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山东省新泰市2015届高考数学二轮复习 热点七 立体几何与向量练习 理(含解析)


数学热点七
【考点精要】

立体几何与向量(理科)

考点一. 空间几何体的结构特征、三视图和直观图. 主要考查棱柱、棱锥、棱台、圆 柱、圆锥、圆台、球的三视图和直观图. 注意用斜二测画法平行于 y 轴的线段变为原来的一 半. 考点二 .求棱锥、棱台中的高、斜高. 注意运用直截面,将高与斜高放在图形中组成相 应的三角形. 在正棱锥、棱台中利用几个直角三角形(高、斜高以及底面边心距组成的直角 三角形,高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形等)进行相关的计算. 考点三. 斜二测画法的相关计算 . 斜二测画法的相关计算,重点考查直观图的定点与 其他关键点,计算时尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上. 考点四.几何体中的直角三角形. 在正棱锥中要充分利用四个直角三角形,在在正棱台 中要充分利用三个直角梯形,两个直角三角形. 考点五.球的有关运算. 通常先作出球的大圆,然后利用平面几何知识求解. 与球有关 的组合体应选择最佳角度作出轴截面图形,进而将立体图形转化为平面图形. 考点六. 三视图及相关面积、体积的计算. 三视图及相关面积、体积的计算,注意掌 握三视图之间的规律:正俯长相同、正侧高平齐,俯侧宽相同. 考点七. 柱体、锥体、台体的侧面积、表面积、体积的运算 . 注意运用割补法、等体 积转化法求解相关体积. 考点八. 空间中点、线、面的位置关系以及直线、平面平行的判定与性质 . 近几年来 加强了线面之间的距离、异面直线间的夹角、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直、 线线垂直、线面角的考查. 考点九. 运用坐标法求空间中两点之间的距离以及点关于平面对称点的坐标. 考点十.向量的有关概念及线性运算. 注意运算法则的应用. 若利用向量求角,各类角 都可以转化为向量的夹角来运算. (1) 求 两 异 面 直 线 a 、 b 的 夹 角 ? , 须 求 出 它 们 的 方 向 向 量 a , b 的 夹 角 , 则

r

r

r r cos ? ? cos ? a, b ? .
(2)求直线 l 与平面 ? 所成的角 ? , 可先求出平面 ? 的法向量 n 与直线 l 的方向向量 a 的 夹角.则 sin ? ? cos ? n, a ? . (3)求二面角 ? ? l ? ? 的大小 ? , 可先求出两个平面的法向量 n1 ,n2 所成的角, 则? =

?

?

r r

ur

uu r

u r u u r u r u u r ? n1 , n2 ? 或 ? ? ? n1 , n2 ? .

考点十一. 向量共线. 两个向量共线的充要条件. 考点十二.平面向量的基本定理及坐标运算. 巧点妙拨

1.垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系: (1)平行转化:线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行; (2)垂直转化:线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直; 每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的. 2.求异面直线的距离,有时较难作出它们的公垂线,故通常采用化归思想,转化为求 线面距、面面距、或由最值法求得. 3.向量在几何中的应用 (1)证明线段平行或者点的共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理. (2)证明垂直问题,常用向量的数量积的坐标运算. (3)求夹角问题,利用夹角公式. (4)求线段的长度,利用向量的模的运算公式. (5)直线的方向向量与法向量:直线 l 的方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,则它的一个方向向 量为 v ? ( B,? A) ,一个法向量为 n ? ( A, B) . (6)利用向量法解决平面几何问题的“三部曲”:一是建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中设计到的几何元素,将平面问题转化为向量问题;二是通过向量的运算, 研究几何元素之间的平行、垂直、距离、夹角的问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数 学模型;另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相应的物理现象. 【典题对应】 例 1. (2014· 山东理 13)三棱锥 P ? ABC 中, D, E 分别为 PB, PC 的中点,记三棱 锥 D ? ABE 的体积为 V1 , P ? ABC 的体积为 V2 ,则

V1 ? V2

.

