB,PF1⊥x 轴,F1A= 10+ 5,则此椭圆的方程 是____________.

根据椭圆的几何性质,求出 P 的坐标,从而找到 a 与 c 的关 系,由 F1A=a+c= 10+ 5,再求 a.

b b 由于直线 AB 的斜率为-a,故 OP 的斜率为-a,直 b x2 y2 线 OP 的方程为 y=-ax.与椭圆方程 2+ 2=1 联立,解得 x a b 2 2 =± a.因为 PF1⊥x 轴,所以 x=- a, 2 2
2 从而- a=-c,即 a= 2c.又 F1A=a+c= 10+ 5, 2 故 2c+c= 10+ 5,解得 c= 5,从而 a= 10. x2 y2 所以所求的椭圆方程为 + =1. 10 5
x2 y2 答案 + =1 10 5

探究提高
求椭圆的标准方程常用方法为定义法、待定系数法.在利用 待定系数法时,常结合椭圆性质、已知条件,列出关于 a、b、 c 的方程,解之.

变式训练 1
已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距 4 2 离分别为 5和 5, P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦 过 3 3 点,求此椭圆的方程.
解 方法一 x2 y2 y2 设椭圆的标准方程是 2+ 2=1 (a>b>0)或 2+ a b a x2 =1 (a>b>0),两焦点分别为 F1,F2, b2 则由题意知 2a=PF1+PF2=2 5,∴a= 5. x2 y2 b2 在方程 2+ 2=1 中令 x=± 得|y|= a , c a b y2 x2 b2 在方程 2+ 2=1 中令 y=± 得|x|= a , c a b b2 2 10 2 依题意并结合图形知 a = 5.∴b = . 3 3

x2 3y2 y2 3x2 即椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 5 10 5 10
方法二 设椭圆的两焦点分别为 F1,F2, 4 5 2 5 且 PF1= ,PF2= , 3 3 ∴由椭圆定义知 2a=PF1+PF2=2 5,
∴a= 5.∵PF1>PF2, 由题意知△PF1F2 为直角三角形, PF2 1 ∴在△PF1F2 中,sin∠PF1F2= = , PF1 2 π ∴∠PF1F2= . 6 π 2 5 10 2 2 2 ∴2c=PF1· cos = .∴b =a -c = . 6 3 3 x2 3y2 3x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 5 10 10 5

椭圆的几何性质
例 2 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点, ∠F1PF2=60° . (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

(1)在△PF1F2 中,使用余弦定理和 PF1 +PF2 =2a,可求 PF1· 2 与 a,c 的关系,然后利用基本不等式找出不等关系, PF 从而求出 e 的范围; 1 (2)利用 S?F PF = PF1· 2sin 60° PF 可证. 2 1 2

(1)解

x2 y2 设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b

PF1=m,PF2=n,则 m+n=2a.
在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos 60° =(m+n)2-3mn ?m+n? ? ?2 2 2 2 2 2 =4a -3mn≥4a -3· ? 2 ? =4a -3a =a ? ? (当且仅当 m=n 时取等号). c2 1 1 ∴ 2≥ ,即 e≥ . a 4 2
又 0<e<1,∴e

4 2 (2)证明 由(1)知 mn= b , 3 1 3 2 ∴ S?PF F = mnsin 60° = b, 2 3 1 2

?1 ? ? ,1?. 的取值范围是 2 ? ?

即△PF1F2 的面积只与短轴长有关.

探究提高
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形, 称为椭圆的焦点三角 形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦 定理、PF1+PF2=2a,得到 a、c 的关系. ?定义式的平方 ? (2)对△F1PF2 的处理方法?余弦定理 ?面积公式 ? ?(PF1+PF2)2=(2a)2 ? ?4c2=PF2+PF2-2PF1· 2cos θ PF 1 2 ?? 1 ? PF ?S△=2PF1· 2sin θ ?

.

变式训练 2
3 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e= , 2 ? 3? 已知点 P?0,2?到这个椭圆上的点最远距离是 7,求这个椭 ? ? 圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离等于 7的点的坐标.
x2 y2 解 设所求椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b a2-b2 c 3 由 e=a= a = ,得 a=2b. 2



设椭圆上任一点 M 的坐标为(x, 点 M 到点 P 的距离为 d, y), a2y2 则 x2=a2- 2 ,且 b ? 3?2 a2 2 ? 3?2 d2=x2+?y-2? =a2- 2y +?y-2? b ? ? ? ? ? 1?2 9 2 2 =-3y -3y+4b + =-3?y+2? +4b2+3, 4 ? ? 其中-b≤y≤b.

1 如果 b< ,则当 y=-b 时, 2 d 取得最大值,即有( 7)
2 2

? 3 ?2 =?b+2? , ? ?

