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2015-2016学年高中数学 2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用课时训练 新人教A版必修5


课时训练 10
一、等差数列前 n 项和性质的应用

等差数列前 n 项和的性质与应用

1.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则 S6 等于( A.12 答案:C B.18 C.24 D.42

)

解析:S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列,即 2,8,S6-10 成等差数列,S6=24. 2.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A.5 答案:C 解析:由题意得 S 偶-S 奇=5d=15,∴d=3.或由解方程组求得 d=3,故选 C. 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=-2 015,=2,则 S2 015=( A.2 015 答案:B 解析:由等差数列前 n 项和性质可知,数列是等差数列,设公差为 d, 则=2d=2,所以 d=1. 所以+2 014d=-2 015+2 014=-1, 所以 S2 015=-2 015. 二、等差数列前 n 项和中的最值问题 4.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命题中错误的是( A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N ,均有 Sn>0 D.若对任意 n∈N ,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 答案:C 解析:由等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+n(n-1)d=n +n 知,Sn 对应的二次函数有最大值时 d<0. 故若 d<0,则 Sn 有最大值,A,B 正确. 又若对任意 n∈N ,Sn>0,则 a1>0,d>0,{Sn}必为递增数列,D 正确. 而对于 C 项,令 Sn=n -2n,则数列{Sn}递增,但 S1=-1<0.C 不正确. 5.(2015 河南南阳高二期中,10)已知数列{an}为等差数列,若<-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则 使得 Sn>0 的 n 的最大值为( A.21 答案:C 解析:由<-1,可得<0, 由它们的前 n 项和 Sn 有最大值可得数列的公差 d<0,∴a10>0,a11+a10<0,a11<0, B.20 ) C.19 D.18
2 2

)

B.4

C.3

D.2

)

B.-2 015

C.0

D.1

)

*

*

*

∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0.

1

∴使得 Sn>0 的 n 的最大值 n=19.故选 C.
6.设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意 n∈N ,都有
*

Sn≤Sk 成立,则 k 的值为(
A.22 答案:C
*

) C.20 D.19

B.21

解析:对任意 n∈N ,都有 Sn≤Sk 成立,即 Sk 为 Sn 的最大值. 因为 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93, 所以 a4=33,a5=31, 故公差 d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n, 则 n=1 时,a1=39, 所以 Sn=n +n=-n +40n=-(n-20) +400,即当 n=20 时 Sn 取得最大值,从而满足对任意 n∈N ,都有
2 2 2

*

Sn≤Sk 成立的 k 的值为 20.
7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2 014>0,S2 015<0,则当 n= 答案:1 007 解析:由等差数列的性质知,S2 015=2 015a1 008<0, 所以 a1 008<0. 又 S2 014==1 007(a1 007+a1 008)>0, 所以 a1 007+a1 008>0,而 a1 008<0,故 a1 007>0. 因此当 n=1 007 时,Sn 最大. 8.已知数列{an},an∈N ,前 n 项和 Sn=(an+2) . (1)求证:{an}是等差数列; (2)设 bn=an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. (1)证明:由已知得 8Sn=(an+2) , 则 8Sn-1=(an-1+2) (n≥2), 两式相减,得 8an=(an+2) -(an-1+2) , 即(an+an-1)(an-an-1-4)=0. 因为 an∈N ,所以 an+an-1>0, 所以 an-an-1=4(n≥2), 故数列{an}是以 4 为公差的等差数列. (2)解:令 n=1,得 S1=a1=(a1+2) ,解得 a1=2. 由(1)知 an=2+(n-1)×4=4n-2, 所以 bn=an-30=2n-31. 由 bn=2n-31<0,得 n<, 即数列{bn}的前 15 项为负值,n≥16 时 bn>0. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 则 T15 最小,其值为 T15=15×(-29)+×2=-225. 三、与数列{|an|}前 n 项和有关的问题 9.已知数列{an}的通项公式 an=5-n,则当|a1|+|a2|+…+|an|=16 时,n=
2 2 2 2 2

时,Sn 最大.