命题意图:本题主要考查三棱锥的体积,求体积时注意找好地面以及高. 解析:分别过 E , C 向平面做高 h1 , h2 ,由 E 为 PC 的中点得 由 D 为 PB 的中点得 S ?ABD ? 案:

h1 1 ? , h2 2

1 1 1 1 S ?ABP , 所以 V1 : V2 ? S ?ABD ? h1 ? S ?ABP ? h2 ? . 答 2 3 3 4

1 . 4

例 2. (2014· 山东理 17)如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰
? 梯形, ?DAB ? 60 , AB ? 2CD ? 2 , M 是线段 AB 的中点.



I









C1M / /平面A ADD 1



1

D1 A1

C1 B1

D A M

C B

(II)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1 = 3 ,求平面 C1 D1M 和平面 ABCD 所成的角 (锐角)的余弦值. 命题意图:本题主要考查线面平行,线面垂直、二面角的相关性质及应用. 考查学生建 模思想的应用. 解析: (Ⅰ)连接 AD 1

? ABCD ? A1B1C1D1 为四棱柱,?CD // C1D1
又? M 为 AB 的中点,? AM ? 1 ? CD // AM , CD ? AM

CD ? C1D1

? AM // C1D1 , AM ? C1D1 ? AMC1D1 为平行四边形 ? AD1 // MC1
又?C1M ? 平面A1 ADD 1

AD1 ? 平面A1 ADD 1

? AD1 // 平面A1 ADD 1
(Ⅱ)方法一: Q AB / / A 1B 1

A1B1 // C1D1

?面D1C1M与ABC1D1共面
作 CN ? AB ,连接 D1 N 则 ?D1 NC 即为所求二面角 在 ABCD 中, DC ? 1, AB ? 2, ?DAB ? 60 ? CN ?
?

3 2

在 Rt?D1CN 中, CD1 ? 3 , CN ?

3 15 ? D1 N ? 2 2

方法二:作 CP ? AB 于 p 点 以 C 为原点, CD 为 x 轴, CP 为 y 轴, CD1 为 z 轴建立空间坐标系,

1 3 ? C1 (?1,0, 3 ), D1 (0,0, 3 ), M ( , ,0) 2 2 1 3 ? C1 D1 ? (1,0,0), D1M ? ( , ,? 3 ) 2 2
设平面 C1 D1M 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 )

? x1 ? 0 ? ??1 3 y1 ? 3z1 ? 0 ? x1 ? 2 ?2

?n1 ? (0,2,1)

显然 平面 ABCD 的法向量为 n2 ? (1,0,0)

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

1 5 ? 5 5

显然二面角为锐角, 所以平面 C1 D1M 和平面 ABCD 所成角的余弦值为

5 5

3 NC 3 5 ? cos?D1CN ? ? 2 ? ? D1 N 5 15 15 2
名师坐堂:求解二面角的方法很多,如定义法、截面法、向量法、几何坐标法等,多数 情况下要通过建立空间在直角坐标系,运用几何坐标法进行解决. 例 3. (2013· 山东理 18 )如图所示,在三棱锥 P ? ABQ 中, PB ? 平面ABQ ,

BA ? BP ? BQ , D , C , E , F 分别是 AQ , BQ, AP , BP 的中点, AQ ? 2 BD , PD 与 EQ
交于点 G , PC 与 FQ 交于点 H ,连接 GH . (Ⅰ)求证: AB // GH ; (Ⅱ)求二面角 D ? GH ? E 的余弦值. 命题意图:本题主要考查线与线,线与面以及面与面的关系, 线线垂直以及二面角的求解. 解析: (Ⅰ)证明:因为 D, C , E , F 分别是
B A D E F H G C Q P