3 1 1 解得 b= 7- > 与 b< 矛盾. 2 2 2

1 1 如果 b≥ ,则当 y=- 时, 2 2 d2 取得最大值,即有( 7)2=4b2+3. ②

由①、②可得 b=1,a=2. x2 2 所求椭圆方程为 +y =1. 4
1 由 y=- 可得椭圆上到点 P 的距离等于 7的点的坐标为 2 ? 1? ? 1? ?- 3,- ?和? 3,- ?. 2? ? 2? ?

直线与椭圆的位置关系
x2 y2 3 例 3 已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 e= , 连接椭 a b 2 圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.已知点 A 的 坐标为(-a,0),点 Q(0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上, → → 且QA· =4.求 y0 的值. QB
x2 (1)利用 e 及菱形面积求 a,b 的值;(2)设出 l 的方程,并与 2 a y2 + 2=1 联立求出点 B 的坐标,进而求出线段 AB 中垂线的 b → → 方程,并利用QA· =4 求 y0 的值. QB

c 3 解 (1)由 e=a= ,得 3a2=4c2,再由 c2=a2-b2, 2 1 得 a=2b,由题意可知 ×2a×2b=4,即 ab=2. 2 ?a=2b, ? 解方程组? ,得 a=2,b=1, ?ab=2 ? x2 2 所以椭圆的方程为 +y =1. 4
(2)由(1)知 A(-2,0),且直线 l 的斜率必存在. 设 B 点的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k, 则 l 的方程为 y=k(x+2).
2 ?x ? +y2=1, 于是 A,B 两点的坐标满足方程组? 4 ?y=k(x+2). ?

由方程消去 y 并整理,得 (1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 16k2-4 2-8k2 4k 由-2x1= ,得 x1= ,从而 y1= . 1+4k2 1+4k2 1+4k2

设线段 AB 的中点为 M, ? -8k2 2k ? ? ? , 则 M 点的坐标为? 2 2?. 1+4k ? ?1+4k 以下分两种情况:
①当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 → → y 轴,于是QA=(-2,-y0),QB=(2,-y0). → → 由QA· =4,得 y0=± 2. QB 2

②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 8k2 ? 2k 1? y- =-k?x+1+4k2?. ? ? 1+4k2 ? ?
6k 令 x=0,解得 y0=- . 1+4k2 → → 由QA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0), → → QA· =-2x1-y0(y1-y0) QB 6k ? 4(16k4+15k2-1) -2(2-8k2) 6k ? 4k ? ? = + =4, 2+ 2?= 2 2? 1+4k 1+4k ?1+4k 1+4k ? (1+4k2)2 整理得 7k2=2.

14 2 14 故 k=± ,所以 y0=± . 7 5 2 14 综上,y0=± 2或 y0=± 2 . 5

探究提高
(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立, 消去 x(或 y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系, 并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. (2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,如本题(2)的求 解中,常因忽略直线 l 与 x 轴重合的特殊形式而失分.

x2 2 (2011· 北京)已知椭圆 G: +y =1.过点(m,0)作圆 x2+y2=1 4 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值.
解 (1)由已知得 a=2,b=1,所以 c= a2-b2= 3.

变式训练 3

所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0). c 3 离心率为 e=a= . 2 (2)由题意知,|m|≥1.
当 m=1 时, 切线 l 的方程为 x=1, A, 的坐标分别为(1, 点 B 3 3 ),(1,- ).此时 AB= 3. 2 2

当 m=-1 时,同理可得 AB= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m). ?y=k(x-m), ? 2 由?x +y2=1, ?4 ? 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0. 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4k2m2-4 8k2m x1+x2= 2,x1x2= 2 . 1+4k 1+4k |km| 2 2 又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 2 =1, k +1
即 m2k2=k2+1.

所以 AB= (x2-x1)2+(y2-y1)2 = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] ? 64k4m2 4(4k2m2-4)? 4 3|m| ? ? - = (1+k2)? = . (1+4k2)2 1+4k2 ? m2+3 ? ?

由于当 m=± 时,AB= 3, 1 4 3|m| 所以 AB= 2 ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m +3 4 3|m| 4 3 因为 AB= 2 = ≤2, 3 m +3 |m|+ |m|
且当 m=± 3时,AB=2, 所以 AB 的最大值为 2.

思想与方法
对称与变换的思想在椭圆中的应用
x2 (14 分)在直线 l: x-y+9=0 上任取一点 P, 过点 P 以椭圆 12 y2 + =1 的焦点为焦点作椭圆.则点 P 在何处时,所求椭圆 3 的长轴最短?并求出长轴最短时的椭圆方程.

