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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:4.4 三角函数的图象_图文

§4.4

三角函数的图象

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教材回顾夯实双基
基础梳理

1.三角函数的图象
函 数 y=sin x y=cos x y=tan x

图 象

2.五点法作图 (1)y= sin x, x∈ [0,2π]上的五个关键点为: 3 (0,0) ,(π, 1),______ (2π,0) . (π,0), ( π,-1),________ ______ 2 2 (2)y= cos x, x∈ [0,2π]上的五个关键点为: π 3 ( , 0) ( π,0) (0,1), ________ ,(π,- 1),________ , (2π, 1). 2 2

3. y= Asin(ωx+ φ)的变换作图法 由函数 y= sin x 的图象通过变换得到 y= Asin(ωx+ φ)的图象, 有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 法一:先平移后伸缩 y= sin x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y= sin(x+ φ) 平移|φ|个单位
1 横坐标变为原来的 倍 ω ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y= sin(ωx+ φ) 纵坐标不变 向左? φ>0?或向右? φ<0?

― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y= Asin(ωx+ φ). 横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍

法二:先伸缩后平移 y= sin
1 横坐标变为原来的 倍 sin ωx ω x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y= ___________ 纵坐标不变

向左? φ>0?或向右? φ<0? ― ― ― ― ― φ ― ― ― ― ― →y= sin(ωx+ φ) 平移| |个单位 ω

Asin(ωx+φ) . ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y = _______________ 横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍

4.振幅、周期、频率、相位等相关概念 (1)当函数 y= Asin(ωx+ φ)(A> 0, ω>0,x∈ (- ∞,+∞))表示 2π ω A 一个振动量时,则____叫做振幅,T= 叫做周期,f= 叫做 2π ω

φ 叫做初相. 频率, ωx+ φ 叫做相位,____
2π |ω| (2)函数 y= Acos(ωx+ φ)的周期为 _____. π |ω| (3)函数 y= Atan(ωx+ φ)的周期为_____.

思考探究 1.y=sin x与y=cos x的图象有什么关系?
提示:两者的图象形状是相同的:y=cos x 的图象由 y= sin x π 的图象向左平移 个单位得到. 2

π π 2 2.x∈[- , ],y= x 与 y=sin x 的图象有何异同? 2 2 π

2 π π 提示: y= x,与 y= sin x 都过点 (- ,-1), (0,0), ( , 1)且 π 2 2 2 关于(0,0)对称,但 y= sin x 的图象与 y= · x 的图象绝不相同, π 2 π y= sin x 是正弦曲线, y= x 是直线,x∈(0, ), y= sin x 的 π 2 2 π 2 图象在 y= x 的上方, x∈ (- , 0), y= sin x 的图象在 y= x π 2 π 的下方.

课前热身

1.(教材改编)y=-cos x(x∈R)的图象与y=cos x(x∈R)的图
象之间的关系为( A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 )

D.把y=cos x的图象位于x轴上方的部分沿x轴翻折
答案:A

2.函数 f(x)= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0)的部分图象如图所示, 则下列正确的是 ( )

π A. y= 2sin x 2 π C. y= sin x 2

B. y= 2sinπx D. y=2sin 2x

答案:A

3.(2012· 高考浙江卷)把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位 长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图象是( )

解析:选 A.变换后的三角函数为 y=cos(x+1),结合四个选项
可得A选项正确.

4.函数y=sin x与y=tan x的图象在[0,2π]上交点个数是

________.
解析:交点为(0,0)、(π,0)、(2π,0).

答案:3

5.(2012· 高考大纲全国卷)当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π) 取得最大值时,x=________.
解析:∵y= sin x- 3cos x(0≤ x<2π), π? ? ∴ y=2sin x-3 (0≤ x<2π). ? ? π π 5π 由 0≤ x<2π 知,- ≤x- < , 3 3 3 π π 5 ∴当 y 取得最大值时,x- = ,∴x= π. 3 2 6

5 答案: π 6

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 作函数 y= Asin(ωx+ φ)的图象

“五点法”作图实质上是选取函数的一个周期,将其四等 分,分别找到图象的最高点、最低点及“平衡点”,由这五 个点大致确定函数图象的位置与形式. 变换法作图要注意 A、 ω、 φ 的正负及大小,正确确定变换 的单位个数.

例1

用五点作图法画出函数 y= 3sin

x x +cos 的图象, 并说 2 2

明这个图象是由 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到的?

【思路分析】 寻找五点.

先把函数化简为y=Asin(ωx+φ)的形式,

【解】 五点作图法 x π (1)列表:将函数解析式化简为 y=2sin( + ),列表如下: 2 6

x π + 2 6 x x π y= 2sin( + ) 2 6

0 π - 3 0

π 2 2π 3 2

π 5π 3 0

3π 2 8π 3 - 2

2π 11π 3 0

π 2π 5π 8π (2)描点:描出点(- , 0), ( , 2), ( , 0),( ,-2), 3 3 3 3 11π ( , 0); 3 (3)连线:用平滑的曲线将这五个点连接起来,最后将其向两端 伸展一下,得到图象如图所示.

