专题二简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词

高中数学总复习 专题二

简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词
【考纲要求】 1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识网络】

都是 大于 小于 对所有 x ，成立 对任何 x ，不成立 【典型例题】

不都是 不大于 不小于 存在某 x ，不成立 存在某 x ，成立

至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q

至少有两个 至多有（ n ? 1 ）个 至少有（ n ? 1 ）个 ?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q

类型一：判定复合命题的真假

逻辑联结词 或、且、非 词 简单命题与复合命题 简易逻辑 全称量词、存在量词
【考点梳理】 一、复合命题的真假 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。 二、全称命题与特称命题 1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“ ? ”表示。 2、全称命题：含有全称量词的命题。其结构一般为： ?x ? M , p( x) 3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有 一个”这样的量词，并用符号“ ? ” 表示。 4、特称命题：含有存在量词的命题。其结构一般为： ?x ? M , p( x) 三、全称命题与特称命题的否定 1、命题的否定和命题的否命题的区别

1. 分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． 2 (1)若 q＜1，则方程 x ＋2x＋q＝0 有实根； (2)若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0； 2 2 (3)若实数 x、y 满足 x ＋y ＝0，则 x、y 全为零．

2. （2014 湖南高考）已知命题 p : 若x ? y, 则 ? x ? ? y；命题q : 若x ? y, 则x 2 ? y 2 . 在命题 ①

p ? q; ②p ? q; ③p ? (?q);④（?p） ? q 中，真命题是（
B.①④ C.②③ D.②④

）

A①③

p 命题 p 的否定 ，即 ? p ，指对命题 的结论的否定。
命题

点评： 1. 判断复合命题的真假的步骤： ①确定复合命题的构成形式； ②判断其中简单命题 p 和 q 的真假； ③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假. 2. 条件“ x ? N 或 x ? 0 ”是“或”的关系，否定时要注意. 类型一：全称命题与特称命题真假的判断 3. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.

p 的否命题，指的是对命题 p 的条件和结论的同时否定。
（1） p : ?x ? R, x ? 2 ? 0 ；
2

2、全称命题的否定

p 全称命题 ： ?x ? M , p( x) p : ?x ? M , p( x) 特称命题

p ? M? ,px() 全称命题 的否定（ ? p ） ： ?x
特称命题的否定 ?p : ?x ? M , ?p( x)

（2） p : ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0 ；
2

（3） p : ?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0 ；
2

（4） p : ?x0 ? Q, x0 ? 4 .
2

点评： 所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。 四、常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一 个 一个也没有 1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x ，验证 p ( x) 成立；要判断全称 命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x ? x0 ，使 p( x0 ) 不成立即可；

高中数学总复习 专题二 2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合 M 中，至少能找到一个 x ? x0 ，使 p( x0 ) 成立，则 这个特称命题就是真命题，否则就是假命题. 举一反三： 【变式 1】分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． (1)若 a>b 且 c>d，则 a＋c>b＋d 2 (2)若 a<0，则方程 ax ＋2x＋1＝0 至少有一个负数根． （A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （ D）假，假，假

二、填空题 1．若命题“p 或 q”和“非 p”都是真命题，则命题 q 的真假是________．如果命题“p 且 q”和“非 p” 都是假命题，则命题 q 的真假是________． 2．下列命题：①若 xy=1，则 x、y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④ 若 ac2＞bc2，则 a＞b，其中真命题的序号是________。 3．命题： ?x ? N ，x3＞x2 的否定是____________。 三、解答题 1．写出下列命题的否定： （1）若 2x＞4，则 x＞2； （2）若 m≥0，则 x2+x－m＝0 有实数根； （3）可以被 5 整除的整数，末位是 0； （4）被 8 整除的数能被 4 整除； （5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

类型二：在证明题中的应用 4. 若 a, b, c 均为实数，且 a ? x ? 2 y ?
2

?
2

， b ? y ? 2z ?
2

?
3

， c ? z ? 2x ?
2

?
6

．求证： a, b, c 中至

少有一个大于 0．

2．设有两个命题：p：不等式|x|+|x－1|≥m 的解集为 R；q：函数 f ( x) ? ?(7 ? 3m) x 是减函数。若这两个 命题中有且只有一个真命题，求实数 m 的范围。 点评： 1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛 盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多?”、 “至少?”形 式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题. 2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．

【巩固练习】
一、选择题 1．下列特称命题中真命题的个数是（ ） ① ?x ? R ，x≤0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ③ ?x ∈{x|x 是无理数}，x2 是无理数 A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列全称命题中假命题的个数是（ ） ①2x+1 是整数（x∈R） ②对所有 x∈R，x＞3 ③对任意一个 x∈Z，2x2+1 为奇数 A．0 B．1 C．2 D．3 3.（2014 陕西高考）原命题为“若 z1 , z2 互为共轭复数，则 z1 ? z2 ” ，关于逆命题，否 命题，逆否命题真 假性的判断依次如下，正确的是（ ）

3．设有两个命题，p：函数 f（x）＝ x ＋2ax＋4 的图像与 x 轴没有交点；Q:不等式 x ? 1 ? 1 ? x ? a 恒
2

成立，若“P 或 Q”为真， “P 且 Q”为假，求实数 a 的取值范围。