审题视角
x2 y2 (1)所求椭圆的焦点即椭圆 + =1 的焦点,因而可求.(2)P 12 3 到两焦点 F1、 2 的距离之和即为所求椭圆的长轴长. F (3)要使长 轴最短, 即为在 l 上求一点 P 到 F1、 2 的距离之和最短, F 因而, 利用平面几何的对称求解.

规范解答 解 F1(-3,0),F2(3,0)在 l 同侧,如图所示, 作 F2 关于 l 的对称点 F2′,连接 F1F2′, 则 F1F2′与 l 的交点即为所求点 P.连接 PF1、PF2.
设 F2′(x0,y0), ? y0 ? =-1, x0-3 ? 则? ?x0+3 y0 ? 2 - 2 +9=0, ? 得 F2′(-9,12). [6 分]

所以 F1F2′的方程为 y=-2(x+3), 将其与 x-y+9=0 联立, ?x=-5, ? 解方程组得? ?y=4, ? 即 P 点坐标为(-5,4).
此时,2a=PF1+PF2=PF1+PF2′ =F1F2′=6 5,
所以当长轴最短时,a=3 5,c=3,b=6. x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 45 36

[9 分]

[12 分]

[14 分]

批阅笔记

(1)利用对称思想求最值是平面几何中一种巧妙的方法,注意 总结规律,找出其适用的情况. (2)本题易错原因:不会审题,或审题不准,找不到问题的切 入点,无从下手.

方法与技巧
1.椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中,长轴端点到 焦点的距离分别为最大距离和最小距离, 且最大距离为 a +c,最小距离为 a-c. 2.求椭圆离心率 e 时,只要求出 a,b,c 的一个齐次方程, 再结合 b2=a2-c2 就可求得 e (0<e<1). 3.求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为 标准方程,判断的依据是:(1)中心是否在原点,(2)对称 轴是否为坐标轴.

失误与防范
1.求椭圆方程时,在建立坐标系时,应该尽可能以椭圆的 对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简方程——椭圆的 标准方程. 2.注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某一点坐标 视为某一函数问题求解时,如求函数的单调区间、最值.

与《几何原本》齐名的《圆锥曲线论》
公元前三世纪产生了具有完整体系的欧几里得的 《几何原本》。半个世纪以后,古希腊的另一位数学 家阿波罗尼斯又著《圆锥曲线论》(8卷)—以其几乎 将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽而名垂史册。 在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著作中, 没有一本达到象《圆锥曲线论》那样对圆锥曲线研究 得如此详尽的程度。 解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创立的。自从 有了解析几何,圆锥曲线的研究才开辟了新的纪元。

知识网络
曲线与方程

求曲线的方程 画方程的曲线 求两曲线的交点

轨迹方程的求法:直接法、定义法、相关点法、参数法

椭圆 双曲线

定义及标准方程

圆 锥 曲 线

抛物线

几何性质

范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴)、短轴(虚轴) 渐近线(双曲线)、准线、离心率、通径、焦半径

相交 直线与圆锥曲 线的位置关系 相切 相离

弦长公式

l ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? 12 | y1 ? y2 | k

中心对称 对称问题 轴对称

关于点( a,b ) 对称 点( x0,y0 ) ?????? 点(2a ? x0, b ? y0 ) ? 2 关于点( a,b ) 对称 曲线f ( x , y ) ?????? 曲线f (2a ? x,b ? y ) ? 2

点( x1 ,y1 )与点( x2 ,y2 )关于 直线Ax ? By ? C ? 0对称

y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? A? 2 ? B ? 2 ? C ? 0 ? ?? y2 ? y1 ? ? ( ? A ) ? ?1 x2 ? x1 B ? ?

要点梳理

忆一忆知识要点

1. 椭圆的定义: ① PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1 F 2 方程为椭圆;
② PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1 F 2 无轨迹;
③ PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1 F 2
B2 A1 F1 o B1

y

线段F1F2 .
P A2 x

F2

1. 椭圆的方程:
(1)椭圆的标准方程:

y2 ①中心在原点,焦点在 x 轴上: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b y2 x2 ②中心在原点,焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b (2)一般方程: Ax 2 ? By 2 ? 1( A, B ? 0,A ? B )
2

(3)椭圆的标准参数方程

? x ? a cos ? ? ? [0, 2? ) ? ? y ? b sin ?