AQ, BQ, AP, BP 的中点, 所以 EF // AB, DC // AB ,

所以 EF // DC ,又 EF ? 平面PCD, DC ? 平面PCD , 所以 EF // 平面PCD ,又 EF ? 平面EFQ, 平面EFQ ? 平面PCD=GH , 所以 EF // GH ,又 EF // AB ,所以 AB // GH . (Ⅱ)解法一:在 ?ABQ 中, AQ ? 2BD, AD ? DQ ,所以 ?ABQ=900 ,即

AB ? BQ ,
因为 PB ? 平面ABQ , 所以 AB ? PB , 又 BP ? BQ ? B , 所以 AB ? 平面PBQ . 由(Ⅰ)知 AB // GH ,所以 GH ? 平面PBQ ,又

FH ? 平面PBQ ,所以

GH ? FH ,
同理可得 GH ? HC ,所以 ?FHC 为二面角 D ? GH ? E 的平面角. 设 BA ? BQ ? BP ? 2 ,连接 FC ,在 Rt ?FBC 中,由勾股定理得 FC ? 2 ,在

Rt ?PBC 中,
由勾股定理得 PC ? 5 .又 H 为 ?PBQ 的重心, 所以 HC ?

1 5 5 ,同理 FH ? . PC ? 3 3 3

5 5 ? ?2 4 9 9 在 ?FHC 中,由余弦定理得 cos ?FHC ? ?? , 5 5 2? 9
即二面角 D ? GH ? E 的余弦值为 ?

4 . 5

解法二:在 ?ABQ 中, AQ ? 2BD, AD ? DQ ,所以 ?ABQ ? 900 . 又 PB ? 平面ABQ ,所以 BA, BQ, BP 两两垂直.以 B 为坐标原点, 分别以 BA, BQ, BP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图 所示的空间直角坐标系.设 BA ? BQ ? BP ? 2 , 则 E (1,0,1), F (0,0,1), Q(0, 2,0), D(1,1,0), C (0,1,0), P(0,0, 2) ,
E

P

z

F H G B C D Q

uuu r uuu r 所以 EQ ? (?1,2, ?1), FQ ? (0,2, ?1), uuu r uur DP ? (?1, ?1,2), CP ? (0, ?1,2) ?? 设平面 EFQ 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,
由 mgEQ ? 0, mgFQ ? 0 , 得 ?

A

x

y

u r uuu r

u r uuu r
??

? ? x1 ? 2 y1 ? z1 ? 0, ? 2 y1 ? z1 ? 0,

取 y1 ? 1 ,得 m ? (0,1, 2) .设平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

?

? ? x2 ? y2 ? 2 z2 ? 0, ? ? y2 ? z2 ? 0, u r r u r r ? mgn 4 取 z2 ? 1 ,得 n ? (0, 2,1) .所以 cos ? m, n ?? u r r ? , m n 5
由 n? DP ? 0, n? CP ? 0 , 得 ?

? ??? ?

? ??? ?

因为 二面角 D ? GH ? E 为钝角,所以 二面角 D ? GH ? E 的余弦值为 ?

4 . 5

名师坐堂: 求二面角的问题若给定的几何体能够构建空间坐标系, 则转化成向量进行求 解, 运用向量的夹角, 法向量等相关知识进行求解. 但应注意所取的向量的夹角与实际的二 面角的平面角的关系. 例 4.(2013·全国理 6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm, 将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计 容器的厚度,则球的体积为 ( )

500? cm3 3 1372? cm3 C. 3
A. 中的截面三角形进行求解.

866? cm3 3 2048? cm3 D. 3
B.

