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专题二简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词

高中数学总复习 专题二

简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词
【考纲要求】 1. 理解命题的概念;了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2. 理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识网络】

都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立 【典型例题】

不都是 不大于 不小于 存在某 x ,不成立 存在某 x ,成立

至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q

至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个 ?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q

类型一:判定复合命题的真假

逻辑联结词 或、且、非 词 简单命题与复合命题 简易逻辑 全称量词、存在量词
【考点梳理】 一、复合命题的真假 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 口诀:真“非”假,假“非”真,一真“或”为真,两真“且”才真。 二、全称命题与特称命题 1、全称量词:类似“所有”这样的量词,并用符号“ ? ”表示。 2、全称命题:含有全称量词的命题。其结构一般为: ?x ? M , p( x) 3、存在量词:类似“有一个”或“有些”或“至少有 一个”这样的量词,并用符号“ ? ” 表示。 4、特称命题:含有存在量词的命题。其结构一般为: ?x ? M , p( x) 三、全称命题与特称命题的否定 1、命题的否定和命题的否命题的区别

1. 分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假. 2 (1)若 q<1,则方程 x +2x+q=0 有实根; (2)若 ab=0,则 a=0 或 b=0; 2 2 (3)若实数 x、y 满足 x +y =0,则 x、y 全为零.

2. (2014 湖南高考)已知命题 p : 若x ? y, 则 ? x ? ? y;命题q : 若x ? y, 则x 2 ? y 2 . 在命题 ①

p ? q; ②p ? q; ③p ? (?q);④(?p) ? q 中,真命题是(
B.①④ C.②③ D.②④



A①③

p 命题 p 的否定 ,即 ? p ,指对命题 的结论的否定。
命题

点评: 1. 判断复合命题的真假的步骤: ①确定复合命题的构成形式; ②判断其中简单命题 p 和 q 的真假; ③根据规定(或真假表)判断复合命题的真假. 2. 条件“ x ? N 或 x ? 0 ”是“或”的关系,否定时要注意. 类型一:全称命题与特称命题真假的判断 3. 判断下列命题的真假,写出它们的否定并判断真假.

p 的否命题,指的是对命题 p 的条件和结论的同时否定。
(1) p : ?x ? R, x ? 2 ? 0 ;
2

2、全称命题的否定

p 全称命题 : ?x ? M , p( x) p : ?x ? M , p( x) 特称命题

p ? M? ,px() 全称命题 的否定( ? p ) : ?x
特称命题的否定 ?p : ?x ? M , ?p( x)

(2) p : ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0 ;
2

(3) p : ?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0 ;
2

(4) p : ?x0 ? Q, x0 ? 4 .
2

点评: 所以全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。 四、常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一 个 一个也没有 1. 要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x ,验证 p ( x) 成立;要判断全称 命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个 x ? x0 ,使 p( x0 ) 不成立即可;

高中数学总复习 专题二 2.要判断一个特称命题的真假,依据:只要在限定集合 M 中,至少能找到一个 x ? x0 ,使 p( x0 ) 成立,则 这个特称命题就是真命题,否则就是假命题. 举一反三: 【变式 1】分别写出下列各命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假. (1)若 a>b 且 c>d,则 a+c>b+d 2 (2)若 a<0,则方程 ax +2x+1=0 至少有一个负数根. (A)真,假,真 (B)假,假,真 (C)真,真,假 ( D)假,假,假

二、填空题 1.若命题“p 或 q”和“非 p”都是真命题,则命题 q 的真假是________.如果命题“p 且 q”和“非 p” 都是假命题,则命题 q 的真假是________. 2.下列命题:①若 xy=1,则 x、y 互为倒数;②四条边相等的四边形是正方形;③平行四边形是梯形;④ 若 ac2>bc2,则 a>b,其中真命题的序号是________。 3.命题: ?x ? N ,x3>x2 的否定是____________。 三、解答题 1.写出下列命题的否定: (1)若 2x>4,则 x>2; (2)若 m≥0,则 x2+x-m=0 有实数根; (3)可以被 5 整除的整数,末位是 0; (4)被 8 整除的数能被 4 整除; (5)若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。

类型二:在证明题中的应用 4. 若 a, b, c 均为实数,且 a ? x ? 2 y ?
2

?
2

, b ? y ? 2z ?
2

?
3

, c ? z ? 2x ?
2

?
6

.求证: a, b, c 中至

少有一个大于 0.

2.设有两个命题:p:不等式|x|+|x-1|≥m 的解集为 R;q:函数 f ( x) ? ?(7 ? 3m) x 是减函数。若这两个 命题中有且只有一个真命题,求实数 m 的范围。 点评: 1.利用反证法证明时,首先正确地作出反设(否定结论).从这个假设出发,经过推理论证,得出矛 盾,从而假设不正确,原命题成立,反证法一般适宜结论本身以否定形式出现,或以“至多?”、 “至少?”形 式出现,或关于唯一性、存在性问题,或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题. 2.反证法时对结论进行的否定要正确,注意区别命题的否定与否命题.

【巩固练习】
一、选择题 1.下列特称命题中真命题的个数是( ) ① ?x ? R ,x≤0 ②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数 ③ ?x ∈{x|x 是无理数},x2 是无理数 A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列全称命题中假命题的个数是( ) ①2x+1 是整数(x∈R) ②对所有 x∈R,x>3 ③对任意一个 x∈Z,2x2+1 为奇数 A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2014 陕西高考)原命题为“若 z1 , z2 互为共轭复数,则 z1 ? z2 ” ,关于逆命题,否 命题,逆否命题真 假性的判断依次如下,正确的是( )

3.设有两个命题,p:函数 f(x)= x +2ax+4 的图像与 x 轴没有交点;Q:不等式 x ? 1 ? 1 ? x ? a 恒
2

成立,若“P 或 Q”为真, “P 且 Q”为假,求实数 a 的取值范围。


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