3. 两种类型椭圆的标准方程的比较 定义 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 |MF1| + |MF2| = 2a ( a >c )
x ? y ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
2 2

方程

y2 x ? ? 1(a ? b ? 0) 2 2 b a
2

y
F1

y
F2

图象 焦点 关系

F1

o

x

o
F2

x

F1 ( ?c, 0), F2 (c, 0)

F1 (0, c ), F2 (0, ?c )

a2 = b2 + c2(a>b>0, a>c>0)

4. 椭圆的几何性质
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
x ? y ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
2 2

y2 x ? ? 1(a ? b ? 0) 2 2 b a
2

|x|≤ a, |y|≤ b

|x|≤ b, |y|≤ a (b, 0), (-b, 0), (0, a), (0, -a) (0, c),(0, -c,) 半长轴长为a, 半短轴长为b.
e? c a

关于x轴、y轴成轴对称;关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称 关于原点成中心对称

(a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b) (c,0),(-c,0) 半长轴长为a, 半短轴长为b.
e? c a b ? 1 ? e2 a

忆一忆知识要点

5. 几个重要结论: y 2 x2 ? 设P是椭圆 2 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 上的点,F1,F2
a b

(1) S△ PF1F2 ? b2 tan ? . 2 (2) 当P为短轴端点时,

是椭圆的焦点,∠F1PF2=θ ,则
A1 F1

y

B2 o B1

P A2 x

F2

( S△PF1F2 )max ? bc.
(3)当P为短轴端点时,∠F1PF2为最大.

(4)椭圆上的点A1距F1最近,A2距F1最远.

a ? c ≤| PF |≤ a ? c.

忆一忆知识要点

5. 几个重要结论: (5)过焦点的弦中,以垂直于长轴的弦为最短.

| CD |? 2b a

2

y

(6)焦半径公式
| PF1 |? a ? ex0 | PF2
A1

C
F1

B2 o B1

P ( x0 , F2

y0 )
A2 x

|? a ? ex0

D

忆一忆知识要点

6. 点与椭圆的位置关系:

【3】直线 y ? k ? x ? a? ?1 与椭圆 x4 ? y2 ? 1 总有公共点,
2 2

则实数 a 的取值范围是 ? ? 2, 2 ? ? ?

.

y

a ? 1 ≤1 4 2 2 ?a ≤2

2

2

M (a ,1)

F1

o

F2

x

忆一忆知识要点

7. 直线与椭圆的位置关系问题:

(2)假设 AB 椭圆为椭圆的一般弦 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), (2)假设 AB 椭圆为椭圆的一般弦 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 弦中点为M ( x0 , y0 ). 弦中点为M ( x0 , y0 ). 1 2 ? 1 ①则弦长 l ? 1 ? k |2 x1 ? x2 | ,ll? 1 ? 121|| y11? yy2 .| . y y ??2y| | . 2 ①则弦长 l ? 1 ? k | x1 ? x2 | , l ? 1 ? 2 | 1 k 2 kk

忆一忆知识要点

k ② k AB ② AB

2 b 2 x0 x ? ? b2 0 ; ? ? a2 y ; a y0
0

2 b 2 x0 b x0 ( x ? x 0 ) ③直线 AB 的方程: y ? y0 ? ? 2 ③直线 AB 的方程: y ? y0 ? ? a 2 y ( x ? x0 ) a y0
0

④可通过根与系数的关系来解决中点弦问题;这其 中的解题方法就是常说的“设而不求,整体代入”;


例1.(07 陕西)

1? 3 ? 3 ? 3. 此时S ? 2 2 4

?| AB |2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 )2

? (1 ? k )
2

S ? 1 ? 2? 3 ? 3 . 2 2 2

【例2】试确定m的取值范围,

y2 使得椭圆x ? ? 1 4 3
2

上有不同两点A, B关于直线y=4x+m对称.

解:设椭圆上两点A(x1, y1), B(x2 , y2),
AB的中点为C(x0,y0). ∵A、B关于y=4x+m对称,
? x12 y12 ? 4 ? 3 ? 1,① ? 又? 2 x1 y12 ? ? ? 1,② ? 4 3 ?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ①-②得 ? ? 0, 4 3 y1 ? y2 3( x1 ? x2 ) 即 ?? , x1 ? x2 4( y1 ? y2 )

【例2】试确定m的取值范围,

y2 使得椭圆x ? ? 1 4 3
2

上有不同两点A, B关于直线y=4x+m对称. 解:设椭圆上两点A(x1, y1), B(x2 , y2), AB的中点为C(x0,y0).
设直线AB方程为 y ? ? 1 x ? n,
? 3 x 2 ? 4 y 2 ? 12, ? 联立 ? 得 13 x 2 ? 8nx ? 16n2 ? 48 ? 0. y ? ? 1 x ? n, ? ? 4
13 , 即 ? 13 ≤ n ≤ 13 . ?n ≤ 4 2 2
2

4

? ? ? (?8n)2 ? 4 ? 13(16n2 ? 48) ≥ 0,

? x1 ? x2 ? 8n , 13
y1 ? y2 ? ? 1 ( x1 ? x2 ) x ? 2n ? 24n . 4 13 即 C ( 4n , 12n ). 13 13

? 12n ? 4 ? 4n ? m, ? m ? ?4n . 13 13 13

? ? 13 ≤ n ≤ 13 , ?? 2 13 ≤ ? 4n ≤ 2 13 . 2 2 2 13 13

例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.
解:当点 P 在椭圆短轴端点时, ?F1 PF2 最大.
y
P
?