命题意图: 本题主要考查几何体中的组合体, 能够运用轴截面以及球体

解析:设球的半径为 R ,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4, 球心到截面圆的距离为 R ? 2 ,则 R2 ? ( R ? 2)2 ? 42 ,解得 R ? 5 ,

∴球的体积为

4? ? 53 500? cm3 ,故选 A. = 3 3

名师坐堂:几何体体积的考查已是常态化,且常考常新. 我们应该掌握住基本的方法: 如等体积转化、分割、直接运用公式、向量法等. 例 5. (2011·山东 19 )在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,

?ACB ? 900 , EA ? 平 面 A B C D, EF / / AB , FG / / BC , EG / / AC ,
AB ? 2 EF .
(Ⅰ)若 M 是线段 AD 的中点,求证: GM / / 平面 ABFE ; (Ⅱ)若 AC ? BC ? 2 AE ,求二面角 A ? BF ? C 的大小. 命题意图: 本题考查了立体几何中的线面平行的判定, 以及二 面角的
B F G

E

A

M

D

C

判断与求解. 解答此题入口较多,学生既可以利用几何法又可以利用坐标 法,借以充分发挥学生的空间想象能力. 解析:几何法: 证明: (Ⅰ) EF / / AB , AB ? 2 EF 可知延长 BF 交 AE 于点 P ,而 FG / / BC ,

EG / / AC ,

则 P ? BF ? 平 面 B F G , C ? P

, 即 P ? 平 面 BFGC ? 平 面 A ?E平 面 A E G C

AEGC ? GC ,
于是 BF , CG, AE 三线共点, FG / /

1 BC ,若 M 是线段 AD 的中点,而 AD/ /BC , 2

则 FG/ / AM ,四边形 AMGF 为平行四边形,则 GM / / AF ,又 GM ? 平面 ABFE , 所以 GM / / 平面 ABFE ; (Ⅱ)由 EA ? 平面 ABCD ,作 CH ? AB ,则 CH ? 平面 ABFE ,作 HT ? BF , 连接 CT , 则 CT ? BF ,于是 ?CTH 为二面角 A ? BF ? C 的平面角. 若 AC ? BC ? 2 AE ,设

AE ? 1 ,
则 AC ? BC ? 2 , AB ? 2 2, CH ? 2 , H 为 AB 的中点,

tan ?FBA ?

3 AE 2 AE 2 2 , sin ?FBA ? , ? ? ? 3 AB ? EF AB 2 2 2
CH 3 6 ? 3, ,在 Rt ?CHT 中 tan ?CTH ? ? HT 3 3
?

HT ? BH sin ?ABF ? 2 ?
?

则 ?CTH ? 60 ,即二面角 A ? BF ? C 的大小为 60 .
0 坐标法: ( Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为平行四边形, ?ACB ? 90 , EA ? 平面

ABCD ,可得以点 A 为坐标原点, AC , AD, AE 所在直线分别为 x, y, z 建立直角坐标系,
设 AC =a, AD ? b, AE ? c ,则 A(0, 0, 0) , C (a, 0, 0), D(0, b, 0), M (0, b, 0), B(a, ?b, 0) .

1 2 uuur uuu r uur uuur uuu r uuu r 1 由 EG / / AC 可得 EG ? ? AC(? ? R , GM ? GE ? EA ? AM ? (?? a, b, ?c 2
uuur uuu r uur uuur uuu r 1 uur uur 1 uuu r uuu r uuu r FG ? ? BC ? ? AD(? ? R , GM ? GF ? FA ? AM ? ? ? AD ? BA ? EA ? 2 2

由 FG / / BC 可得

1 1 ? (? a, (1 ? ? )b, ?c) ,则 ? ? ? ? ,而 GM ? 平面 ABFE , 2 2
所以 GM / / 平面 ABFE ; (Ⅱ) (Ⅱ)若 AC ? BC ? 2 AE ,设 AE ? 1 ,则 AC ? BC ? 2 ,

C (2, 0, 0), E(0, 0,1), B(2, ?2, 0), F (1, ?1,1) ,则 BC ? AD ? (0,2,0 , BF ? (?1,1,1 ,

uuu r

uuu r

uu u r

uu u r AB ? (2, ?2,0 , 设 n1 = ( x1, y1, z1 ), n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 分别为平面 ABF 与平面 CBF 的法向
量. 则?

? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 ,令 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1, z1 ? 0 , n1 = (1,1,0) ; ?? x1 ? y1 ? z1 ? 0

? 2 y2 ? 0 ,令 x2 ? 1 ,则 y2 ? 0, z2 ? 1, n2 ? (1,0,1) . ? ?? x2 ? y2 ? z2 ? 0
于是 cos ? n1 ,n2 ??

n1 ? n2 1 ? ,则 ? n1 ,n2 ?? 60? , n1 ? n2 2
?

即二面角 A ? BF ? C 的大小为 60 . 名师坐堂:1、研究线与面通常是转化成线与线的关系,或利用判定定理或利用向量予 以解决;2、解决二面角的问题时往往要做到一作二证三求. 首先应考虑做辅助线,然后证 明某角为二面角的平面角,最后在求解. 【命题趋向】 立体几何部分每一年都有一道小题一道大题,分值在 17 分左右. 考查的内容主要体现 在以下几个方面: 1.锥体或柱体中的线线、线面、面面位置关系. 复习中应注意运用转化思想,建立空 间中线线、线面、面面位置关系之间的联系,常用的转化方向有:①线线平 行则线面平行, 面面平行则线线平行;②线线垂直则线面垂直;③将空闻几何问题转化为平面几何问题. 2.求空间几何体体积,常用的方法有直接套用公式法、转换法、分割和补体法等多种 方法.转换法一般用于求棱锥的体积,分割法和补体法多用于不规则几何体的体积的求解. 3.三视图、图形的展开、折叠、切割问题,解决此类问题的关键是弄清图形变化前后 的点、线、面的对应关系,并分清变化前后.点、线、面的位置变化. 4.利用空间向量解决空间位置关系以及求角和距离等问题,方法一是利用向量的分解 与运算.二是利用向量的坐标运算,此时应注意建立适当的坐标系且运算要正确. 【直击高考】 1.以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 2.设 ? 、 ? 、 ? 是三个互不重合的平面, m 、 n 是两条不重合的直线,下列命题中正确的 是( ) )

A.若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? B.若 m ∥ ? , n ∥ ? , ? ⊥ ? ,则 m ⊥ n C.若 ? ⊥ ? , m ⊥ ? ,则 m ∥ ? D.若 ? ∥ ? , m ? ? , m ∥ ? ,则 m ∥ ? 3.设 ? 、 ? 、 ? 为平面, l 、 m 、 n 为直线,则 m ⊥ ? 的一个充分条件为 ( )

A. ? ⊥ ? , ? ∩ ? = l , m ⊥ l C. ? ∩ ? = m , ? ⊥ ? , ? ⊥ ?

B. n ⊥ ? , n ⊥ ? , m ⊥ ? D. ? ⊥ ? , ? ⊥ ? , m ⊥ ?

E 、 F 分别是 AB1 、 BC1 的中 4.如图,在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
点, 则下列结论不成立的是 ( A. EF 与 BB1 垂直 B. EF 与 BD 垂直 C. EF 与 CD 异面 D. EF 与 AC 1 1 异面 5. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦 等于( A. ) )

6 4

B.

10 4

C.

2 2

D.

3 2
A

H, 6. 如图,正方体 AC1 的棱长为 1 ,过点 A 作平面 A 1BD 的垂线,垂足为点
则以下命题中,错误 的命题是( .. A.点 H 是 △A1BD 的垂心 B. AH 垂直平面 CB1D1 H C. AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45
?



