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2017年春季学期苏教版高中数学必修5教案:不等式第12课时


听课随笔 第 12 课时 不等式的证明方法 【学习导航】 【解】 (1)比较法: 左-右= (a ? b)(a ? b) 2 ? 0 . 知识网络 比较法 综合法 分析法 不等式的证明方法 反证法 换元法 放缩法 比较法 (2)综合法: 由 a ? b ? 2 ab ? 0 a 2 ? b 2 ? 2ab ? 0 a 3 ? b 3 ? 2ab ab ? 0 把上面三个式子相乘即得所证式. 学习要求 1.初步学会不等式证明的三种常用方法:比 较法,综合法,分析法。 2.了解不等式证明的另三种方法:反证法, 换元法,放缩法. 【课堂互动】 (3)分析法: 欲证原式,只需证:(a ? b) 2 ? (1 ? ab) 2 即证: (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) ? 0 此式显然成立.故原式得证. 自学评价 1.比较法: 利用不等式两边差的正负来 证明不等式的方法. . 2.综合法: 利用某些已证不等式或不等 式的性质来证明不等式的方法. 3.分析法: 利用不断寻找欲证式的充分 条件来证明不等式的方法. 【精典范例】 + 例1. (1) 已知 a, b ? R , 且 a ? b , 求证: (4) 左= (a 2 b ? ab2 ) + (a 2 c ? ca 2 ) + (b 2 c ? cb2 ) ? 2abc ? 2abc ? 2abc = 6 abc =右. a3 + b3 > a 2b + ab2 ( 2 ) 已 知 a, b ? + R, 求 证 : 3 (a + b) 2(a+ 2 b ) 3(a + b ? 83 a 3 b a+ b <1 1+ ab 思维点拔: 1.比较法证题步骤:作差―――变 形――――判断. 2.综合法证题模式:A(已知) (3) 已知 a < 1, b < 1, 求证: + ( 4 ) 已 知 a, b, c ? R , 求 证 : 揶 B1 论) B2 揶? Bn ? B ( 结 ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) ? 6abc 3.分析法证题模式:B (结论) 苘 A1 A2 苘? An ? A(已知) ? 右. 听课随笔 追踪训练一 1 . 已 知 a, b, m ? R+ , 且 a < b , 求 证 : 思维点拨 a+ m a > . b+ m b 2. 已知 a, b, c ? R, 且 a + b + c = 1 , 求证: 1.反证法证题的步骤是: (1)假设. (2) 归谬. (3)否定假设,肯定原结论. 2.遇到平方和的形式可采用三角换元法. 3.通常通过增或舍去正,负项实现放缩,注 意放缩要适度. ab + bc + ca ? 3.求证: 8 - 1 3 6 < 7- 5 追踪训练二 + 1.用反证法证明:若 a, b ? R , 且 ab = 4 , 略证: (1)比较法. (2)综合法. (3)分析法. 例 2 . ( 1 ) 已 知 a, b, c ? (0,1), 求 证 : 求证: a + b ? 8 . 2 2 易证. (1- a)b,(1- b)c,(1- c)a 不能都大于 2 2 2 2 1 . 4 (2) 已知 a + b = 1, x + y = 1, 求证: 2. 已知 x2 + y 2 = 1 , 求证: ? 1 3 4 x2 y2 ? 1 ax + by ? 1 (3)求证: 三角换元法易证. a+ b 1+ a

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