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高中数学复习方略课时提升作业:单元评估检测(五)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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单元评估检测(五)
第五章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知数列{an}为等差数列,若 a2=3,a1+a6=12,则 a7+a8+a9= ( (A)27 (B)36 (C)45 (D)63 )

2.(2013·开封模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,则 5a1+a7 的值为 ( (A)12 (B)10 (C)24 (D)6 )

3.(2013 · 南 阳 模 拟 ) 已 知 数 列 {an} 是 等 比 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn, 若 a4=2a3,S4=1,则 S8= ( (A)17 (B)16 ) (C)15 (D)256 + =3,a1a4= , 则

4.(2013 · 吉 安 模 拟 ) 等 比 数 列 {an} 的 公 比 q>1, a3+a4+a5+a6+a7+a8=

( (A)64 (B)31 (C)32 (D)63 )

)

5.已知数列{an}满足 a1=1,an+1·an=2n(n∈N+),则 a10= ( (A)64 (B)32 (C)16 (D)8

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6.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x),x∈R,且 f(1)= ,则数列{f(n)}(n∈N+) 的前 20 项的和为 ( (A)305 (B)315 ) (C)325 (D)335

7.(2013·黄冈模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a9+a15+a17=0,则 S21 的值是 ( (A)1 ) (B)-1 (C)0 (D)不能确定

8.在等差数列{an}中,a1=-2012,其前 n 项和为 Sn.若 - =2,则 S2012 的值等于 ( (A)-2011 (C)-2010 (B)-2012 (D)-2013 )

9.(2013· 宜春模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an= +2(n-1)(n∈N+), 若 S1+ + +…+ -(n-1)2=2013,则 n 的值为 ( (A)1007 (B)1006 (C)2012 ) (D)2013

10.(2013·南昌模拟)已知数列{an}是各项均为正数且公比不等于 1 的等比 数列.对于函数 y=f(x),若数列{lnf(an)}为等差数列,则称函数 f(x)为“保 比差数列函数”.现有定义在(0,+∞)上的如下函数: ①f(x)= ,②f(x)=x2,③f(x)=ex,④f(x)= , 则为“保比差数列函数”的所有序号为 (A)①② (C)①②④ (B)③④ (D)②③④ ( )

二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中 横线上) 11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=(-1)nn,则 an= .

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12.设{lgan}成等差数列,公差 d=lg3,且{lgan}的前三项和为 6lg3,则{an}的 通项公式为 .

13. 已知函数 f(x) 对应关系如表所示 , 数列 {an} 满足 a1=3,an+1=f(an), 则 a2013= . x f(x) 1 3 2 2 3 1

14.(2013 · 咸 阳 模 拟 ) 设 数 列 {an} 为 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn,a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意 n∈N+,都有 Sn≤Sk 成立,则正整数 k 的 值为 . ,an=log2 ,则

15.(能力挑战题)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,f(x)= S2013= .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) 16.(12 分)(2013·宝鸡模拟)已知函数 f(x)=log2x-x+1(x∈[2,+∞)),数列 {an}满足 a1=2, =2(n∈N+).

(1)求数列{an}的通项公式 an. (2)求 f(a1)+f(a2)+…+f(an). 17.(12 分)(2013·万州模拟)已知数列{an}是首项 a1=4,公比 q≠1 的等比数 列,Sn 是其前 n 项和,且 4a1,a5,-2a3 成等差数列. (1)求公比 q 的值. (2)设 An=S1+S2+S3+…+Sn,求 An. 18.(12 分)已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an-1(n∈N+). (1)求证:数列{an-1}是等比数列.
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(2)设 bn=

,求证:数列{bn}的前 n 项和 Sn< .

19.(12 分)某牛奶厂 2009 年初有资金 1000 万元,由于引进了先进设备,资金 年平均增长率可达到 50%.每年年底扣除下一年的消费基金 x 万元后,剩余资 金投入再生产. (1)分别写出这家牛奶厂 2010 年初和 2011 年初投入再生产的剩余资金的表 达式. (2)预计 2013 年底,这家牛奶厂将转向经营,需资金 2000 万元(该年底不再 扣除下年的消费基金),当消费基金 x 不超过多少万元时,才能实现转向经营 的目标(精确到万元)? 20.(13 分)(2012·山东高考)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式. (2)对任意 m∈N+,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm,求数 列{bm}的前 m 项和 Sm. 21.(14 分)(能力挑战题)已知数列{an}中 a1=2,an+1=2- ,数列{bn}中 bn= 其中 n∈N+. (1)求证:数列{bn}是等差数列. (2)设 Sn 是数列{ bn}的前 n 项和,求 + +…+ . (3)设 Tn 是数列{( )n·bn}的前 n 项和,求证:Tn< . ,

答案解析
1. 【解析】选 C. 设公差为 d, 则 a1+d=3,2a1+5d=12, 解得 a1=1,d=2, 所以
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a7+a8+a9=3a1+21d=3+42=45. 2.【解析】选 A.设公差为 d,则 S3=3a1+3d=6, 即 a1+d=2,所以 5a1+a7=6a1+6d=12. 3.【解析】选 A.∵a4=2a3,S4=1,则 q≠1, ∴ ∴q=2,a1= , ∴S8= =17. =3,

4.【解析】选 D.由 + =3,得 又 a2a3=a1a4= , 则 解得 则 q=2. =63.