D

B

C
H

A1 B1 C1

D1

7. 三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥底面 ABC , PA =3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, 则三棱锥 P ? ABC 的体积等于________. 8.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是矩形, PA ⊥底面 ABCD ,点 E 、 F 分别是棱

PC 、 PD 的中点,则
①棱 AB 与 PD 所在直线垂直; ②平面 PBC 与平面 ABCD 垂直; ③△ PCD 的面积大于△ PAB 的面积; ④直线 AE 与直线 BF 是异面直线. 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)

?SBA ? ?SCA ? 90? , 9. 三棱锥 S ? ABC 中, △ ABC 是斜边 AB ? a 的等腰直角三角形,
则以下结论中:

①异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90°; ②直线 SB ⊥平面 ABC ; ③平面 SBC ⊥平面 SAC ; ④点 C 到平面 SAB 的距离是

1 a. 2

其中正确结论的序号是________.

10. 已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC = AD = CD = DE = 2a,AB = a, F 为 CD 的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 CDE; (Ⅱ)求异面直线 AC,BE 所成角余弦值; (Ⅲ)求面 ACD 和面 BCE 所成二面角的大小 .

11. 如图所示,平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为矩形,四边形 BCEF 为直角 梯形, BF // CE ,
BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 . AF // 平面 CDE ; (1)求证 :

D
A

(2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值; (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值.

C

E

B

F
图6

? 12. 已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 , ?BCA ? 90 , AC ? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上的射

影恰为 AC 的中点 D ,又知 BA1 ? AC1 . (I)求证: AC1 ? 平面 A 1BC ; (II)求 CC1 到平面 A 1 AB 的距离; (III)求二面角 A ? A 1 B ? C 的平面角的正弦值.

数学热点七 【直击高考】

立体几何与向量

1.解析:画几何体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三视图总 是三个全等的圆.选 A. 2.解析:对于 A,若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? , ? , ? 可以平 行,也可以相交,A 错;对于 B, 若 m ∥ ? , n ∥ ? ,? ⊥ ? ,则 m , n 可以平行,可以相交,也可以异面,B 错;对于 C, 若 ? ⊥ ? , m ⊥ ? ,则 m 可以在平面 ? 内,C 错;易知 D 正确. 3.解析:如图①知 A 错;如图②知 C 错;如图③在正方体中,两侧面 ? 与 ? 相交于 l , 都与底面 ? 垂直, ? 内的直线 m ⊥ ? ,但 m 与 ? 不垂直,故 D 错;由 n ⊥ ? , n ⊥ ? ,得

? ∥ ? .又 m ⊥ ? ,则 m ⊥ ? ,故 B 正确.

4.解析:连接 B1C , AC ,则 B1C 交 BC1 于 F , 且 F 为 B1C 的中点, 又 E 为 AB1 的中点,所以 EF ?

1 1 AC 且 EF / / AC , 2 2

而 B1B ⊥平面 ABCD ,所以 B1B ⊥ AC , 所以 B1B ⊥ EF ,A 正确; 又 AC ⊥ BD ,所以 EF ⊥ BD ,B 正确; 显然 EF 与 CD 异面,C 正确;由 EF / / AC , AC / / AC 1 1, 得 EF ∥ AC 1 1 .故不成立的选项为 D. 5. 解析:已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,取 A1C1 的中点 D1,连接

3 6 BD 1,AD1,∠B1AD1 是 AB1 与侧面 ACC1A1 所成的角, sin ?B1 AD1 ? 2 ? ,选 A。 4 2
6. 解析:因为三棱锥 A— A 1BD 是正三棱锥,故顶点 A 在底面的射映是底面中心,A 正确;面 A 1BD ∥面 CB 1D 1 ,而 AH 垂直平面 A 1BD ,所以 AH 垂直平面 CB 1D 1 ,B 正确;根 据对称性知 C 正确 。选 D 7. 解析:∵ PA ⊥底面 ABC , ∴ PA 为三棱锥 P ? ABC 的高,且 PA =3. ∵底面 ABC 为正三角形且边长为 2,∴底面面积为

1 ? 22 ? sin 60? ? 3 , 2

1 ? 3 ?3 ? 3 . 3 8.解析:由条件可得 AB ⊥平面 PAD , ∴ AB ⊥ PD ,故①正确; 若平面 PBC ⊥平面 ABCD ,由 PB ⊥ BC , 得 PB ⊥平面 ABCD ,从而 PA ∥ PB ,这是不可能的,故②错;
∴ VP ? ABC ?