图象变换途径:

π π y= sin x 的图象向左平移 个单位,得到 y= sin(x+ )的图象; 6 6 π 再将 y= sin(x+ )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵 6 1 π 坐标不变 ),得到 y= sin( x+ )的图象; 2 6 1 π 然后将 y= sin( x+ )的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 2 6 1 π (横坐标不变 ),即得 y= 2sin( x+ )的图象. 2 6

π 3 【领悟归纳】 五点的找法,先由 ωx+ φ=0, ,π, π,2π, 2 2 求出 x 的值和 y 的值,再描点画图.

考点 2

根据三角函数图象求解析式

这种问题要充分利用图象特征,如:若图象最高点的函数值为 A1- A2 A1, 最低点函数值为 A2,则其振幅 A= .相邻的最高点与 2 最低点的横坐标的差的绝对值为半个周期(或两个相邻平衡点 间的距离 ).利用待定系数法求 φ,有时从寻找“五点法”中的 φ ? - , 0?作为突破口. 第一零点 ? ω ?

例2 如图为y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象的一段,求 其解析式.

【思路分析】 首先确定 A.若以 N 为五点作图法中的第一个零 点,由于此时曲线是先下降后上升(类似于 y=- sin x 的图象 ), 所以 A<0; 若以 M 点为第一个零点,由于此时曲线是先上升后 2π 下降(类似于 y= sin x 的图象 ),所以 A>0.而 ω= , φ 可由相 T 位来确定.

π 【解】 法一:以 N(- ,0)为第一个零点, 6 5π π 则 A=- 3, T= 2( - )=π, 6 3 2π ∵ ω= ,∴ ω=2.此时解析式为 y=- 3sin(2x+ φ). T π π π ∵点 N(- , 0),∴- × 2+ φ=0? φ= . 6 6 3 π ∴所求的解析式为 y=- 3sin(2x+ ). 3 π 法二:以点 M( , 0)为第一个零点, 3 2π 则 A= 3, ω= = 2,解析式为 y= 3sin(2x+ φ). T π 2π 将点 M 的坐标代入得: 2× + φ=0? φ=- , 3 3 2π ∴所求的解析式为 y= 3sin(2x- ). 3

【思维总结】

由此题两种解法可见,在由图象求解析式时,

“第一个零点”的确定是很重要的,应尽量使A取正值.求φ 可利用周期,求ω可利用代点法或者相应点法.

跟踪训练
若例2图象是函数y=Acos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象,求这 个解析式.
解:法一:先由图象写为正弦形式: 2 3 2 得 y= 3sin(2x- π)= 3 cos( π+2x- π). 3 2 3 5 ∴ y= 3cos(2x+ π). 6

法二:设 y= 3cos(ωx+ φ), 2π ∵ T= = π,∴ ω=2.y= 3cos(2x+ φ), ω π π 当 x=- 时, y= 0.∴ cos(- + φ)=0. 6 3 π 相当于 y= cos x 中, x= , y= 0. 2 π π 5 ∴- + φ= ,∴ φ= π. 3 2 6 5 ∴ y= 3cos(2x+ π). 6

考点3 三角函数图象的应用
此类问题是借助三角函数图象的特征:最高点、最低点、对 称轴、对称中心及周期变化等来解决与三角函数值有关的相 等与不等问题,注意所给区间.

2 例3 已知定义在区间 [- π, π]上的函数 y=f(x)的图象关于直 3 π π 2 线 x=- 对称,当 x∈ [- , π]时,函数 f(x)= Asin(ωx+ φ) 6 6 3 π π (A> 0, ω>0,- < φ< )的图象如图所示. 2 2 2 (1)求函数 y= f(x)在 [- π, π]上的表达式; 3 2 (2)求方程 f(x)= 的解集. 2

【思路分析】

根据所给区间上的图象得出 A 、 ω 及 φ 的值,

利用对称性求出另一部分解析式,分段求解.

π 2π 【解】 (1)当 x∈ [- , ]时,函数 f(x)= Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0, 6 3 π π π - <φ< ),观察图象易得 A= 1, ω= 1, φ= , 2 2 3 π 即函数 f(x)= sin(x+ ), 3 π 由函数 y= f(x)的图象关于直线 x=- 对称得, 6 π π π 当 x∈ [- π,- )时,函数 f(x)= f(2× (- )- x)= f(- -x) 6 6 3 π π 2π sin? x+ ?, x∈ [- , ], 3 6 3 π π = sin(- - x+ )=- sin x.∴ f(x)= 3 3 π - sin x, x∈ [- π,- ? . 6

? ? ?