所以 a3+a4+a5+a6+a7+a8=

5.【思路点拨】寻找数列的偶数项组成的数列的特点. 【解析】选 B.由题 an+1·an=2n,an+2·an+1=2n+1,故 a10=25=32,选 B. 6.【解析】选 D.由已知 f(x+1)-f(x)= , 得数列{f(n)}是等差数列,公差为 , 其前 20 项和为 20× + × =335,故选 D. =2,又 a1=1,可得 a2=2,故

7.【解析】选 C.a3+a9+a15+a17=4a11=0,∴a11=0, S21=21a11=0. 8.【解析】选 B.∵ - =2, ∴ =2,

故 a12-a10=4,∴2d=4,d=2.
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∴S2012=2012a1+ =-2012. 9.【解析】选 A.∵an= +2(n-1), ∴Sn=nan-2n(n-1) ① ∴Sn+1=(n+1)an+1-2(n+1)·n ② 由②-①得: an+1=(n+1)an+1-nan-2n(n+1)+2n(n-1), 化简得:nan+1-nan-4n=0, ∴an+1-an=4, 故数列{an}是以 a1=1 为首项,d=4 为公差的等差数列, an=4n-3. ∵S1+ + +…+ -(n-1)2=2013, 又∵ =2n-1, ∴1+3+5+…+(2n-1)-(n-1)2=2013, 即 -(n-1)2=2013?n=1007.

10.【解析】选 C.设数列{an}的公比为 q. ①中,lnf(an+1)-lnf(an)=ln -lnq.故①中的函数符合要求; ②中,lnf(an+1)-lnf(an)=ln =2lnq,也符合要求; =ln =

③中,lnf(an+1)-lnf(an)=an+1-an,不符合要求; ④中,lnf(an+1)-lnf(an)=ln 11.【解析】当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1
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= lnq,符合要求.

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=(-1)nn-(-1)n-1(n-1) =(-1)n(2n-1), 当 n=1 时也适合这个公式. 答案:(-1)n(2n-1) 12.【解析】根据等差数列性质可得 lga2=2lg3,故数列{lgan}的通项公式是 lgan=lga2+(n-2)lg3=nlg3=lg3n, 所以 an=3n. 答案:an=3n 13.【思路点拨】解答此类题目应先找规律,即先求 a2,a3,a4,从中找出周期 变化的规律. 【解析】由题意知 a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1, ∴数列{an}是周期为 2 的数列, ∴a2013=a1=3. 答案:3 14.【解析】方法一:由对任意 n∈N+,都有 Sn≤Sk 成立,Sk 是 Sn 的最大值. 由等差数列的性质,有 a1+a7=2a4,a2+a8=2a5, 代入已知条件,得 a4=33,a5=31,则公差 d=a5-a4=-2, a1=33-3d=39, ∴Sn=39n+ ×(-2)

=-n2+40n=-(n-20)2+400, 则当 n=20 时,Sn 有最大值,故 k 的值为 20. 方法二:由题设对任意 n∈N+,都有 Sn≤Sk 成立,求 k 的值即求 Sn 最大时的项
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数 n. 由等差数列的性质,有 a1+a7=2a4,a2+a8=2a5,代入已知条件,得 a4=33,a5=31,则 公差 d=a5-a4=-2, a1=33-3d=39, ∴an=39-2(n-1)=41-2n. 由 即

解得 20.5≥n>19.5, 当 n=20 时,Sn 取得最大值,故 k=20. 答案:20 15.【思路点拨】根据对数性质得 an=log2f(n+1)-log2f(n),裂项相消求和. 【解析】由已知,得 f(n)= log2f(n)=log2 ∴an=log2 , =log2f(n+1)-log2f(n), ,

∴Sn=a1+a2+a3+…+an =[log2f(2)-log2f(1)]+[log2f(3)-log2f(2)]+…+[log2f(n+1)-log2f(n)] =log2f(n+1)-log2f(1), 则 S2013=log2 =log2 +1. +1 =2,∴{an}是公比为 2,首项为 2 的等比数列, -log2

答案:log2

16.【解析】(1)∵a1=2, ∴an=2×2n-1=2n.