1 1 S?PCD ? CD?PD , S ?PAB ? AB ?PA , 2 2 由 AB = CD , PD ? PA 知③正确; 由 E 、 F 分别是棱 PC 、 PD 的中点, 可得 EF ∥ CD ,又 AB ∥ CD , ∴ EF ∥ AB ,故 AE 与 BF 共面,④错.答案 ①③ 9.解析:由题意知 AC ⊥平面 SBC ,故 AC ⊥ SB , SB ⊥平面 ABC ,平 面 SBC ⊥平面 SAC ,①②③正确;取 AB 的中点 E ,连接 CE ,(如图)可证得 1 CE ⊥平面 SAB ,故 CE 的长度即为 C 到平面 SAB 的距离 a ,④正确.答案 2
①②③④ 10.解析: (Ⅰ)∵DE⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD ∴DE⊥AF。 又∵AC=AD=C,F 为 CD 中点 ∴AF⊥CD, ∴AF⊥面 CDE ∴AF⊥平面 CDE 。 (Ⅱ)∵

DE ? 平面ACD? ? ? DE // AB AB ? 平面ACD ?

取 DE 中点 M,连结 AM、CM,则四边形 AMEB 为平行四边形

AM//BE,则∠CAM 为 AC 与 BE 所成的角。在△ACM 中,AC=2a

AM ? AD2 ? DM 2 ? 4a 2 ? a 2 ? 5a CM ? CD 2 ? DM 2 ? 4a 2 ? a 2 ? 5a
由余弦定理得: cos?CAM ?

(2a) 2 ? ( 5a) 2 ? ( 5a) 2 2 ? 2a ? 5a
5 . 5

?

5 5

∴异面直线 AC、AE 所成的角的余弦值为 (Ⅲ)延长 DA。EB 交于点 G,连结 CG. 因为 AB//DE,AB=

1 DE,所以 A 为 GD 中点. 2

又因为 F 为 CD 中点,所以 CG//AF. 因为 AF⊥平面 CDE,所以 CG⊥平面 CDE. 故∠DCE 为面 ACD 和面 BCE 所成二面角的平面角易求∠DCE=45°.

11. 解析: (法一) (1)取 CE 中点为 G ,连接 DG 、 FG ,

? BF //CG 且 BF ? CG , ? 四边形 BFGC 为平行四边形 ,则 BC //FG 且 BC ? FG . ? 四边形 ABCD 为矩形, ? BC //AD 且 BC ? AD , ? FG //AD 且 FG ? AD ,

? 四边形 AFGD 为平行四边形 ,则 AF //DG .
? DG ? 平面 CDE , AF ? 平面 CDE ,
? AF // 平面 CDE .

(2)过点 E 作 CB 的平行线交 BF 的延长线于 P , 连接 FP , EP , AP ,

D
A

? EP // BC // AD , ? A , P , E , D 四点共面.
? 四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形, ? EP ? CD , EP ? CE ,又? CD ? CE ? C , ? EP ? 平面 CDE ,? EP ? DE , 又? 平面 ADE ? 平面 BCEF ? EP ,
CE 2 . ? DE 2

C

E

B

? ?DEC 为平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的平面角.
? DC ? CE ? 4 ,? cos ?DEC ?
D

F

P

2 即平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 . A 2 (3)过点 F 作 FH ? AP 于 H ,连接 EH , ? 根据(2)知 A , P , E , D 四点共面, EP // BC // AD , ? BC ? BF , BC ? AB , 又? AB ? BF ? B , ? BC ? 平面 ABP ,

C
F

H
P

E

? BC ? FH ,则 FH ? EP . 又? FH ? AP , ? FH ? 平面 ADE . ? 直线 EF 与平面 ADE 所成角为 ? HEF 。 ? DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 ,
HE 6 3 . ? ? EF 2 2 2
3 . 2

B

? FH ? FP sin 450 ? 2 , EF ? FP2 ? EP2 ? 2 2 , HE ? 6 , ? cos ?HEF ?