??

≥ 45? ? sin ? ≥ 2 2

F1

o

F2

x

c ? sin ? ≥ 2 a 2

又0?e?1
? 2 ≤e ?1 2

例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

(Ⅱ)设 PF1 ? m , PF2 ? n ,

构造方程、不等式

( m ? n)2 ? ( m 2 ? n 2 ) ? mn ? ? 2(a 2 ? c 2 ). 2 2 2 2 m ? n ? 4c , y m , n 是方程 x 2 ? 2ax ? 2(a 2 ? c 2 ) ? 0 的两个根, P

则 m ? n ? 2a,

所以 ? ? (2a )2 ? 8(a 2 ? c 2 ) ≥ 0 . c2 ≥ 1 2 2 ? 2c ≥ a ? 2 2 a

F1

o

F2

x

例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

基本不等式
(Ⅲ)设 PF1 ? m , PF2 ? n ,

则 m ? n ? 2a ? 4a 2 ? (m ? n)2 2 m 2 ? n2 ?e ?
4c ? m ? n
2 2 2

( m ? n)2
y
P o x

1 ( m ? n)2 ? e2 ? m ? n 2 ≥ 2 ?1 ( m ? n) 2 ( m ? n) 2
2 2

? e≥ 2 . 2

F1

F2

例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

焦半径公式
(Ⅳ)设 P ( x0 , y0 ) , ? PF1 |? a ? ex0 , | PF2 |? a ? ex0 . |
y
P o x

? (a ? ex0 )2 ? (a ? ex0 )2 ? 4c 2 ,
2a ? 2e x0
2 2 2

F1

F2

2c 2 ? a 2 . ? 4c , ? x0 ? e2
2
2

? ?a ≤ x0 ≤ a ,
2c 2 ? a 2 ≤ a 2 . ?0 ≤ e2

? e≥ 2 . 2

例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

向量、方程组、不等式
, y0 F1 ( c , 0), (Ⅴ)设 P ( x0????) ,???? ????? F2 (c , 0). ???? ?
PF1 ? PF2 ? FP1 ? F2 P ? 0
o

y
P x

? ( x0 ? c, y0 ) ? ( x0 ? c, y0 ) ? 0
? x0 2 ? y0 2 ? c 2
x0 2 y0 2 又 2 ? 2 ?1 a b

F1

F2

2a 2c 2 ? a 4 . ? x0 ? c2
2

? ?a ≤ x0 ≤ a ,
2a 2c 2 ? a 4 ≤ a 2 ? e ≥ 2 . ?0 ≤ 2 c2

例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

向量、三角函数
(Ⅵ)设 P (a cos ? , b sin ? ) ,F1 ( ? c , 0), F2 (c , 0).
???? ???? ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? FP1 ? F2 P ? 0

? (a cos ? ? c, b sin ? ) ? (a cos ? ? c, b sin ? ) ? 0, ? a 2 cos2 ? ? c 2 ? b2 sin 2 ? ? 0 ? a ? c ? c sin ?
2 2 2 2

y
P o x

a2 ? c2 ? sin ? ? ≤1 c2 2. ? a 2 ≤ 2c 2 ? e ≥ 2
2

F1

F2

例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

正弦定理、三角函数
(Ⅶ)设 ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,
| PF2 | | PF1 | | F1 F2 | ? ? sin ? sin ? sin 90? | PF2 | ? | PF1 | ? ? 2c sin ? ? sin ? 1 1 ? ? ?c? a sin ? ? sin ? sin ? ? cos ?
F1

y
P

? o

?
F2 x

? ? (0, ? ) ? ? ? ? ? ( ? , 3? )
2 4 2

1 2 sin(? ? ? ) 4

4 ? sin(? ? ? ) ? ( 2 ,1] ? 2 sin(? ? ? ) ? (1, 2] 4 2 4 c ? [ 2 ,1). ? a 2

【例 4】设 F1,F2 分别是椭圆

x2 ? y2 ? 1 的左右焦点,若 4

P 是该椭

解:易知 a=2,b=1,c= 3, a=2,b=1,c= 3, 3, 解:易知 a=2,b=1,c= 3, 解:易知a=2,b=1,c= 3, 解:易知 解:易知 a=2,b=1,c= 所以 F(- 3,0),F ( 23,0). ( 3,0). 所以 F1(- 所以 FF11(-3,0),F222( 3,0). 2( 3,0). 所以 1 (- 3,0),F 3,0). 所以 F1(- 3,0),F (3,0),F
1 1 1 2 2 2