(2)由(1)知 f(an)=log22n-2n+1=(n+1)-2n, 则 f(a1)+f(a2)+…+f(an)
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=[2+3+…+(n+1)]-(2+22+…+2n) = = -2n+1+2

= n2+ n+2-2n+1. 17.【解析】(1)∵4a1,a5,-2a3 成等差数列, ∴2a5=4a1-2a3, ∴2a1q4=4a1-2a1q2, ∴q2=1,又 q≠1, ∴q=-1. (2)∵Sn= =2(1-(-1)n),

∴An=2(1-(-1)1)+2(1-(-1)2)+2(1-(-1)3)+…+2(1-(-1)n) =2(n)=2n+1-(-1)n.

18.【解析】(1)由 an+1=2an-1,得 an+1-1=2(an-1). 即 =2,

∴数列{an-1}是公比为 2 的等比数列. (2)由(1)知{an-1}是公比为 2,首项为 2 的等比数列, 故 an-1=2n,∴an=2n+1, ∴bn= = = )+( )= <. )+… =

∴Sn=( +( -

【方法技巧】构造法求递推数列的通项公式
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对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化, 构造出等差数列或等比数列.一般根据递推式子的特点采取以下方法: (1)递推式为 an+1=qan(q 为常数):作商构造. (2)递推式为 an+1=an+f(n):累加构造. (3)递推式为 an+1=pan+q(p,q 为常数):待定系数构造. (4)递推式为 an+1=pan+qn(p,q 为常数):辅助数列构造. (5)递推式为 an+2=pan+1+qan:待定系数构造. 思路:设 an+2=pan+1+qan 可以变形为 :an+2-α an+1=β (an+1-α an),就是 an+2=(α + β)an+1-αβan,则可从 比数列,就转化为前面的类型. (6)递推式为 an+1=f(n)an(n∈N+):累乘构造. (7)递推式为 an-an-1+panan-1=0(p 为常数):倒数构造. 【变式备选】已知数列{an}满足: + +…+ = (32n-1),n∈N+. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn=log3 ,求 + +…+ . 解得α,β,于是{an+1-αan}是公比为β的等

【解析】(1) = (32-1)=3, 当 n≥2 时, ∵ =( + +…+ )-( + +…+ = (32n-1)- (32n-2-1)=32n-1, 当 n=1 时, =32n-1 也成立, ∴数列{an}的通项公式为 an= (2)bn=log3 =-(2n-1),
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)

(n∈N+).

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= ∴ + +…+ )=

=(

-

), )]

= [(1- )+( - )+…+( .

= (1-

19.【解析】(1)2010 年初的剩余资金为 1000· -x; 2011 年初的剩余资金为(1000· -x)· -x. (2) 设从 2009 年底这家牛奶厂的资金组成数列为 {an}, 则这个数列满足 a1=1000· -x,an+1= an-x. 设 an+1+λ= (an+λ),展开与 an+1= an-x 比较可得λ=-2x,即 an+1= an-x 可以变换 为 an+1-2x= (an-2x),即数列{an-2x}是首项为 1000·-3x,公比为 的等比数列, 所以 an-2x=(1000· -3x)·( )n-1,即 an=2x+(1000· -3x)·( )n-1. 从 2009 年初到 2013 年底共计 5 年,所以到 2013 年底该牛奶厂剩余资金 a5=2x+(1000· -3x)·( )4,只要 a5+x≥2000,即 2x+(1000· -3x)·( )4+x≥ 2000 即可,解得 x≤ ≈458.97(万元).

故当消费基金不超过 458 万元时,才能实现转向经营的目标. 20.【思路点拨】(1)根据等差数列通项的性质求出 a4,结合 a9 求出公差,进 而得通项公式.(2)得出关于 m,n 的不等式,可得{bm}的通项公式,然后求和. 【解析】 (1) 根据等差数列的性质得 a4=28, 设等差数列的公差为 d, 则 a9-a4=5d=73-28=45, 所以 d=9,所以等差数列的通项公式为 an=a4+(n-4)d=28+(n-4)×9=9n-8,即 an=9n-8. (2)根据已知得 9m<9n-8<92m, 解得 <n< ,所以其中第一个 n 值为 9m-1+1,最后一个 n 值为 92m-1,所以

bm=92m-1-9m-1,
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所以 Sm=(91-90)+(93-91)+…+(92m-1-9m-1) =(91+93+…+92m-1)-(90+91+…+9m-1) = = = . = = ,

21.【解析】(1)bn+1= 而 bn= , -

∴bn+1-bn=

=1,n∈N+, =1,公差为 1 的等差数列.

∴{bn}是首项为 b1=

(2)由(1)可知 bn=n, bn= n, ∴Sn= (1+2+…+n)= 于是 = =6( ), ,

故有 + +…+ =6(1- + - +…+ =6(1)= . )

(3)由(1)可知( )n·bn=n·( )n, 则 Tn=1· +2·( )2+…+n·( )n, ∴ Tn=1·( )2+2·( )3+…+(n-1)( )n +n·( )n+1. 则 Tn= +( )2+( )3+…+( )n -n( )n+1 = [1-( )n]-n·( )n+1, ∴Tn= - ( )n-1- ·( )n< .
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