*

2

*

.

2

答案:8 解析:由 an=5-n,可得 n<5 时,an>0;

n=5 时,a5=0; n>5 时,an<0,
而 a1+a2+…+a5=10,

∴|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an)=16. ∴20+=16,解得 n=8.
10.在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 5a3·a1=(2a2+2) . (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 解:(1)因为 5a3·a1=(2a2+2) ,所以 d -3d-4=0,解得 d=-1 或 d=4.故 an=-n+11 或 an=4n+6. (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn. 因为 d<0,所以由(1)得 d=-1,an=-n+11. 则当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n +n; 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n -n+110. 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
2 2 2 2 2

(建议用时:30 分钟) 1.若等差数列{an}的前 3 项和 S3=9,则 a2 等于( A.3 答案:A 解析:S3==9, B.4 C.5 ) D.6

∴a1+a3=2a2=6.∴a2=3.故选 A.
2.设{an}是公差为-2 的等差数列,如果 a1+a4+…+a97=50,那么 a3+a6+a9+…+a99 等于( A.-182 答案:D 解析:由 a1+a4+a7+…+a97=50,① 令 a3+a6+a9+…+a99=x,② B.-78 C.-148 D.-82 )

②-①得 2d×33=x-50,而 d=-2, ∴x=-132+50=-82.故选 D.
3.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是 ( A.S7 答案:C 解析:a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d ) B.S8 C.S13 D.S15

=3(a1+6d)

3

=3a7=3×S13.
于是可知 S13 是常数. 4.设{an}为等差数列,a1>0,a6+a7>0,a6·a7<0,则使其前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是( A.11 答案:B 解析:∵a6+a7=a1+a12, B.12 C.13 D.14 )

∴S12==6(a6+a7)>0.
由已知得 a6>0,a7<0,又 S13=13a7<0,

∴使 Sn>0 成立的最大自然数 n 为 12,故选 B.
5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=1,S3n-Sn=5,则 S4n=( A.4 答案:C 解析:由 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n 成等差数列,设公差为 d, 则 S2n-Sn=Sn+d,S3n-S2n=Sn+2d. B.6 C.10 D.15 )

∴S3n-Sn=2Sn+3d=5.
又∵Sn=1,∴d=1.

∴S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n) =1+2+3+4=10.
6.等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k= 答案:10 解析:S9=S4,∴a5+a6+a7+a8+a9=0,

.

∴a7=0,从而 a4+a10=2a7=0,∴k=10.
7.等差数列前 12 项和为 354,在前 12 项中的偶数项的和与奇数项的和之比为 32∶27,则公差

d=
答案:5 解析:由已知 解得

.

又∵此等差数列共 12 项,

∴S 偶-S 奇=6d=30.∴d=5.
8.等差数列{an}与{bn},它们的前 n 项和分别为 An,Bn,若,则= 答案: 解析:. 9.在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,Sn 有最大值,并求出它的 最大值. 解:设等差数列{an}的公差为 d,∵a1=20,S10=S15,

.

∴10a1+d=15a1+d.
解得 d=-. 解法一:由以上得 an=20-(n-1)=-n+.

4

由 an≥0 得-n+≥0,∴n≤13. 所以数列前 12 项或前 13 项的和最大,其最大值为 S12=S13=12a1+d=130. 解法二:由以上得 Sn=20n+

=-n2+n+20n=-n2+n =-(n2-25n)=-. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 最大,最大值为 S12=S13=130.
10.等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前 n 项和. 解:等差数列{an}的公差 d==3,

∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由 an<0,得 3n-63<0,即 n<21.

∴数列{an}的前 20 项是负数,第 20 项以后的项都为非负数.
设 Sn,Sn'分别表示数列{an},{|an|}的前 n 项和, 当 n≤20 时,Sn'=-Sn

==-n2+n;
当 n>20 时,

Sn'=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20 =-60n+×3-2× =n2-n+1 260. ∴数列{|an|}的前 n 项和为 Sn'=

5


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