?????? ?????? ? ?PF 2 的最大值和最小值. 圆上的一个动点,求 PF 1

设 P(x,y), 设 P(x,y), P(x,y), 设 P(x,y), 设 设 P(x,y), ?????? ???????? ? ?????? ?????? ? ?????? ?????? ?????? ?????? ? ?????? ?????? 则 PF ??1??PF=(-?PF 3-x,-y)· 3-x,-y) 则 PF PF =(- 3-x,-y)· 3-x,-y) =(- ((( 3-x,-y) 则 PF PF =(- 3-x,-y)·3-x,-y)· ( 则 PF PF 则=(-3-x,-y)· 3-x,-y)( 3-x,-y) 2 PF 22 xx2 x2 11 x222 2=x2+y2-3=x2+1- -8).1 2 2 =x2222+y-3=x222+1- -3= 1(3x1-8).(3x2-8). =x+y222-3=x+1- x -3= (3x 2-3= =x +y -3=x +1-44 -3=4(3x -8). =x +y -3=x +1- -3= (3x -8). 4 4 4 4 44 4 ,2 因为 xx?????2,2?,,故?? 2,2? ,故 因为 ???? 2 ??,故 因为 xx???22,22,故 因为 x ? ?
1 2

?????? ???????? ?????? ?????? ? ?????? ?????? ?????? ?????? ? ?????? ? 当 x=0, 即点 x=0, 即点 P 为椭圆短轴端点时, PF 1?PF 2 有最 当x=0, 即点 PP为椭圆短轴端点时,PF 1?????????有最小值-2; x=0, 即点P为椭圆短轴端点时, PF 11PF22有最小值-2; 为椭圆短轴端点时, PF PF 2 有最小值-2; PF 当 当 P 为椭圆短轴端点时, ?????? ? 当 x=0, 即点 ?????? ?????? ?????? ? ?? 1 2 有最小值 ?????? ?????? ?????? ?????? 当 x= ??2,即点?P为椭圆长轴端点时,PF 1???PF2有最大值 1. 有最 当x= ?2,即点 P 2,即点 P 为椭圆长轴端点时, ? ? 1. x= 2,即点P为椭圆长轴端点时, PF 1PF 2 2有最大值 1. 为椭圆长轴端点时, PF 1PF 有最大值 ? ?????? ?????? PF 当 当 x= PF 1 2

因为

,故

PF PF

当 x= ? 2,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1?PF 2 有最大值

x2 2 设 P 是椭圆 2+y =1 (a>1)短轴的一个端点,Q 为椭圆上的 2 a 解:依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则|PQ|= x2+?y-1? 一个动点,求|PQ|的最大值. 22 2 又因为 Q 在椭圆上,所以 x2=a2(1-yx). 2 22..2. 解:依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则|PQ|= x2+?y-1? 解:依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则|PQ|= x+?y-1? +?y-1? 解:依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则|PQ|=x2+?y-1? . 解:依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则|PQ|=
22 2 2 Q 2 2 2 x2 =a2 2 2 2). 2 (1-y 2). 又因为 QQ在椭圆上,所以2=a=a(1-y2). 2)y2-2y+1+a2 |PQ| 在椭圆上,所以 x =a (1-y (1-y )+y x 又因为 又因为=a 在椭圆上,所以 x (1-y ). 又因为 Q 在椭圆上,所以 -2y+1=(1-a 22 22 2 2? 22 2 2 2 1 ?2 2 =a (1-y2 )+y -2y+1=(1-a )y -2y+1+a 2 2 2 21 2)y2-2y+1+a |PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a22)y2-2y+1+a2 2 2 2 |PQ| (1-y )+y -2y+1=(1-a )y 2+1+a . |PQ| =(1-a )+y |PQ| =a=a (1-y)?y- -2y+1=(1-a -2y+1+a 2? - 1-a ? 1? 12 ? 1 1-a 2 2 2? ? 1 ?2 2?)(?y 1 1122?2?-)2 11 +1+a2 .2 ? a 2 . y- ? 2 =(1-a y-y- 2? 2-- 1 ?+1+a2.? .1. ? (1 ?)a))??y- 1-a ?? ?22- 2 22+1+a ? =(1-a =(1-a ? 1-a ? 1-a =(1-a ? ?)? 1-a ?2? 1-a 2+1+a 1 ? 1-a a1-a 1 ? a 2? 1-a 1?? ? 因为|y|≤1,a>1,若 a≥ 2,则?? ? 2?≤1, ?? 1? 1-a ? ? 1 11??≤1,? 因为|y|≤1,a>1,若 a≥ 2,则 1-a2? ?≤1, 因为|y|≤1,a>1,若 2,则 2? 2? 2 2 因为|y|≤1,a>1,若 a≥2,则? ??1-a?≤1, 因为|y|≤1,a>1,若 a≥a≥ 2,则?1-a≤1, ?? 2? ? ? 1-a ?2 ? a a -1 1 2a2 22a a-1 aa -1-1 a2 2 11 2时,|PQ|取最大值2-12 当 y=1 1 时,|PQ|取最大值 a y= ; a 当 y= 1-a 时,|PQ|取最大值 2 2 ;; ; 当 1-a2 当当 y=1-a2 y= 1-a2时,|PQ|取最大值 2aa-1a -1 2时,|PQ|取最大值 a2-1 ; 1-a a -1-1