π 2π π 2 (2)当 x∈ [- , ]时,由 sin(x+ )= 得, 6 3 3 2 π π 3π π 5π x+ = 或 ? x=- 或 x= ; 3 4 4 12 12 π 2 3π π 当 x∈ [- π,- )时,由- sin x= ,得 x=- 或 x=- . 6 2 4 4 2 3π π π 5π ∴方程 f(x)= 的解集为 {- ,- ,- , }. 2 4 4 12 12

【思维总结】

在本题中必须写清自变量x所在区间,才能选

取所用的解析式.

方法感悟
方法技巧
1.对于具有周期性的函数,应先求出周期.作图象时只要作 出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象,其 次可利用一些简单的性质. 2.函数 y= Asin(ωx+ φ)+ k(A>0,ω>0)解析式的确定,也就是 参数 A,ω,φ,k 的确定,通常用待定系数法,具体求法如下: ymax- ymin (1)振幅 A 的确定: A= ; 2 ymax+ ymin (2)k 的确定: k= ; 2

2π (3)ω 的确定: 一般通过周期公式 T= 来求解, 因而要求出 ω, ω 2π 关键在于求出周期 T, 然后由 T= (ω>0)来确定 ω.一般地, 函 ω 数的周期可以由最高点、最低点、零点的坐标或者对称轴的方 程、对称中心的坐标等来求; (4)确定 φ 时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降 )的 零点的横坐标 x0,令 ωx0+ φ= 0(或 ωx0+ φ= π)即可求出 φ.有 时还可利用一些已知点(最高点和最低点 )坐标确定 φ 和 ω.若对 A, ω 符号或对 φ 范围有所需求,可用诱导公式变换,使其符 合要求.

失误防范 1.由y=sin x得y=sin(ωx+φ)的图象要分清伸缩与平移的顺

序,两者平移的单位个数不同.
2.“五点法”作图的关键在于抓好y=Asin(ωx+φ)的五个特征 点上的最值点和三个平衡位置点(即零点),对于零点还要从图 象的升降情况判断其为“第一零点”还是“第二零点”. 3.利用图象求解三角方程或不等式时要注意定义域及 周期性.

考向瞭望把脉高考
命题预测 三角函数的图象能够直观反映三角函数的性质,从近两年的 高考试题来看,根据函数的解析式确定函数的图象,包括五 点法描图及图象变换作图;由图象确定解析式;三角函数图 象变换,图象的对称轴、对称中心等是高考命题热点.试题 以选择题、填空题、解答题形式出现,多为中、低档题

目.客观题突出“小而活”考查学生对三角函数图象的理解,
解答题全面考查学生灵活应用公式运算、恰当运用图象变换 及作图能力.

在2012年高考中,浙江卷以客观题的形式考查了三角函数图 象的平移,山东卷以解答题形式考查了图象的平移及三角函数 的值域,四川卷与三角形结合考查了三角函数的图象和性质. 预测2014年高考仍将以三角函数的图象以及图象平移、变换、 对称为主要考点,突出能力立意,在复习时要加强这方面 的训练.

规范解答 (本题满分 12 分 )(2012· 高考山东卷 )已知向量 例 A m= (sin x,1), n= ( 3Acos x, cos 2x)(A>0),函数 f(x)= m· n 2 的最大值为 6. (1)求 A; π (2)将函数 y= f(x)的图象向左平移 个单位, 再将所得图象上各 12
1 点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y= g(x) 2 5π 的图象.求 g(x)在[0, ]上的值域. 24

A 【解】 (1)f(x)= m· n= 3Asin xcos x+ cos 2x 2 π? 3 1 ? ? ? =A = Asin 2x+6 . ? ? ? 2 sin 2x+ 2cos 2x? 因为 A>0,由题意知 A= 6.(4 分) π? ? (2)由 (1)得 f(x)=6sin 2x+ 6 . ? ? π 将函数 y= f(x)的图象向左平移 个单位后得到 12 π ? π? π? ? ? ? y= 6sin 2?x+12?+ 6 = 6sin 2x+3 的图象; (6 分 ) ? ? ? ?

1 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变, 得 2 π? ? 到 y=6sin 4x+3 的图象.(8 分) ? ? π? 5π ? ? ? 因此 g(x)=6sin 4x+3 .因为 x∈ 0,24 , ? ? ? ? π ?π 7π? 所以 4x+ ∈ 3, 6 ,(10 分 ) 3 ? ? 5π ? ? 故 g(x)在 0,24 上的值域为[- 3, 6].(12 分) ? ?

【名师点评】

本题考查了平面向量数量积的运算、三角恒

等变形、三角函数图象的变换以及三角函数的性质等,考查

了运算求解能力,难度一般.

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