即直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为

z

D

(法二) (1)? 四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形, A

? BC ? CE , BC ? CD , 又? 平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且
平面 ABCD ? 平面 BCEF ? BC ,
C

o

E

y

B x

F

? DC ? 平面 BCEF .
以 C 为原点, CB 所在直线为 x 轴, CE 所在直线为 y 轴,

CD 所在直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系.
根据题意我们可得以下点的坐标:

A(2,0, 4) , B(2, 0, 0) , C (0,0,0) , D(0,0, 4) , E(0, 4,0) , F (2, 2,0) , uuu r uur 则 AF ? (0, 2, ?4) , CB ? (2,0,0) . uur ? BC ? CD , BC ? CE , ? CB 为平面 CDE 的一个法向量. uuu r uur 又 Q AF ? CB ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? (?4) ? 0 ? 0 ,

uuu r u r ? u r AD ? n ? 1 ? 0, (2)设平面 ADE 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? uuu r u r ? ? DE ? n1 ? 0. uuu r uuu r Q AD ? (?2,0,0) , DE ? (0, 4, ?4) ,

? AF // 平面 CDE .

?? ? ?2 x1 ? 0 , 取 z1 ? 1,得 n1 ? (0,1,1) . ?? ? 4 y1 ? 4 z1 ? 0
? DC ? 平面 BCEF ,

uuu r ? 平面 BCEF 一个法向量为 CD ? (0,0, 4) ,
设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 ? ,

uuu r u r CD ? n1 4 2 则 cos ? ? uuu . ? r u r ? 2 4 ? 2 CD ? n1
因此,平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 (3)根据(2)知平面 ADE 一个法向量为 n1 ? (0,1,1) ,

u r

2 . 2

uu u r Q EF ? (2, ?2,0) ,

uuu r u r uuu r u r EF ? n1 ?2 1 ? cos ? EF , n1 ?? uuu ?? , r u r ? 2 EF ? n1 2 2 ? 2
uuu r u r 3 . 2

设直线 EF 与平面 ADE 所成角为 ? ,则 cos ? ? sin ? EF , n1 ? ? 因此,直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为 12. 解: (I)因为 A1D ? 平面 ABC ,

3 . 2

ABC , 所以平面 AAC 1 1C ? 平面
又 BC ? AC ,所以 BC ? 平面 AAC 1 1C , 得 BC ? AC1 ,又 BA1 ? AC1 所以 AC1 ? 平面 A 1BC ;

(II)因为 AC1 ? AC 1 ,所以四边形 AAC 1 1C 为菱形,
? D 为 AC 中点,知 ?A 故 AA 1 ? AC ? 2 ,又 1 AC ? 60 。

BCF , 取 AA1 中点 F ,则 AA1 ? 平面 BCF ,从而面 A 1 AB ? 面
过 C 作 CH ? BF 于 H ,则 CH ? 面 A 1 AB , 在 Rt ?BCF 中, BC ? 2, CF ? 3 ,故 CH ? 即 CC1 到平面 A 1 AB 的距离为 CH ?

2 21 , 7

2 21 。 7 (III)过 H 作 HG ? A1B 于 G ,连 CG ,则 CG ? A1B ,
从而 ?CGH 为二面角 A ? A 1 B ? C 的平面角, 在 Rt ?A ? BC ? 2 ,所以 CG ? 2 , 1BC 中, AC 1 在 Rt ?CGH 中, sin ?CGH ?

CH 42 , ? CG 7 42 . 7

故二面角 A ? A 1 B ? C 的平面角的正弦值为


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