若 1<a< 2,则当 y=-1 时,|PQ|取最大值 2. 2,则当 y=-1 时,|PQ|取最大值 2. 若 1<a< 2,则当 y=-1 时,|PQ|取最大值 2. 若 1<a< 2,则当 y=-1 时,|PQ|取最大值 若若 1<a<2,则当 y=-1 时,|PQ|取最大值 2. 2. 1<a<

x2 y2 例 5.已知椭圆a2+b2=1 (a>b>0)的长、短轴端点分别为 A,B,从椭

圆上一点 M(在 x 轴方向上)向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左
??? ???? ? ? 焦点 F1 , AB // OM .

(1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点,F1,F2 分别是左、右焦点,求 ∠F1QF2 的取值范围.

1

M

M

?2 2 2 ???? ??? ? ? bb ,? b ? ? b , OM // AB ? k OM ? 解:(1)∵F1(-c,0),则 xM=-c,y? = M=k AB a 解:(1)∵F1(-c,0),则 xM=-c,ya , a , M ac y 2 ???? b??? ? ? 2 ?2 ?2 ? ??? b ? b , b ???? ?????? ????bOM // AB, B b ?,?b ,?? ? ?? b , OM // AB =- ,∴b=c, ∴-ac ?k?OM ? ? , ? k OM ?kOM ? k AB k AB ?OM // AB , k AB ? ? M a ac ac a a
2

a

b b b b c 2 A x F1 o ∴-ac=-a,∴b=c, ∴-ac=-a,∴b=c, 故 e= = . a 2 c c2 ,|F (2)设|F1Q|=r 2Q|=r2,∠F1QF ,|F 2Q|=r ,∠F QF =θ, Q|=r2 Q|=r QF =θ, (2)设|F1Q|=r12 1,|F2(2)设|F,∠F21=θ, 1 1 2 2 1 2 故 e=a= = . 故 e=a . 2 2 ∴r1+r2=2a,|F1F21F2∴r +r =2a,|F F |=2c, ∴r1+r2=2a,|F |=2c, 2 |=2c, 1 2 2 2 2 2 2 2 (2)设|F1Q|=r1,|F,|F2Q|=r2,∠F2QF222 1r22 (2)设|F1Q|=r1 2Q|=r2,∠F1QF1=θ, -4c222 2 2 =θ, 1 r1r +r -4c ?r1+r2? -2r-2r r -4c +r ?2-2r r -4 +r22 -4c 2 2 r1 1 2 1 2 r1+r2-4c= ?r1?r1+r2?+rr2-4c ?r1 2 +r2?2-2r1 2-4c 1 2 cos θ= = cos2θ= 2r1rF2|=2c,cos 2r ∴r1cos 1θ=2=2a,|F1F== θ= 1r2 2r r +r =2a,|F1 2 ∴r +r 2|=2c, 2r1r2 2r1 2r 21 2 2 2 2 2 2r1r2r2 2 2 22 2 2r1r2 1r2 2 a2-4c ?r a ?r1?2-2r1r2a r1+r1+r2-4c 1+r2+r2? -2r21r2-4c a2 -4c r 2 2 a-1≥? = a a -1=0,-1≥ cos θ= θ= r = cos =r r = 2r12 2 -1≥1+r2?2 2r-1=0, 2r1r2 ?r ? 2r r1r2 = 1 2 1 r2 =1r2 r2 -1≥r12 ? 2? ?r-1=0, ?r1+r2?2-1=0, ? ? 2 ? +r ? r1 a2 a 1r2 a? ? ?r1+r2 ?2 a ? ?2 2 ? 2 ? ? ? = = -1≥? ??? -1=0, -1≥? ? ? 2 ?? -1=0, r1r2 r1r2 ?r1+r1+r22 ? ? ? ? π? ? ?r2?2 ?2 ? ? ? ?π 当且仅当 r1=r22时,cos θ=0,∴θ∈?2 时,cos θ=0,∴θ∈? ? ? ?2 ? 当且仅当 r =r 0, ?. ? ? ? 1 2? ? 当且仅当 r1=r?2 时,cos θ=0,∴θ∈?0, 2 ?. π? ? ? 当且仅当 r1=r2 时,cos θ=0,∴θ∈?0, 2 ?. ? ? ? ? π? π ? ?0,?0, ?.? 当且仅当 r1=r1=r2 时,cos θ=0,∴θ∈ 2 ?. 2 当且仅当 r2 时,cos θ=0,∴θ∈ ? ? ? ?

2

ac

a

【1】已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆 的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,则离心率的取值范围
2 , ? 1) [ 是__________. 2

解:当点 P 在椭圆短轴端点时, ?F1 PF2 最大.
?? ≥ 45? ? sin ? ≥ 2
2
y
P
?

c ? sin ? ≥ 2 a 2 又0?e?1 ? 2 ≤e ?1 2

F1

o

F2

x

y2 ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为 【2】椭圆 x ? 9 4
2

其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,则点 P 的横坐标
(? 3 5 , 3 5 ) 的取值范围是____________. 5 5

y
P
o F2 x

? x 2 ? y 2 ? 5, ?4 x 2 ? 9 y 2 ? 36, ?
? x2 ? 9 5

F1

[ 2 ,1) 2

45?

【3】 2010 全国卷 I 理科 16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, (

??? ? ??? ? B 是短轴的一个端点, 线段 BF 的延长线交 C 于点 D, BF ? 2FD , 且
则 C 的离心率为

3 3

.

??? ? ??? ? BF ? 2FD

y B

? (c, ? b) ? 2( x ? c, y ) O F D 3 c, y ? ? b . ?x? 2 2 3 c )2 ( ? b )2 ( c2 ? 1 , ? e ? 3 . ? 2 2 ? 2 ? 1, ? 2 3 3 a a b2

x

【4】已知椭圆x2sinα-y2cosα=1 (0≤α<2π)的焦 ( 1 ?., 3 ? ) 点在y轴上,则α的取值范围是 2 4
椭圆方程化为
y2 x ? ? 1. 1 ? 1 sin ? cos ?
2

∵椭圆焦点在 y 轴上,

?? 1 ? 1 ? 0. cos ? sin?
又∵0≤α<2,

? ? ? ? ? 3? . 2 4

【5】(09· 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy中, A1, A2, B1, B2为椭圆
y2 x ? ? 1(a>b>0)的四 2 2 a b
2

个顶点, F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于 点T, 线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,

2 7 ?5 则该椭圆的离心率为__________.

x ? y ? 1, 直线A1B2的方程为 ?a b x ? y ? 1, 直线B1F的方程为 c ?b 2ac , b(a ? c ) ), 两者联立解得 T ( a?c a?c ac , b(a ? c ) ). 则M ( 2 2 a ? c 2(a ? c ) x ? y ?1 2 (a ? c ) 2 2 c2
? (a ? c )
2

?

4(a ? c )

2

?1

a

b

所以c2+10ac-3a2=0, 则e2+10e-3=0,

? e ? 2 7 ? 5.

走进高考
 
2 x 2 ? y ? 1? a ? b ? 0 ?的离心率 (2010? 全国卷Ⅱ)已知椭圆C: 2 a b2

为 3 ,过右焦点F 且斜率为k ? k ? 0 ?的直线与C相交于A、B两点,若 ??? 2 ??? ? ? 2 . AF ? 3FB,则k ?

??? ? ??? ? 解:设A( x1,y1 ),B( x2,y2 ). ? AF ? 3FB, y1 ? ?3y2 . ?
3 ,故设a ? 2t,c ? 3t, ?e ? 2 则b ? t.
y
O

B F

x

? x2 ? 4y2 ? 4t 2 ? 0.  ①

A

又直线AB的方程为 x ? my ? 3t,代入①消去x

走进高考
 

2 x 2 ? y ? 1? a ? b ? 0 ?的离心率 (2010? 全国卷Ⅱ)已知椭圆C: 2 a b2

为 3 ,过右焦点F 且斜率为k ? k ? 0 ?的直线与C相交于A、B两点,若 ??? 2 ??? ? ? 2 . AF ? 3FB,则k ?

得 (m2 ? 4) y2 ? 2 3mty ? t 2 ? 0.
2 3mt ,y y ? ? t 2 . ? y1 ? y2 ? ? 2 1 2 m ?4 m2 ? 4 2 3mt ,? 3y 2 ? ? t 2 , ??2y2 ? ? 2 2 m ?4 m2 ? 4 2 解得m ? 1 ,从而k ? 2. 2
O

y B F A

x


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